Draft Protocol on the Free Movement of People of 1995

3.1.1. Antecedentes Curriculares: 3.1.1.1. Resolución de Problemas.

El currículo nacional en el área de las matemáticas, toma como habilidad fundamental para el desarrollo del pensamiento matemático a la resolución de problemas matemático, debido a que esta es una herramienta fundamental para el diario vivir de la sociedad actual, siendo el educando un ente capaz de “solucionar una situación problemática dada, sin que se le haya indicado un procedimiento a seguir, a partir de estos desafíos, primero experimentan, luego escogen o inventan estrategias (ensayo y error, metaforización o representación, simulación, transferencia desde problemas similares ya resueltos, etc.) y entonces las aplican, finalmente comparan diferentes vías de solución y evalúan las respuestas obtenidas.” (Ministerio de Educación, 2015)

El estudioso Polya nos habla de 4 pasos fundamentales para la resolución de problemas:

1. Comprender el problema 2. Concebir un plan

3. Ejecutarlo

4. Examinar la solución

En donde expone que los primeros dos puntos los debe exponer el docente, por medio de experiencias anteriores o conocimientos previos de los estudiantes, siendo un guía en todo el proceso de aprendizaje, ya que el alumno deberá ejecutar, analizar y examinar la solución del problema a resolver. Estos pasos, tratan de una estrategia heurística, en donde el aprendizaje será por medio de ensayo y error, con tal generar formas inmediatas para concebir un fin, que es el resultado de un problema, que parte como una incógnita que hay que solucionar, por lo que requiere seguir diversos pasos para encontrar la respuesta.

- 42 - Al ver estos dos puntos podemos determinar que tanto nuestro currículo nacional como la postura de Polya, en relación a resolución de problema, lo ven como un fin en donde la primera lo utiliza como una situación pedagógica y la segunda como un medio estratégico. Sin embargo, ambos quieren llegar a un resultado rápidamente y eficazmente, siendo el fin una aplicación pedagógica, que se define como el empleo de los procesos adecuados para conseguir la resolución del problema.

En cambio Schoenfeld, si bien parte su estudio mediante los análisis de Polya, logra concluir que a este le faltaba una parte fundamental, con tal de que los estudiantes lograsen tener un aprendizaje significativo por medio de la adquisición de la habilidad de resolución de problemas. Para ello formuló cuatro aspectos fundamentales:

1. Los recursos 2. La heurística 3. El control

4. El sistema de creencias

El primer punto nos habla del baraje que tenga cada individuo, en este caso remite a los conocimientos previos con los que se presenta el estudiante frente una situación problema. El segundo punto trata de como el profesor y estudiante abordaran las diversas estrategias. El tercer punto trata de como planificarán y seleccionarán las diversas formas de resolver los dilemas matemáticos que se van anteponiendo. Finalmente, el último punto, que marca un antes y después en el análisis de esta habilidad, es aquel en donde el estudiante se vuelve el personaje principal de la situación problemática, puesto que ésta se contextualiza, con tal de dar un significado al aprendizaje, además de dar una utilidad realista a ella.

Desde el cuarto punto la resolución de problemas se convierte en una habilidad que se manifiesta por medio de situaciones problemáticas, es decir que a través de una variada cantidad de problemas de índole realista, el estudiante logra resolver situaciones significativas para él, he aquí de donde se levanta gran parte de la didáctica que los futuros docentes de la Universidad Alberto Hurtado postulan como fundamental para la enseñanza de las matemáticas.

- 43 - Donde se destacan los estudiosos Freudenthal y Broussea, postulando el primero situaciones matemáticas realista que sitúen al estudiante en su contexto diario, con tal de que las matemáticas sean una herramienta útil en nuestra sociedad. En cambio, el segundo si bien no se aleja de ese parámetro ve la resolución de problemas como el medio de construcción de un nuevo saber, por medio de las diversas incógnitas que tiene a la vez una situación problemática.

En conclusión es Schoenfeld quien logra dimensionar como medio a la resolución de problemas, es decir como un tratamiento pedagógico, en donde las estrategias, el contexto y el conocimiento se relacionan entre sí, generando una base sólida para que el estudiante logre construir aprendizaje significativo, dando sentido al pensamiento matemático como una herramienta útil en nuestra sociedad, capaz de generar cambios reales y potentes.

3.1.1.2. El modelo matemático Funcional

El origen del concepto de función ha estado siempre unido al estudio de los fenómenos sometidos al cambio, siendo complejo de determinar, se remota su ilustración a los tiempos de Galileo, pasando por Newton y Leibniz que fue el primero en usar la palabra “función” para determinar la relación de dependencia de dos o más variables.

