Una vez se ha entendido el comportamiento de las estructuras de fábrica, para lo que se ha explicado uno de los ensayos a escala realizados para la presente tesis, se plantea una herramienta de análisis basada en los principios del análisis límite (aplicación de los teoremas de la plasticidad a las construcciones de fábrica, formulada por Heyman (1966), (1980) y (1982). Diversos estudios han comprobado la validez de las simplificaciones implícitas al método acerca del comportamiento a nivel seccional (fábrica no resistente a tracción, resistencias a compresión y cortante infinitas) y que éstas son coherentes con la forma de trabajo de estas estructuras. Estas simplificaciones son las siguientes:
• Se considera que los elementos de fábrica no resisten tracciones. En realidad, si la sección no está fisurada previamente, resisten tracciones de pequeña magnitud que se desprecian dejando así la solución del lado de la seguridad. En caso de existir fisuras existentes, esta hipótesis se ajusta de forma fiel a la realidad.
• Se considera la resistencia a compresión infinita. Como es lógico, la resistencia a compresión de la fábrica es limitada. Pero los resultados de diferentes estudios (como los que se muestran en la tabla 4.5 y el realizado en el marco de estudio que se presenta a continuación) desprenden que las tensiones a las que trabaja normalmente las construcciones de fábrica están muy por debajo de la resistencia a compresión de la fábrica.
Tabla 4.5. Tensiones de trabajo de diferentes elementos en edificios de fábrica.
Edificio Elemento Tensión
[MPa]
Referencia
Catedral de Tarazona Base de pilares 2,10 (Roca y Lodos 2001)
Catedral de Barcelona Base de pilares 3,00 (Roca y Lodos 2001)
Catedral de Mallorca Base de pilares 2,60 (Roca y Lodos 2001)
Catedral de Mallorca Base de pilares 2,20 (Martínez Martínez, León González, y otros 2002)
Catedral de Beauvais Base de pilares 1,30 (Huerta y Fuentes 2010)
Catedral de Sant James at Leuven Base de pilares 3,10 (Luc Schueremans, y otros 2006)
Catedral de Sevilla Base de pilares 1,00 (Gómez y Gómez de Terreros 2000)
Cúpula de San Pedro (Roma) Base de pilares 1,70 (S. Huerta Fernández 1990)
Bóveda de San Pablo (Londres) Base de pilares 1,90 (S. Huerta Fernández 1990)
Cúpula de Los Inválidos (París) Base de pilares 1,40 (S. Huerta Fernández 1990)
Cúpula de Santa Genoveva (París) Base de pilares 2,90 (S. Huerta Fernández 1990)
Iglesia de San Pablo Extramuros (Roma) Base de pilares 2,00 (S. Huerta Fernández 1990)
Iglesia de Tours Saint d’Angers Base de pilares 4,40 (S. Huerta Fernández 1990)
Cúpula de Santa Sofía Base de pilares 2,20 (S. Huerta Fernández 1990)
Iglesia de La Magdalena de Olivenza Base de pilares 0,60 (Fortea Luna 2008)
Iglesia de Santa María del Mar Base de pilares 3,80 Sánchez, Fabregat y otros (2007)
Panteón (Roma) Base del tambor 0,60 (S. Huerta Fernández 1990)
Iglesia de Atán Base de contrafuertes 0,61 (S. Huerta Fernández 1996)
Catedral de Burgos Bóvedas 0,12 (Cassinello Plaza 1996)
Catedral de Sevilla Bóvedas 0,17 (Cassinello Plaza 1996)
Monasterio de El Escorial Bóvedas rebajadas 2,00 (Ávila Jalvo 1998)
Catedral de Florencia Base de pilares 1,80 (Como 2013)
Luego esta simplificación no será determinante siempre y cuando no se trate de elementos especialmente blandos o con cargas concentradas o grandes, como sucede en los puentes, en los que generalmente estas tensiones son mayores. Mención aparte
merecerán los problemas de cansancio que pueden existir en este tipo de construcciones y que se explicarán más adelante.
Respecto de si la limitación de las tensiones de compresión es o no determinante, se ha realizado para el presente estudio la siguiente demostración, que pretende explicar cómo no es determinante la comprobación tensional en el análisis de bóvedas. En las figuras 4.36 y 4.37 se muestra la relación entre la luz (en abscisas) y la “esbeltez límite” de la misma, llamando así al resultado de dividir la luz entre el espesor mínimo necesario, para esa luz, para que una bóveda sea estable conforme a los criterios del análisis límite y para que, además de estable, no se supere una cierta tensión límite de plastificación conforme a la metodología expuesta. La figura 4.36 muestra los resultados para bóvedas de cañón circular (cuya relación flecha/luz es igual a 0,50) y la figura 4.37 muestra los resultados para los rangos de luces habituales en este tipo de construcciones.
Figura 4.36. Relación entre L/emin (ordenadas) y L (abscisas) para una bóveda de cañón con f/L = 0,504
La zona sombreada en gris indica la zona habitual en la que se sitúan las bóvedas románicas en España (Lmín=4,40 m y Lmáx=14,4 m). La zona sombreada con líneas verticales muestra los límites habituales para la esbeltez de estas bóvedas (L/emin=4,40/0,20=22 y L/emax=14,40/0,30=48)
A: sin limitar tensiones.
B: límite de tensiones de 5,0 N/mm2. C: límite de tensiones de 1,5 N/mm2. D: límite de tensiones de 1,0 N/mm2.
