La variaci´on de supersimetr´ıa para un Wilson loop de la forma (5.87) en N = 4 est´a dada por la siguiente expresi´on [201]:
δWR= trRP
Z
C
ds ¯Ψ( i Γµx˙µ+ ρini| ˙x|)(x(s)) WR. (B.67)
donde Γµ y ρi forman una representaci´on del ´algebra de Clifford para SO(3, 1) (espacio-tiempo) y SO(6) (espacio interno) respectivamente. En esta secci´on se utilizan las convenciones de [120] para estas matrices. Por lo tanto, la preservaci´on de alg´un subconjunto de supercargas, impone ciertas condiciones sobre la curva C sobre la que est´a insertado el operador. En particular, debe existir al menos una soluci´on para la siguiente ecuaci´on
( i Γµx˙µ+ ρini| ˙x|)(x(s)) = 0 , (B.68)
donde (x) es el espinor de Killing, generador de una transformaci´on general de supersimetr´ıa, y es de la forma
con 0 y 1 espinores constantes. En particular, una curva circular en el espacio tiempo preserva
la mitad de las supercargas, siempre y cuando el vector ni que determina la orientaci´on en el
espacio interno sea constante a lo largo de la misma. Las supercargas preservadas por este tipo de operadores son combinaciones no triviales de cargas super-Poincar´e (generadas por 0) y super-
conformes (generadas por 1), pero nunca ambas por separado.
Para un correlador de dos Wilson loops definidos sobre curvas C1 y C2, la variaci´on de super-
simetr´ıa es de la forma δ WR1WR2 = trR1P Z C1 ds ¯Ψ( i Γµx˙µ+ ρin(1)i | ˙x|)(x(s))WR2 +WR1trR2P Z C2 ds ¯Ψ( i Γµx˙µ+ ρin(2)i | ˙x|)(x(s)) . (B.70)
Entonces, para que este correlador sea supersim´etrico es necesario que se satisfagan simult´aneamente las ecuaciones
( i Γµx˙1µ+ ρin(1)i | ˙x1|)(x1(s)) = 0 y ( i Γµx˙2µ+ ρin(2)i | ˙x2|)(x2(s)) = 0 . (B.71)
Hologr´aficamente, el vector ni es interpretado en t´erminos de coordenadas sobre la esfera S5
[200]. En particular, estamos interesados en el caso en el que C1 y C2 son curvas circulares
coincidentes, y tanto n(1)i como n(2)i son vectores constantes ubicados en alguno de los polos de la esfera S5. Expl´ıcitamente, consideramos xµa(s) = (0, cos s, sasin s, 0), sa = ±1 (a = 1, 2) y
n(a)i = (ra, 0, 0, 0, 0, 0) with ra = ±1. La parametrizaci´on relativa entre las curvas circulares C1 y
C2 queda entonces determinada por el signo sa (sa= +1 que implica ambas curvas se recorren en
el mismo sentido y viceversa). Por otro lado, el signo ra determina si los vectores n(1)i y n (2) i son
coincidentes (ra= +1) o antipodales (ra= −1). En este caso, la condici´on de supersimetr´ıa (B.71)
toma la forma
(− i Γ1sin s + i saΓ2cos s + raρ1)(0+ cos sΓ11+ sasin sΓ21) = 0 . (B.72)
Es f´acil ver que estas dos ecuaciones, para a = 1, 2, se satisfacen simult´aneamente para cualquier valor del par´ametro s si imponemos las proyecciones
− i Γ10+ saraρ1Γ21= 0 . (B.73)
Encontramos entonces que si s1r1 = s2r2, entonces ambos Wilson loops preservan el mismo sub-