El estudio de las propiedades de las funciones está presente en todo tipo de fenómenos que acontecen a nuestro alrededor. Así, podemos nombrar fenómenos sociales relacionados con crecimientos demográficos, con aspectos económicos, entre otros, casi todo es susceptible de ser tratado a través del planteamiento y estudio de una o varias funciones que gobiernan los mecanismos internos de los procesos en todas las escalas y niveles.

Es por ello que respecto a este concepto se determina el modelo que en matemática los docentes utilizan para enseñar, en donde el fin último es generar que los estudiantes por medio de las matemáticas dilucidan el resultado de más de una variable, fomentando un cambio entre los factores al resultado, es decir que todo fenómeno ya sea social o de otra particularidad presenta más de una

- 44 - variable, lo que genera en un determinado tiempo cambios que pueden ser predecibles, por lo que se puede interferir en ellos con tal de cambiar los resultados en ciertas situaciones o en otras tomar las precauciones.

3.1.1.3. Profesor de Matemáticas

“La Práctica Docente consistió en una experiencia de aula para la enseñanza de las matemáticas fundamentada en la estrategia metodológica de la solución de problemas bajo el enfoque del aprendizaje significativo. El interés del trabajo se centra, específicamente, en la enseñanza de funciones reales como modelo matemático, mostrando algunos criterios para modelar problemas bajo una propuesta de Solución de Problemas” del texto de Pérez (2001, p.8) respecto a lo postulado por el estudioso Pólya, 1957, por medio del razonamiento de tipo inductivo (Ausubel, 1968,). Es así como se diseña e implementa la planeación, metodología y evaluación para el desarrollo de habilidades en el campo de las matemáticas escolares previas al cálculo diferencial.

Se constató que en la apropiación de nuevos conocimientos es determinante el estado en que se encuentren los conceptos previos para darle significado En la explicación de ejemplos, también se identificó que al utilizar el razonamiento inductivo se facilita la aprehensión del conocimiento por parte de los estudiantes. De otro lado, señalar la importancia de la observación del docente, a través del trabajo individual y colaborativo de los estudiantes, para contribuir metodológicamente al proceso de enseñanza. Y la pregunta como método conducente a la construcción del conocimiento matemático, que favorece el razonamiento inductivo en el logro de aprendizajes significativos” (Carmona Gaviria, 2011)

- 45 - 3.1.1.4. Educación Matemática Realista

En este análisis se utilizará la visión del filósofo educacional el Dr. Hans Freudenthal (1905-1990), quien apela a una Matemática Realista, la que se enfoca en situaciones cotidianas que afectan al diario vivir a los aprendices, matematizándolas en problemáticas desafiantes, que promueven el pensamiento lógico matemático.

Los puntos de partida del proceso de aprendizaje deben encontrarse en situaciones que “piden ser organizadas” donde, las categorías no están predefinidas sino que son desarrolladas por los aprendices por sí mismos, y necesitan ser acomodadas a sus necesidades (Gravemeijer y Terwuel, 2000, p. 4). Es decir que sean temas contingentes que incluya problemáticas actuales, generando un desafío realista que se enfoque en las necesidades que nuestra sociedad aqueja, en particular los estudiantes, respecto a su contexto más próximo.

Ideas centrales de la Educación Matemática Realista según Freudenthal:

 Pensar la matemática como una actividad humana (a la que Freudenthal denomina matematización) y que, siendo así, debe existir una matemática para todos.

 Aceptar que el desarrollo de la comprensión matemática pasa por distintos niveles donde los contextos y los modelos poseen un papel relevante y que ese desarrollo se lleva a cabo por el proceso didáctico denominado reinvención guiada, en un ambiente de heterogeneidad cognitiva.

 Que desde el punto de vista curricular, la reinvención guiada de la matemática en tanto actividad de matematización, requiere de la fenomenología didáctica como metodología de investigación, esto es, la búsqueda de contextos y situaciones que generen la necesidad de ser organizados matemáticamente, siendo las dos fuentes principales de esta búsqueda la historia de la matemática y las invenciones y producciones matemáticas espontáneas de los estudiantes.

- 46 - 3.1.1.5. Aritmética “Números”

La secuencia trata del concepto de decimales, el que está dentro del conjunto del eje números, por lo que se nos hace fundamental entender por qué y para que se instala este conocimiento en la historia social del humano.

Se define la Aritmética como el arte de contar. Es la más vieja y simple de todas las ramas de las matemáticas, y estudia las propiedades elementales de ciertas operaciones sobre los números. Es usada a diario por todo el mundo, tanto en las actividades más elementales como en las ciencias más sofisticadas y complejas.

