CHAPTER 5 – OVERALL DISCUSSION 109 !
5.2 Lessons Learned 111 !
El siguiente mapa corresponde al modelo discreto de poblaci´on estudiado en [64]
xn+1 =f(xn, b) =
xn
1−bxn+x2n
118 Cap´ıtulo 8. Sistemas discretos con retardo
Figura 8.7: Diagrama de bifurcaciones para distintos valores de k impar. La distin- ci´on entre NS subcr´ıtica y supercr´ıtica se usa solamente para describir la direcci´on de nacimiento de los ciclos ya que el punto fijo es inestable (debido a la PD bifurcaci´on).
dondexn representa la densidad de poblaci´on en el a˜non, y b >0 es una constante.
El sistema tiene un punto fijo en el origen y otro punto fijo no trivial ˆx = b. En [64] se observ´o que este ´ultimo sufre una bifurcaci´on de doble per´ıodo para b =√2, y el ciclo que existe para b > √2 es estable (σO = 1). Adem´as, si se contin´ua
incrementando el valor del par´ametro, se observa que el mapa presenta una cascada de bifurcaciones de doble per´ıodo.
Aplicando la realimentaci´on con retardo a este mapa, obtenemos
xn+1 = (1−ρ)
xn
1−bxn+x2n
+ρxn−k. (8.45)
Para este caso, las derivadas de la funci´on no lineal son: Dxf(ˆx, b) = 1−b2,
Dxxf(ˆx, b) = 2b(b2−2) y Dxxxf(ˆx, b) = 6(−b4+ 3b2−1).
Como hemos determinado anteriormente, parakimpar se mantiene la bifurcaci´on de doble per´ıodo cuando b = √2, y en la misma se genera una ´orbita de per´ıodo dos estable (σP D
od = (1−ρ)/(1 +kρ)). En el caso de retardos pares, utilizando las
condiciones de bifurcaci´on calculadas en las secciones anteriores podemos determinar que la bifurcaci´on se desplaza hacia valores mayores del par´ametro. En particular, la bifurcaci´on se da en el valor cr´ıtico b = p2/1−ρ y el coeficiente de estabilidad en este caso resulta
σP Dev = 7ρ
2−4ρ+ 1
(1−kρ)(1−ρ). (8.46)
Como el numerador es positivo, si kρ <1 la bifurcaci´on es supercr´ıtica y si kρ >1 la misma es subcr´ıtica.
A partir de las condiciones de bifurcaci´on NS calculamos una curva en el espacio de par´ametros ρ–b, que graficamos en la figura 8.8. En los puntos de esta curva, la estabilidad se determina calculando el coeficiente σN S correspondiente.
A continuaci´on ilustramos el comportamiento que presenta el sistema para dis- tintas combinaciones de ρ y b cercanas a las curvas de PD y NS de la figura 8.8
8.6. Conclusi´on 119
Figura 8.8: Izquierda: Diagrama de bifurcaciones en dos par´ametros. PD: doble per´ıodo supercr´ıtico (+) y subcr´ıtico (-). NS: Neimark–Sacker supercr´ıtica (+, rojo) y subcr´ıtica (-, verde). La ampliaci´on muestra los puntos de simulaciones. Derecha: (Punto a) ´Orbita de per´ıodo 2;ρ= 0,4, b = 1,828 (Para este valor deρla bifurcaci´on de doble per´ıodo se da parabD ≃1,826).
izquierda. En la figura 8.8 derecha se observa la ´orbita de per´ıodo dos estable gene- rada a partir de la bifurcaci´on PD, donde el punto fijo ha perdido su estabilidad.
En las figuras 8.9 y 8.10 ilustramos la interacci´on del punto fijo con una ´orbita inestable de la bifurcaci´on de Neimark–Sacker subcr´ıtica. En primera instancia el punto fijo es estable y se halla rodeado por dicha ´orbita (figura 8.9 izquierda); luego, ´esta colapsa con el punto fijo, y como resultado este ´ultimo se vuelve inestable (figura 8.9 derecha). La presencia de esta ´orbita inestable advierte sobre un hecho importante: si bien la regi´on en el espacio de par´ametros donde el punto fijo es estable se ha incrementado, el dominio de atracci´on del mismo se ve reducido, pues aparecen otros atractores que no exist´ıan en el sistema original. En ambos casos, el escenario se encuentra rodeado por una ´orbita estable, que es ajena a las bifurcaciones locales analizadas. Finalmente, en las figuras 8.10 izquierda y 8.10 derecha se observa c´omo el punto fijo pierde la estabilidad y nace una ´orbita estable que lo rodea, mediante el mecanismo de bifurcaci´on de Neimark–Sacker supercr´ıtica.
