Discussion 102 !

Para este sistema tenemosf(x) =µx(1₋x).El mapa con control correspondiente ha sido estudiado en [11], donde las bifurcaciones fueron halladas en forma num´erica. En esta secci´on obtenemos resultados anal´ıticos que formalizan y generalizan los estudios num´ericos mencionados.

Es bien conocido que el mapa xn+1 =µxn(1−xn) tiene un punto fijo no trivial

ˆ

x= 1₋µ−1 _{paraµ >1.Este punto fijo es estable paraµ <3,y sufre una bifurcaci´on}

de doble per´ıodo para µ = 3, en este valor del par´ametro ˆx pasa a ser inestable y surge una ´orbita estable de per´ıodo 2 (σP D

O = 9). El objetivo principal es analizar

la efectividad del control echo-type para tratar de modificar la din´amica y que la ´orbita de per´ıodo dos exista para valores deµm´as grandes, extendiendo as´ı el rango de estabilidad de ˆx.El sistema controlado a estudiar es

xn+1 = (1−ρ)µxn(1−xn) +ρxn−k. (8.39)

Aplicando las proposiciones demostradas en la secci´on anterior y considerando que Dxf(ˆx, µ) = 2 −µ, Dxxf(ˆx, µ) = −2µ y Dxxxf(ˆx, µ) = 0, se obtienen las

siguientes expresiones de las curvas cr´ıticas y de los ´ındices de estabilidad de los escenarios din´amicos existentes.

Bifurcaci´on PD. Los puntos cr´ıticos y los coeficientes de estabilidad son:

• Caso k impar: µ= 3, σ_odP D = 9(1−ρ) 1 +kρ , (8.40) • Caso k par: µ= 3−ρ 1−ρ, σ P D ev = (3₋ρ)2 1 +kρ . (8.41)

8.5. Ejemplos 115

Bifurcaci´on NS. La curva cr´ıtica resulta

ρ=− sen(ω0)

sen(ω0k)

, µ= 2− sen(ω0(k+ 1))

sen(ω0k) + sen(ω0)

, (8.42)

y el coeficiente de estabilidad correspondiente es

σN S =₋(1−ρ)µ 2 2 Re n eiω0k eiω0(k+1)+kρ h 2 µ₋1+ (1−ρ)ei2ω0k ei2ω0(k+1)−(1−ρ)(2−µ)ei2ω0k−ρ io . (8.43)

Como esper´abamos, el rango de estabilidad de ˆx no cambia si el controlador es implementado con una cantidad impar de retardos. Sin embargo, el punto de bifurcaci´on PD se puede trasladar a valores mayores deµsik es par. El ´ındiceσP D ev

es positivo si kρ < 1 y negativo si kρ > 1, lo que implica que la estabilidad de la oscilaci´on de per´ıodo dos podr´ıa cambiar de acuerdo a la combinaci´on de valores de

ρy k. La condici´on kρ= 1 con k par corresponde a la resonancia fuerte 1:2, que es el punto en que las bifurcaciones PD y NS interact´uan entre s´ı.

La figura 8.4 izquierda muestra las curvas de doble per´ıodo y Neimark–Sacker en el espacio de par´ametros ρ–µ, donde se ha fijado k = 2. Observamos que la regi´on en el espacio de par´ametros donde el punto fijo es estable se ha incrementado con respecto al sistema sin control. As´ı, por ejemplo, el punto fijo pierde su estabilidad enµ= 3 si ρ= 0 (caso sin control), mientras que este fen´omeno ocurre en µ= 3,5 si ρ = 0,2. El rango de estabilidad puede ser a´un mayor si consideramos mayores valores deρ.Sin embargo, el comportamiento din´amico en un entorno de ˆxser´a m´as complicado cuando el valor de ρ se acerca al punto de resonancia (notado como

R1:2).