Las técnicas de contar son universales, y se han encontrado en todas las sociedades estudiadas hasta ahora. Estas técnicas han dado origen al concepto de número y a la Aritmética. Surgen ligadas a la necesidad de:

 Comunicar información referente al tamaño (la numerosidad) de las colecciones de objetos (cardinal de la colección).

 Indicar el lugar que ocupa o debe ocupar un objeto dentro de una colección ordenada de objetos (ordinal del objeto).

En las sociedades prehistóricas -cazadores y recolectores- se plantea ya, aunque sea a pequeña escala, la necesidad de responder a la pregunta, ¿cuántos hay? o ¿cuántos son? También aparece la necesidad de establecer un orden de actuación: ¿qué se hace primero?, ¿quién interviene en segundo lugar?, etc.

En nuestra sociedad se utiliza predominantemente una técnica de recuento con palabras, aun cuando se conservan vestigios de otras varias técnicas. Cada colección de "objetos numéricos" vamos a llamarla "sistema numeral" o sistema de representación numérica.

El hecho de que dos colecciones de objetos sean coordinables se expresa diciendo que representan el mismo número. De este modo los números no son objetos como pueden ser una mesa, un perro, etc.; se dice que son "objetos ideales" o abstractos. En definitiva, interesa considerarlos como "maneras de hablar" ante ciertas situaciones en las que reflexionamos sobre las actividades de recuento y ordenación y los instrumentos que usamos para esas actividades. (Godino, 2004, p. 56)

- 47 - 3.1.2. Análisis Didáctico.

El análisis didáctico se ubica en el nivel de la planificación local dentro de la teoría curricular. Está compuesto por cuatro análisis: análisis de contenido, análisis cognitivo, análisis de instrucción y análisis de actuación. Cada uno de estos análisis se centra en una de las dimensiones del currículo y todos tienen un objetivo común: contribuir al diseño, implementación y evaluación de unidades didácticas sobre temas concretos de las matemáticas escolares. (Gómez, 2007, p. 3)

El primer análisis a realizar, es el de contenido en donde debe incluir, la estructura conceptual, los sistemas de representación y la fenomenología, estos son los organizadores del currículo y están estrechamente relacionados entre sí. El primero nos especifica los conceptos, los procedimientos y las relaciones entre ellos, son las ideas clave de la organización de la secuencia. El segundo hace referencia a los sistemas de signos que permiten designar un concepto (Kaput, 1992, 524) considera que un sistema de representación es un sistema de reglas para identificar o crear signos, operar sobre y con ellos y determinar relaciones entre ellos. El tercer y último punto, refiere a los diversos fenómenos contextualizados que afectan el aprendizaje un concepto.

El segundo análisis es el cognitivo que se divide en tres partes, las expectativas de aprendizaje, errores y dificultades y finalmente oportunidades de aprendizajes. El primer punto, es el estudio generalizado de lo que el común de los estudiantes con las respectivas características del caso, son capaces de generar a la hora de aprender un concepto determinado. El segundo, refiere a toda situación que complejice el aprendizaje, ya sea del concepto, de los estudiantes, de las estrategias o de la misma didáctica, con tal de tener los antecedentes adecuados para prevenir estas circunstancias. El último punto se trata de cómo la misma secuencia les dará la oportunidad a un determinado tipo de estudiante la posibilidad de aprender el concepto y las habilidades necesarias.

El tercer análisis, el de instrucción es la realización de las planificaciones de la secuencia, que en este proyecto llevará además los diálogos, los anexos y las

- 48 - reflexiones de las clases realizadas. El cuarto y último análisis es el de actuación, es aquel en donde la profesora realiza su clase a sus estudiantes, siendo evaluada en este caso por su didacta.

3.1.2.1. Análisis de Contenido: 3.1.2.1.1. Esquema Conceptual.

El estudio de los decimales, está dentro del campo disciplinar de la aritmética de la asignatura de matemática, impartiéndose a partir de cuarto año básico en el colegio. La secuencia a realizar se hará a los quintos del colegio Altamira, sin embargo se impartirá el objetivo del año anterior de las bases curriculares del Ministerio de educación de Chile, ya que se no alcanzaron a ver esta temática el año que les correspondía, dificultando el aprendizaje básico, por lo que tomaré como punto de partida, el objetivo número 11 del programa de estudio de cuarto básico, “Describir y representar decimales (décimos y centésimos): representándolos en forma concreta, pictórica y simbólica, de manera manual y/o con software educativo, comparándolos y ordenándolos hasta la centésima

La secuencia se enfocará en primera instancia en la epistemología del concepto de decimales, el cual nace del sistema métrico decimal, por lo que se iniciará brevemente con las medidas no estandarizadas, para que los estudiantes comprendan por qué se requería un sistema estandarizado, y es desde aquí que nacen los decimales, como un método matemático, en donde su función es simplificarnos la vida al momento de realizar diversos caculos, como lo son las medidas de longitud, la masa, el capital entre otros.