8.6.
Conclusi´on
A lo largo de este cap´ıtulo presentamos un estudio detallado, utilizando el m´etodo en frecuencia, del comportamiento din´amico exhibido por un mapa escalar bajo la acci´on de un controlador con retardo. El escenario din´amico que se observa en el sistema controlado depende fuertemente de la paridad del retardo k. Esto ha sido puntualizado en [11] para el caso log´ıstico. En este cap´ıtulo mostramos este comportamiento para un mapa gen´erico; adem´as hallamos condiciones expl´ıcitas para la ocurrencia de bifurcaciones de doble per´ıodo y Neimark–Sacker, y calculamos expresiones para los coeficientes de curvatura que indican la estabilidad de las ´orbitas emergentes.
120 Cap´ıtulo 8. Sistemas discretos con retardo
Figura 8.9: Izquierda: (Punto b) ρ= 0,75, b= 1,823. Interacci´on local de una ´orbita inestable con el punto fijo estable. (Azul) ´Orbita estable exterior. Derecha: (Punto c)ρ = 0,75, b = 1,84. Se observa la ´orbita estable exterior.
Figura 8.10: Izquierda: (Punto d) ρ = 0,85, b = 1,78. Derecha: (Punto e) ρ = 0,85, b = 1,785.
espacio de par´ametros las bifurcaciones estudiadas. La regi´on de estabilidad del equilibrio s´olo puede extenderse utilizando valores pares del retardo k, pues para valores impares del retardo el doble per´ıodo aparece en el mismo lugar que en el sistema sin control. Sin embargo, para valores pares de k surge el fen´omeno de resonancia 1:2, que introduce din´amicas complejas, las cuales pueden resultar no deseadas. Si bien la regi´on de estabilidad del punto fijo en el espacio de par´ametros se incrementa, su cuenca de atracci´on se ve afectada por la aparici´on de otros atractores que coexisten con dicho punto.
9
Conclusiones
En esta tesis presentamos dos metodolog´ıas para el estudio de soluciones oscila- torias en ecuaciones diferenciales con retardo.
En primer lugar, utilizamos el HAM para estudiar ecuaciones diferenciales con y sin retardo. Realizamos un an´alisis completo de las soluciones de un p´endulo simple mostrando la potencialidad del HAM. Adem´as, desarrollamos una metodolog´ıa que permite encontrar expresiones anal´ıticas de las soluciones peri´odicas y determinar su estabilidad. Expresamos en el contexto del HAM las condiciones de bifurcaci´on de Hopf, y para un sistema particular presentamos distintas bifurcaciones de Hopf doble que han sido, s´olo en algunos casos, estudiadas con otras metodolog´ıas (formas normales, variedad centro, etc.). El HAM nos permiti´o observar y luego probar la existencia de las que denominamos como soluciones isocr´onicas en sistemas con retardo. En particular, determinamos la existencia de ramas de soluciones que tienen el mismo per´ıodo en ciertos sistemas conservativos realimentados con retardo.
En segundo lugar, presentamos una metodolog´ıa iterativa en frecuencia que ge- neraliza resultados existentes para el estudio de EDRs. Con esta metodolog´ıa es posible obtener una ecuaci´on de bifurcaci´on de alto orden, a partir de la cual se pueden determinar bifurcaciones de Hopf generalizadas utilizando teor´ıa de singu- laridades. Describimos algunas bifurcaciones locales de soluciones peri´odicas para varias ERDs, y observamos comportamientos din´amicos complejos de los ciclos. Por ´
ultimo, analizamos sistemas discretos con retardo utilizando el m´etodo en frecuen- cia. Determinamos distintas bifurcaciones de ´orbitas y obtenemos una expresi´on anal´ıtica para determinar una resonancia fuerte en este tipo de sistemas.
Implementamos ambas metodolog´ıas con la ayuda de paquetes de c´alculo simb´oli- co. Los c´alculos computacionales en algunos casos resultan fundamentales.
9.1.
L´ıneas de trabajo futuras
Para dar continuidad al trabajo que ha sido presentado en esta tesis, algunas de las posibles l´ıneas de trabajo futuras son:
Utilizar el HAM y la metodolog´ıa planteada a partir de este m´etodo para estudiar y describir bifurcaciones en distintos sistemas con retardo, tanto en sistemas de inter´es te´orico como aquellos que se planteen a partir de aplica- ciones concretas. En particular, extender la aplicaci´on de estas herramientas a sistemas de orden mayor a dos.
122 Cap´ıtulo 9. Conclusiones