En este ejemplo, la bifurcaci´on NS presenta una singularidad Chenciner cerca de

R1:2. Esta singularidad est´a caracterizada por la condici´on σN S = 0, y la existencia

de la misma indica que podr´ıan existir ´orbitas m´ultiples alrededor de ˆx (ver [45]). Para k = 2 en el punto (ρCh, µCh)≈ (0,549,4,823), se verifica la condici´on de esta

singularidad. Mostramos en la figura 8.4 derecha la coexistencia del punto fijo estable con diferentes ´orbitas invariantes (estables e inestables) para µ < µ0 y ρ >1/2. En

ambos casos, la aparici´on de una ´orbita inestable alrededor del punto fijo llama la atenci´on respecto de un hecho interesante. Aunque la regi´on de estabilidad es mayor, la base de atracci´on de ˆx se reduce.

Para completar el an´alisis, graficamos los diagramas de bifurcaci´on para k = 2 y dos valores diferentes de ρ en la figura 8.5. Para ρ = 0,2, el punto fijo pierde su estabilidad cuando una ´orbita estable de per´ıodo 2 emerge alrededor del mismo. Sin embargo, una bifurcaci´on NS provoca la primer inestabilidad del punto fijo para

ρ = 0,6. El valor anterior de ρ parece ser un valor suficientemente alejado de la regi´on en la que se encuentran la resonancia fuerte y el punto Chenciner ya que el punto fijo es el ´unico atractor (estable) paraµ < µ0.

En vista de las condiciones cr´ıticas de cada una de las bifurcaciones enumeradas antes, la mayor regi´on de estabilidad del equilibrio ˆxse obtiene considerando preci- samente el m´ınimo n´umero de retardos pares en la ley de control (k = 2). Cuando

k aumenta, la resonancia 1:2 se traslada sobre la curva PD con menores valores de

116 Cap´ıtulo 8. Sistemas discretos con retardo

Figura 8.4: Izquierda: Diagrama de bifurcaciones en el espacio ρ–µpara k = 2. PD: doble per´ıodo supercr´ıtico (+) y subcr´ıtico (-). NS: Neimark–Sacker supercr´ıtica (+, oscuro) y subcr´ıtica (-, claro). Derecha: M´ultiples atractores que rodean el punto fijo estable: (a)ρ = 0,51 yµ= 4,95 (punto I, figura izq.), (b)ρ= 0,525 yµ= 4,9 (punto II, figura izq.).

Como un ejemplo, en la figura 8.6 presentamos el espacio de par´ametros ρ–µ co- rrespondiente a k = 6. En este caso, el m´aximo del rango de estabilidad se reduce a µ = 3,4, en contraste con µ = 5 obtenido para k = 2. Sin embargo, se puede deducir que σN S _{> 0 en la curva cr´ıtica NS para µ < 3,4, por lo tanto, las ´orbitas}

invariantes s´olo aparecen si ˆx es inestable (bifurcaci´on NS supercr´ıtica). Luego, la base de atracci´on del punto fijo no es afectada por el controlador.

Los diagramas de bifurcaci´on de la figura 8.6 ilustran c´omo el escenario din´amico puede ser muy distinto al que obtuvimos para k = 2. En el caso particular ρ= 0,2,

el punto fijo pierde su estabilidad en µ0 ≈ 3,357 debido a una bifurcaci´on NS.

La ´orbita que surge se vuelve inestable cuando µ ≥ 3,674 y podemos hallar una ´orbita de per´ıodo dos estable. El mismo fen´omeno se describe en [11] para k = 12 y ρ= 0,1, pero la condici´on para la existencia de bifurcaci´on NS fue calculada s´olo num´ericamente.

Finalmente, en la figura 8.7 graficamos curvas cr´ıticas en el plano ρ–µ para distintos valores impares de k. Como probamos anteriormente, para estos valores del retardo no existe resonancia 1:2 que conecte escenarios PD y NS. M´as a´un, el comportamiento din´amico cambia s´olo cuando ˆxse vuelve inestable.

8.5. Ejemplos 117

Figura 8.5: Diagramas de bifurcaci´on para k= 2. (a) ρ= 0,2, (b) ρ= 0,6.

Figura 8.6: Izquierda: Diagrama de bifurcaciones para k = 6. PD: doble per´ıodo supercr´ıtico (+) y subcr´ıtico (-). NS: Neimark–Sacker supercr´ıtica (+, oscuro) y subcr´ıtica (-, claro). Derecha: Diagrama de bifurcaci´on para k = 6. (a) ρ= 0,2, (b)

ρ= 0,6.