3.3 Document Management Policy Framework
3.3.1 Definitions
B.4.1 Teor´ıa de gauge
En signatura Eucl´ıdea, la realizaci´on m´as general de un Wilson loop supersim´etrico es de la forma[201, 200]
W = trP exp I
dτ [iAµx˙µ+ ˙yIΦI] , (B.43)
con las curvas xµ(τ ) e yI(τ ) tales que ˙x2− ˙y2= 0, y el par´ametro de supersimetr´ıa satisfaciendo la
siguiente condici´on
(iΓµx˙µ+ ρIy˙I)(x) = 0 . (B.44)
Las convenciones utilizadas aqu´ı son las de N = 4 SYM obtenida como reducci´on dimensional de N = 1 SYM en 10 dimensiones, por lo que las matrices Γ son matrices de Dirac para el espacio-tiempo 4-dimensional mientras que las matrices ρ act´uan sobre los ´ındices de simetr´ıa R, i.e. SO(6), del espinor (x). A su vez, las Γ y las ρ anticonmutan entre s´ı. El par´ametro espinorial de supersimetr´ıa (x) m´as general se escribe de la forma
(x) = 0+ xµΓµ1, (B.45)
donde 0 y 1 son espinores constantes correspondientes a supercargas tipo super-Poincar´e y super-
conformes respectivamente.
El Wilson loop considerado en el cap´ıtulo 4 posee la siguiente parametrizaci´on
xµ(τ ) = (0, R cos τ, R sin τ, L) y y˙I = | ˙x|(0, 0, − sin χ, 0, 0, − cos χ) , (B.46) por lo que (B.44) es
R(−iΓ1sin τ + iΓ2cos τ − ρ3sin χ − ρ6cos χ)(x) = 0 , (B.47) Esto debe satisfacerse para todo valor de τ , es decir que buscamos supersimetr´ıas que est´en glob- almente preservadas. Por lo tanto se obtenemos las siguientes condici´ones
sin τ : −iΓ10 = [R(sin χρ3+ cos χρ6)Γ2+ iLΓ1Γ3]1,
cos τ : iΓ20= [R(sin χρ3+ cos χρ6)Γ1− iLΓ2Γ3]1,
1 : (sin χρ3+ cos χρ6)0 = [−iRΓ1Γ2− L(sin χρ3+ cos χρ6)Γ3]1,
sin τ cos τ : ((Γ2)2− (Γ1)2)1= 0 ,
Notar que las ´ultimas dos l´ıneas se satisfacen trivialmente. Adem´as, es f´acil ver que estas condiciones no son linealmente independientes entre s´ı. Multiplicando la primera l´ıneaa por Γ2 y la segunda por Γ1, se puede ver que ambas l´ıneas conducen al mismo resultado
iΓ1Γ20 = [−R(sin χρ3+ cos χρ6) − iLΓ1Γ2Γ3]1,
(sin χρ3+ cos χρ6)0= [−iRΓ1Γ2− L(sin χρ3+ cos χρ6)Γ3]1. (B.49)
Estas ´ultimas dos ecuaciones son en realidad equivalentes, lo que puede verse ya sea multiplicando la primera por −iΓ2Γ1 o la segunda por (sin χρ3+ cos χρ6), teniendo entonces que
0 = −[iR(sin χρ3+ cos χρ6)Γ1Γ2+ LΓ3]1. (B.50)
Esta proyecci´on implica que el operador preserva la mitad de la supersimetr´ıa de la teor´ıa. En particular, las supercargas conservadas ser´an combinaciones de cargas super-Poincar´e y supercon- formes, pero nunca ambas por separado (a diferencia, por ejemplo, del Wilson loop recto). La forma final para el espinor que genera estas transformaciones puede escribirse de la siguiente manera
εWL(xµ(τ )) = 0+ xµ(τ )Γµ1,
= −[iR(sin χρ3+ cos χρ6)Γ1Γ2]
1+ R cos τ Γ11+ R sin τ Γ21. (B.51)