conjunto de supercargas, por lo que el correlador resulta supersim´etrico. Adem´as de la opci´on obvia r1 = r2 y s1 = s2 en la que tanto las curvas como las orientaciones en el espacio interno son
id´enticas, la ecuaci´on (B.73) implica que r1 = −r2 y s1= −s2 (orientaciones opuestas tanto en las
Ap´endice C
Correladores de una CFT y
coordenadas proyectivas
En esta secci´on, repasaremos el formalismo mediante el cual podemos reescribir las funciones de correlaci´on de una CFT en t´erminos de las coordenadas de un espacio proyectivo de dimensi´on m´as grande [204]. El grupo de transformaciones conformes en un espacio-tiempo d-dimensional puede realizarse en t´erminos de rotaciones en un espacio proyectivo (d + 2)-dimensional. En particular, para el espacio Eucl´ıdeo en d = 3, el grupo conforme es SO(1, 4), por lo que trabajaremos en el cono definido
X · X = ηABXAXB= 0 , (C.1)
donde A, B = 1, 2, . . . 5 y ηAB = diag(1, 1, 1, 1, −1). Dado que las XA son coordenadas en un
espacio proyectivo, hacemos la identificaci´on cXA ' XA para cualquier constante c no nula. A
su vez, podemos relacionar las coordenadas del espacio-tiempo xµ (µ = 1, 2, 3) con las del espacio proyectivo de la siguiente manera
xµ= X
µ
X4+ X5 , (C.2)
de manera tal que las transformaciones conformes actuando sobre xµson se traducen simplemente en rotaciones de SO(1, 4) sobre las coordenadas XA. De esta manera, es f´acil ver que
X · X0= −1 2(X
4+ X5)(X04+ X05)(x − x0)2. (C.3)
Los campos tensoriales en el espacio proyectivo quedan de esta manera ´ıntimamente relacionados a los campos tensoriales en el espacio-tiempo 3-dimensional. En particular, un escalar φ en el espacio-tiempo con dimensi´on conforme ∆ se asocia con un campo escalar Φ de SO(1, 4) tal que
Por lo tanto, para un par de campos escalares de igual dimensi´on conforme, tenemos que hφ1(x)φ2(x0)i = (X4+ X5)∆(X04+ X05)∆hΦ1(X)Φ2(X0)i = (X4+ X4)∆(X04+ X05)∆ (−2X · X0)∆ = 1 (x − x0)2∆. (C.5)
Hasta aqu´ı, hemos mencionado funciones de correlaci´on calculadas en el vac´ıo de la teor´ıa. Sin embargo, la simetr´ıa conforme tambi´en restringe la forma de los correladores de doble bracket definidos sobre un Wilson loop (2.66). Ya sea para el Wilson loop recto o el circular, se tiene que
hhφIJ(x(τ ))φKL(x(τ0))ii = γ(λ) (X
4(τ ) + X5(τ ))(X4(τ0) + X5(τ0))
−2X(τ ) · X(τ0) δ I
LδKJ , (C.6)
donde φIJ(x) = CJ(x) ¯CI(x) y I, J, K, L toman valores 1,2 de aqu´ı en adelante. Notar que en (C.6),
la ´unica dependencia en λ proviene del coeficiente γ, i.e. esta funci´on de correlaci´on no desarrolla dimensi´on an´omala. Esta ´ultima afirmaci´on es v´alida en el caso de que la inserci´on preserve algunas de las supersimetr´ıas del Wilson loop. De hecho, este es el caso cuando se inserta C1(x) ¯C2(x) y
C2(x) ¯C1(x), los cuales son considerados en (2.3),(2.69) cuando MJI = diag(−1, 1, −1, 1)1.
