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Los resultados obtenidos durante los ensayos de caracterización de materiales, son en general valores fijos (c, t, f, E,…). En los ensayos de las vigas multicapa conviven valores de este tipo (Mf, Mp; MU,..) con valores que evolucionan con la carga (, wf, hf,…). Tanto unos como otros son susceptibles de depender de varios factores. Con el análisis estadístico se pretende establecer la relación entre todos ellos. Las herramientas para determinar las relaciones entre todos factores tenidos en cuenta en cada caso son el Análisis ANOVA, el diseño de experimentos y los Modelos de Regresión.

Los propios valores de caracterización del hormigón son valores estadísticos. Cuando se indica que un determinado hormigón tiene una resistencia fck, significa que la resistencia de dicho hormigón se comporta como una normal (, ) de media  desconocida, y desviación típica  también desconocida, de tal forma que se garantiza que un alto porcentaje, de las muestras que se pudieran tomar de ese hormigón, alcanzarían una resistencia superior a fck. Dicho porcentaje se fija en las diferentes normativas, siendo el 95% el más habitual (Figura 1.32).

Fig.1.32.- Campana de Gauss de una normal (0,1), con el área marcada de 5% desde el origen, y el 95% hasta el final.

Para el caso habitual de garantizar un mínimo de 95%, n alcanza un valor de 1,645. 33) 𝑓_𝑐𝑘 = 𝜇 + 𝑛 ∙ 𝜎

En general, cualquier fenómeno observable cuenta con una media y una desviación típica. La mayoría de estos procesos no permiten conocer los valores reales de estos parámetros. Sería inabarcable poder calcular la resistencia real de un hormigón colocado en obra. Aunque provengan de la misma amasada el hormigón de las probetas no se ha colocado en obra, y el hormigón realmente colocado en obra, no se ha ensayado. Por ello se realiza una estimación de estos valores a partir de una muestra del total de la población. La estadística sirve para contrastar las hipótesis que se plantean de origen. Cuantos más datos se introduzcan (mayor sea la muestra) más precisa será la conclusión. Si la muestra es pequeña, los datos pueden dar conclusiones que conduzcan al equívoco. Para tamaños muestrales pequeños el contraste tiene potencia baja y son necesarias diferencias muy grandes entre las medias de las poblaciones para rechazar la hipótesis nula. Los condicionantes de partida de la estadística, priorizan el validar por buena una hipótesis falsa, que el rechazar una hipótesis verdadera. Por todo ello, cuando el contrate de hipótesis es validado, más que la afirmación de la hipótesis es cierta, significa que no existen evidencias de que la hipótesis sea falsa.

Aunque numéricamente cualquier valor es admisible desde el punto de estadístico, las normas no admiten valores con una alta dispersión. Como ejemplo, la Instrucción Española EHE (Ministerio de Fomento, 2008), establece que para su consideración al aplicar los criterios de aceptación para la resistencia del hormigón, el recorrido relativo de un grupo de tres probetas obtenido mediante la diferencia entre el mayor resultado y el menor, dividida por el valor medio de las tres, tomadas de la misma amasada, no podrá exceder el 20%. En el caso de dos probetas, el recorrido relativo no podrá exceder el 13%.

1.10.1.-

Análisis ANOVA

El Análisis ANOVA, corresponde a las siglas en inglés de Análisis de la Varianza. El objetivo de un experimento es estudiar el efecto que sobre una variable de interés, que se denomina variable respuesta, tienen un conjunto de otras variables, que se denominan

variables experimentales o factores. El análisis ANOVA simple estudia el efecto que sobre la variable respuesta tiene una variable experimental.

El objetivo de un experimento es comprobar si cierta hipótesis es cierta. Para ello se plantean dos hipótesis:

- Hipótesis nula (H0): en la que se establece que el hecho que queremos corroborar es cierto. A efectos númericos esto se establece afirmando que el valor del experimento ha de ser igual, mayor o menor a otro valor de comparación.

- Hipótesis alternativa (H1): en la que se establece que el resultado del ensayo es cualquier otro diferente al planteado en H0.

El análisis se basa en que toda observación de un hecho (resistencia del hormigón, módulo de elasticidad del acero,…) puede definirse como la media del hecho y una desviación del mismo.

34)𝑦_𝑖𝑗 = 𝜇_𝑖 + 𝑢_𝑖𝑗

Las desviaciones representan la variabilidad intrínseca del experimento y se supone que verifican las siguientes hipótesis:

- el promedio de las perturbaciones es cero, - la varianza de las perturbaciones es constante,

- la distribución de las perturbaciones sigue la distribución normal, - las perturbaciones son independientes.

Todo esto se traduce en

35)𝑢_𝑖𝑗~ 𝑁(0, 𝜎)

Aunque no es matemáticamente necesario, si es muy recomendable realizar una representación gráfica de los datos obtenidos. La representación ofrece mucha información acerca del comportamiento de la variable respuesta respecto de los factores. A continuación se establecen los parámetros del modelo (medias, varianzas y residuos, tanto de cada grupo como del conjunto). Posteriormente se verifica si las medias de todos los grupos son iguales, lo que supondría que el factor estudiado no tiene una relación con el comportamiento de la variable respuesta, o si por el contrario, las medias no son iguales, si hay dependencia entre ambos.

Los residuos son la diferencia entre el valor observado en el experimento, y el valor esperado a través de la media. Por definición, la suma de los residuos es nula. Para ello,

en la formulación se trabaja con sus cuadrados para eliminar el efecto de los valores negativos. Los residuos pueden a su vez dividirse en dos. Uno, correspondiente a la diferencia entre la media general, y la media dependiente de su factor; a esto se llama variabilidad explicada. Otra, correspondiente a la diferencia entre la media de su factor y la observación; a esto se llama variabilidad no explicada (Figura 1.33).

Fig.1.33.- Descomposición de la variabilidad (Fig 2.5 Pag 45) 36)𝑉𝑇 = 𝑉𝐸 + 𝑉𝑁𝐸

Cuando la H0 es cierta, puede demostrarse que las variabilidades se comportan como una 2 _{con los grados de libertad asociados a su vector asociado, independientes entre sí.}

37) 𝑉𝐸/𝜎2~𝜒2(𝐼 − 1) 38)𝑉𝑁𝐸/𝜎2~𝜒2(𝑛 − 𝐼)

De cada una de estas variabilidades pueda calcularse su varianza, como la suma de sus cuadrados entre sus grados de libertad. Si H0 es cierta, el cociente de las varianzas es una distribución F de Fisher con I-1 y n-I grados de libertad. Los valores de F cuando H0 es cierta tienden a ser bajos; cuando no, tienden a ser altos. El límite que delimita la validez de H0 viene marcado por el nivel de significación . Se denomina como Fc, al valor de F para I-1 y n-I que presenta un valor . En general se tomará H0 cierta si F<Fc y se rechazará si F>Fc_{.La igualdad implicará la aceptación de la hipótesis nula si esta} establece igualdad o valores superiores a uno dado (c es igual o superior al valor establecido por una norma), y su rechazo para afirmaciones de valor inferior al de referencia (el valor de una carga no supera uno dado).

Otro valor significativo es el p-valor. Este indica valor  de significación que hubiese validado la aceptación de H0. Además de reflejar la aceptación o rechazo de una hipótesis, estable como de fundada es.

Fig.1.34.- Región crítica para el contraste ANOVA

Con la combinación de todos estos valores se construye la tabla ANOVA. (Tabla 1.5)

Tab.1.5.-Tabla ANOVA simple y sus valores