Ahora bien, nos interesa evaluar bajo qu´e condiciones algunas de estas supercargas preservadas por el Wilson loop pueden identificarse con las preservadas por el defecto, de manera que el arreglo Wilson loop/ interfaz sea supersim´etrico. En lo siguiente, seguiremos de cerca el an´alisis realizado en [202] donde se estudian las simetr´ıas de N = 4 SYM preservadas luego de la inserci´on de este tipo de defectos, debido a la presencia de la D5-brana en la descripci´on hologr´afica. Las supercargas preservadas por la interfaz son las que cumplen la siguiente condici´on6
P+0 = 0 y P+1= 1,
con P+=
1 2(1 + Γ
3ρ1ρ2ρ3) . (B.52)
Para encontrar las posibles supersimetr´ıas preservadas por el sistema completo, una vez insertado el Wilson loop, debemos buscar soluciones de (B.50) que simult´aneamente satisfagan (B.52). Notar que, cuando χ = 0, el t´ermino que multiplica ρ3se cancela, por lo que ambas condiciones conmutan y es posible encontrar soluciones, las cuales resultar´an de aplicar el proyector (B.52) sobre 1. De
hecho, estas son las ´unicas soluciones posibles. El sistema Wilson loop/ interfaz es entonces 1/4 BPS, y las supercargas quedan determinadas por la elecci´on que hagamos de 1, el cual se toma
del conjunto de cargas superconformes preservadas por el defecto. La lista de cargas preservadas
por el defecto es la siguiente (↑, ↑↓, ↑, ↑, ↑).Q ∓ (↓, ↑↓, ↓, ↓, ↓).Q , (↑, ↑↓, ↑, ↑, ↓).Q ± (↓, ↑↓, ↓, ↓, ↑).Q , (↑, ↑↓, ↑, ↓, ↑).Q ∓ (↓, ↑↓, ↓, ↑, ↓).Q , (↑, ↑↓, ↑, ↓, ↓).Q ± (↓, ↑↓, ↓, ↑, ↑).Q , (↓, ↑↓, ↑, ↑, ↑).S ∓ (↑, ↑↓, ↓, ↓, ↓).S , (↓, ↑↓, ↑, ↑, ↓).S ± (↑, ↑↓, ↓, ↓, ↑).S , (↓, ↑↓, ↑, ↓, ↑).S ∓ (↑, ↑↓, ↓, ↑, ↓).S , (↓, ↑↓, ↑, ↓, ↓).S ± (↑, ↑↓, ↓, ↑, ↑).S . (B.53) La notaci´on (↑↓, ↑↓, ↑↓, ↑↓, ↑↓) representa la base que utilizamos para descomponer los espinores 0, 1, los cuales, al provenir de la reducci´on dimensional de N = 1 en 10 dimensiones, poseen 32
componentes (entre ´ındices de Lorentz y de simetr´ıa R). Las primera dos entradas corresponden a ´ındices de Lorentz, mientras las tres restantes corresponden a ´ındices de SO(6) (direcciones en el sub´algebra de Cartan). Notar que las supersimetr´ıas preservadas por el defecto no mezclan super-Poincar´e con superconformes.
Como se menciona arriba, las supercargas del sistema total est´an parametrizadas por las posibles elecciones para 1 entre las cargas superconformes preservadas por la interfaz, las cuales correspon-
den a las ´ultimas 4 l´ıneas de la lista (B.53)
(↓, ↑↓, ↑, ↑, ↑).S ∓ (↑, ↑↓, ↓, ↓, ↓).S , (↓, ↑↓, ↑, ↑, ↓).S ± (↑, ↑↓, ↓, ↓, ↑).S , (↓, ↑↓, ↑, ↓, ↑).S ∓ (↑, ↑↓, ↓, ↑, ↓).S ,
(↓, ↑↓, ↑, ↓, ↓).S ± (↑, ↑↓, ↓, ↑, ↑).S . (B.54) Para cada l´ınea arriba (junto con la correspondiente elecci´on del signo), la correspondiente super- carga preservada tambi´en por el Wilson loop est´a dada por (B.51).