Ahora evaluamos (C.6) para una semirrecta y un c´ırculo. Parametrizamos la semirrecta inmersa en R3 de la forma
(x1, x2, x3) = (eτ, 0, 0) , τ ∈ (−∞, ∞) , (C.7) donde τ se corresponde con el tiempo Eucl´ıdeo en R × S2. En t´erminos de las coordenadas proyec-
tivas (C.2), la curva se escribe como
(X1, X2, X3, X4, X5) = (1, 0, 0, − sinh τ, cosh τ ) , (C.8) y, de (C.6), obtenemos
hhφIJ(x(τ ))φKL(x(τ0))iistraight=
γe−τe−τ0δLIδKJ
2 cosh(τ − τ0) − 2, (C.9)
Para la curva circular en R3 proponemos la siguiente parametrizaci´on
(x1, x2, x3) = (0, cos τ, sin τ ) , (C.10) y, en t´erminos de las coordenadas proyectivas,
(X1, X2, X3, X4, X5) = (0, cos τ, sin τ, 0, 1) , (C.11) por lo que finalmente se obtiene
hhφIJ(x(τ ))φKL(x(τ0))iicircle=
γδI LδKJ
2 − 2 cos(τ − τ0). (C.12)
1
Ap´endice D
Repaso de la soluci´on cl´asica para el
cusp general
En esta secci´on repasamos la soluci´on cl´asica encontrada en [129] y el correspondiente espectro de fluctuaciones para una cuerda en AdS4×CP3 que, en la frontera, describe una l´ınea con un peque˜no
cusp geom´etrico φ e interno θ.
D.1
Soluci´on cl´asica
La m´etrica de AdS4× CP3 es
ds2= R2 ds2AdS4+ 4ds2
CP3 , (D.1)
donde
ds2AdS4 = − cosh2ρdt2+ dρ2+ sinh2ρ dψ2+ sin2ψdϕ2 . (D.2) En esta geometr´ıa, consideramos la acci´on de GS. Una vez fijado el gauge est´atico, la acci´on para los grados de libertad bos´onicos es del tipo Nambu-Goto. Tomando t y ϕ como las coordenadas de la hoja de mundo, S = r λ 2 Z d2σpdet Gµν∂iXµ∂jXν, (D.3)
donde µ, ν y i, j son ´ındices del espacio de fondo y de la hoja de mundo respectivamente, Gµν es la
m´etrica del espacio de fondo y Xµ denota las coordenadas dela cuerda sobre este espacio.
El radio global ρ y la direcci´on de Killing ϑ en CP3, se proponen como funciones de la variable ϕ
ρ = ρ(ϕ) , ϑ = ϑ(ϕ) , (D.4) mientras que el resto de las coordenadas de la configuraci´on se consideran fijas. Los ´angulos de cusp φ y θ est´an relacionados con la extensi´on angular de la cuerda en AdS y CP3 respectivamente.
A su vez, las cantidades conservadas asociadas a traslaciones en t y ϑ son E = − sinh 2ρ cosh ρ q sinh2ρ + (∂ϕρ)2+ (∂ϕϑ)2 , J = q ∂ϕϑ cosh ρ sinh2ρ + (∂ϕρ)2+ (∂ϕϑ)2 . (D.5)
Notar que la condici´on BPS (es decir que la configuraci´on preserve cargas super-Poincar´e) es equiv- alente a nivel cl´asico a tomar E = ±J . Introducimos dos par´ametros
p = 1
E , q = − J
E, (D.6)
en t´erminos de los cuales los ´angulos de cusp pueden expresarse de la siguiente manera φ = π − 2 p 2 bpb4+ p2 Π b4 b4+ p2 | k 2 − K(k2) , θ = p 2bq b4+ p2K(k 2) , (D.7) donde p2 = b 4(1 − k2) b2+ k2 , q 2= b2(1 − 2k2− k2b2) b2+ k2 . (D.8)
El l´ımite de ´angulo peque˜no (φ, θ 1) corresponde a p → ∞ φ = π p + π(3q2− 5) 4p3 + O(p −5 ) , θ = πq p + πq(q2− 3) 4p3 + O(p −5 ) . (D.9) La acci´on cl´asica para esta configuraci´on resulta
Scl = T √ 2λ p b4+ p2 bp (b2+ 1)p2 b4+ p2 K(k 2 ) − E(k2) , (D.10)
donde T es un cut-off para la integraci´on en el tiempo. A su vez, la divergencia correspondiente a ρ → ∞ a sido eliminada mediante la regularizaci´on del volumen.