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El gráfico se ha construido calculando, mediante un modelo de línea de presiones, el espesor mínimo necesario para que se cumplan las condiciones impuestas (de equilibrio, o de equilibrio más un límite de tensión). En ninguno
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 L/e min Luz [m] A B C D
Figura 4.37. Relación entre L/emin (ordenadas) y L (abscisas) para una bóveda de cañón con f/L = 0,50. Es una ampliación de la zona de luces habituales indicada en la figura 4.36 con trama gris vertical.
El significado de cada línea es el mismo que en la figura 4.36.
De las figuras anteriores se puede concluir que el incremento de canto necesario para que, además de cumplirse las condiciones de estabilidad, se cumpla que no se supere una cierta tensión máxima de plastificación, es relativamente pequeño para bóvedas de luces como las consideradas en el ámbito del presente trabajo. Baste de ejemplo que para una bóveda de 20,0 m de luz, valor ya considerable, el incremento de espesor de la bóveda necesario para cumplir el límite, en principio bastante restrictivo, de que la tensión de plastificación sea menor de 1,0 N/mm2 respecto al espesor necesario para que tan solo se satisfagan las condiciones de estabilidad es de un 14,6%. Para una luz más dentro del rango habitual, como 7 m, como la marcada en la figura 4.37, el incremento correspondiente de canto apenas llega al 5%.
36 37 38 39 40 41 42 4.4 6.4 8.4 10.4 12.4 14.4 L/e min Luz [m] A B C D
Figura 4.38. Relación entre L/emin (ordenadas) y L (abscisas) para una bóveda de cañón con f/L = 0,70 A: sin limitar tensiones.
B: límite de tensiones de 5,0 N/mm2. C: límite de tensiones de 1,5 N/mm2. D: límite de tensiones de 1,0 N/mm2.
Figura 4.39. Relación entre L/emin (ordenadas) y L (abscisas) para una bóveda de cañón con f/L = 0,70
El significado de cada línea es el mismo que en la figura 4.38.
De manera semejante al caso de bóvedas de cañón circular, en las bóvedas de cañón apuntado el incremento de espesor necesario para que además de cumplirse las condiciones de estabilidad se cumpla el límite de tensión de plastificación es de 23,1%, se indica en las figuras 4.38 y 4.39, valor ya significativo
Además se puede extraer la siguiente conclusión de interés: la relación de la esbeltez mínima (L/e) que cumple las condiciones de estabilidad en el caso de la bóveda de cañón circular y de la de cañón apuntado es muy similar como puede apreciarse en la tabla 4.6. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0.0 10.0 20.0 30.0 40.0 50.0 L/e min [m] L [m] A B C D 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 5.0 10.0 15.0 20.0 L/e min [m] L [m] A B C D
Tabla 4.6. “Esbelteces límite” para diferentes bóvedas de cañón considerando o no la tensión de plastificación del material. Elemento f/L L/e σlim= L/e σlim Bóveda románica 0,50 41,8 40,4/37,7 Bóveda gótica 0,70 40,5 38,6/32,9 Incremento +40,0% -3,1% -4,5%/-12,7%
La tercera columna indica el valor de la esbeltez (L/e) que satisface las condiciones de estabilidad, suponiendo que la resistencia a compresión de la fábrica es infinita.
La cuarta columna muestra la esbeltez (L/e) que cumple las condiciones de estabilidad y limita la tensión de compresión de la fábrica a 1 N/mm2. El primero de los valores se corresponde con la Lmin del presente estudio y el segundo para la Lmax.
• No se considera posible el deslizamiento entre elementos, es decir, el rozamiento entre las juntas es suficientemente alto como para impedir el deslizamiento. En general, son pocos los casos en los que se han evidenciado deslizamientos en construcciones de fábrica, ya que si la construcción tiene un aparejo, o mejor dicho, un despiece adecuado es difícil que se produzca este tipo de fallo si no es debido a cargas puntuales importantes que no son habituales en edificaciones. En algún caso se ha observado que una pérdida del material de juntas ha provocado que la pieza deslice hasta encontrar una posición estable, pero ese es un problema inducido por durabilidad y falta de mantenimiento.
Nótese aquí que siendo conocida la resistencia a compresión de la fábrica, bien por haberse caracterizado la misma, bien porque se estime conociendo las características geométricas y resistentes de los morteros y de las piezas, se puede, conforme a lo expuesto en (Martínez Martínez 2003), comprobar las secciones frente a solicitaciones normales y tangenciales por medio de diagramas de interacción de ambos esfuerzos empleando hipótesis plásticas o elásticas para la distribución de tensiones tal y como se indica en la figura 4.40.
Figura 4.40. En figura de la izquierda se muestran las hipótesis empleadas para determinar en las diferentes secciones de cálculo los diagramas de interacción entre tensiones normales y tangenciales conforme a una hipótesis plástica, con una distribución rectangular de esfuerzos normales y una distribución uniforme de esfuerzos tangenciales. En la figura de la derecha se muestran las hipótesis empleadas con una distribución de esfuerzos elástica lineal (diagrama de tensiones triangular). Ambas figuras han sido tomadas de (Martínez Martínez 2003).
Con esta manera de proceder, la estabilidad de un elemento de fábrica se asegura sin más que comprobar que la línea de empujes, lugar geométrico de la resultante de esfuerzos que
mantienen en equilibrio cada parte de la estructura, queda dentro de los contornos de la fábrica. Basándose en el teorema del límite inferior de la plasticidad, si para unas cargas conocidas se puede establecer una de las infinitas líneas de empujes que pueden darse, y ésta queda dentro del contorno de la fábrica, se puede asegurar la estabilidad de la estructura y que las cargas aplicadas son inferiores a las de colapso. De la misma forma, aplicando el teorema del límite superior, si para una geometría conocida se obtiene una carga tal que se produce el número de rótulas necesario para transformar la estructura en un mecanismo, la carga aplicada es la de colapso.