B.4.2 Teor´ıa de cuerdas
Ahora nos concentramos en las supersimetr´ıas preservadas por la configuraci´on de cuerdas. Como se explic´previamente, las transformaciones de supersimetr´ıa est´an parametrizadas por un espinor de Killing , el cual es soluci´on de imponer la nulidad de la variaci´on del gravitino. Para AdS5× S5,
esta ecuaci´on toma la forma
∇m −
1
donde γ = iγ0123 y γi son las matrices de Dirac planas en 10 dimensiones. Por otro lado, siendo
Emi el correspondiente vielbein, las matrices de Dirac curvas son Γm = Emi γi. La soluci´on a esta
ecuaci´on puede escribirse de la siguiente manera
(x) = e φ 2γ12 √ y H(θa) −+ y++ tγ04++ x3γ34++ re−φγ12γ14+ , (B.56) donde ± posee quiralidad positiva/negativa respecto de γ y puede parametrizarse en t´erminos de
dos espinores reales η1 y η2
+= (1 + γ) η1 − = (1 − γ) η2, (B.57)
donde H(θa) es la soluci´on a la ecuaci´on en el espacio interno. Para la soluci´on particular (B.56)
tenemos que (x) = e φ 2γ12 √ y h(θ) −+ y++ x3γ34++ re−φγ12γ14+ , (B.58) junto con h(θ) = eθ2γγ45. (B.59)
Las cargas preservadas por una dada configuraci´on satisface la ecuaci´on de simetr´ıa κ
(1 − Γ) = 0 , (B.60)
con el correspondiente proyector de simetr´ıa κ Γ =
αβ∂
αXm∂βXn
2√g ΓmnK , (B.61)
donde K es el operador de conjugaci´on7. Introduciendo (B.58) en (D.22) y luego multiplicando por √
ye−φ2γ12 obtenemos la siguiente ecuaci´on
e−φγ12Γ − r˜ 0γ 12 h−1(θ) −∗−+ y∗++ x3γ34∗++ re−φγ12γ14∗+ = = rh(θ) −+ y++ x3γ34++ re−φγ12γ14+ , (B.62) donde ˜ Γ = y0γ24+ x03γ23+ myγ25 ⇒ ˜Γ2= r02− r2. (B.63)
7Notar que, en nuestras convenciones, podemos tomar una representaci´on real para las matrices de Dirac junto co
la acci´on de K sobre los espinores
K±= ±∗± K ∗
±= ∓±.
La dependencia temporal debe cancelarse independientemente, lo que conlleva a la siguiente relaci´on ∗−= y − rr 0y0 (r0)2− r2 ∗++ x3+ c rr0y2 (r0)2− r2 γ34∗++ m rr0y (r0)2− r2γ45 ∗ + − r 2 (r0)2− r2 y 0− cy2γ 34− myγ45 γ12eθγγ45+. (B.64) Es f´acil ver que la parte independiente de τ en (B.62) da lugar a la misma relaci´on. Notar que el lado izquierdo de (B.64) es independiente de σ, por lo que, por consistencia, lo mismo debe ocurrir con el lado derecho. En particular, en el l´ımite κ → ∞ encontramos la siguiente condici´on
∗−= R cos χγ12++ R sin χγγ1245++ Lγ34∗+, (B.65)
Mientras que, por otro lado, la ecuaci´on de simetr´ıa κ para la configuraci´on de la D5-brana conlleva a la condici´on adicional [202, 203]
1
2(1 + γ3456) = . (B.66) Notar que ambas ecuaciones no son compatibles para valores arbitrarios de χ, siendo χ = 0 el ´unico caso en el que se obtiene una configuraci´on de hoja de mundo/ D5-brana supersim´etrica. Esto est´a de acuerdo con el an´alisis de supersimetr´ıa realizado en la teor´ıa de gauge.