En segunda instancia se enfocará en la lectura y escritura de los decimales, primordialmente en el valor posicional de estos números, con tal que los estudiantes familiaricen con los contenidos anteriores este nuevo. La lectura, la escritura y el entendimiento de los distintos tipos de números existentes, forman parte primordial de la supervivencia que lleva el hombre en sociedad en la actualidad. Los decimales o números con comas nos ayudan a comunicar de

- 49 - forma asertiva diversas cifras, tales como: las medidas, división entera, aproximación, notación científica, porcentajes, calculadoras y ordenadores, entre muchas otras formas en la vida cotidiana que afectan al ciudadano directamente, por lo que se transforma en una necesidad saber este tipo de número para poder vivir en la sociedad actual.

El significado de los decimales, se representa como los “números con coma” constituidos por dos grupos de dígitos separados por una coma, los de la izquierda de la coma, que es la parte entera, es decir número natural y los de la derecha de está, que se comprende con un valor que va entre el uno y el cero, llamándose parte decimal, interpretándose como una fracción de la unidad.

“El uso de la notación decimal empezó a generalizarse a partir de 1789 con el nacimiento y la implementación del Sistema Métrico Decimal en Francia, que se extendió a Europa a partir de 1849” (Castro, 2001, p. 217), es desde este punto que nuestra sociedad lo ha incluido a nuestro sistema, haciendo que el conocimiento de este número, habilidad de leer, comprender y utilizar sea parte de la cultura básica humana.

Los decimales son una herramienta matemática sencilla que facilita el trabajo de datos, al contrario que las fracciones, ahorrando complejidad a la hora de comparar, calcular y encontrar una cifra. Sin embargo no hay que olvidar que los números con coma es una forma diversa de manifestar una fracción decimal, basándose en las distintas potencias de 10, cuyo numerador es la unidad y cuyo denominador son las potencias sucesivas de 10:

Nombre Notación

fraccionaria

Notación decimal Notación como potencia

Décima 1/10 0,1 10-1

Centésima 1/100 0,01 10-2

Milésima 1/1000 0,001 10-3

- 50 - Los procedimientos que se utilizarán en la secuencia de clases para explicar el concepto razón son, la resolución de problemas en educación matemática realista de Freudenthal y EXCOPISI del Ministerio de Educación de Chile con la colaboración del estudio de Material manipulativo de Valenzuela, 2012. La propuesta de estos dos procesos, es que el estudiante logre interpretar el aprendizaje matemático, por medio de experiencias concretas y realistas.

Las matemáticas si han de tener valor humano, deben guardar relación con la realidad, manteniéndose cercanas a los niños y siendo relevantes para la sociedad, por medio de problemáticas contextualizadas, siendo solucionadas por material manipulable “todos aquellos objetos físicos tangibles diseñados con un fin didáctico (estructurado), que el alumno pueda tocar directamente con sus manos, además de tener la posibilidad de intervenir sobre ellos haciendo modificaciones” (Valenzuela, 2012, p. 18).

La educación matemática realista, se fundamenta en la interacción constante del estudiante con su entorno, mediante la resolución de problemas, sin embargo, un acercamiento a mayor cabalidad con la cotidianidad del hacer de una persona, es mediante la manipulación de objeto, pues nuestras acciones siempre se interpretan por medio de las cosas que nos rodean.

Es por ello que en la secuencia didáctica se trabajara de forma simultánea con los dos sistemas de representaciones, con tal de vincular de manera directa la realidad con el aprendizaje abstracto, para ello los estudiante tendrán que resolver una serie de situaciones problemáticas, mediante la manipulación de material, la visualización de imágenes y finalmente la comprensión de los símbolos, que corresponden al propio significado que le den al concepto de razón.

El propósito es que el estudiante, logre concretar de manera exitosa las actividades de la secuencia en relación con los indicadores de logro que presenta el currículo, que son:

 Dan una representación pictórica de una razón.

 Describen la razón de una representación concreta o pictórica de ella.

 Expresan una razón de múltiples formas, como 3:5, o 3 es a 5.

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 Explican la razón como parte de un todo. Por ejemplo, para un conjunto de 6 autos y 8 camionetas, explican las razones: 6:8, 6:14, 8:14.

 Identifican razones equivalentes en el contexto de la resolución de problemas.

 Resuelven problemas que involucran razones, usando tablas.

Desarrollando habilidades de pensamiento lógico matemático, donde el educando logre interpretar y comunicar de manera escrita y verbal el razonamiento matemático, usando diversas representaciones y estrategia para comprender situaciones problemáticas. Demostrando actitudes significativas para