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Ejercicios:
1. Demuestre que para todo punto P que esté fuera de la circunferencia de inversión, su inverso estará sobre la cuerda que une a los puntos donde las tangentes trazadas desde P tocan a la circunferencia.
2. Demuestre que si dos circunferencias no ajenas son ortogonales a una tercera, sus puntos de intersección son colineales con el centro de la tercera circunferencia.
3. Si la distancia entre dos puntos A y B es k, encuentre la distancia entre sus inversos con respecto a una circunferencia de centro O y radio r.
4. Si cuatro puntos armónicos se invierten con respecto a una circunferencia cuyo centro sea otro punto en la misma recta que los primeros, se obtienen otros cuatro puntos armónicos.
5. Dados cuatro puntos colineales A, B, C y D tales que {ABCD}=k, si se invierten los puntos con respecto a una circunferencia de centro O, la razón cruzada se preserva ante la inversión, considere los casos en que O es colineal con los puntos dados y cuando no lo es.
6. Sea A un punto en una circunferencia cuyo centro es C, y suponga que el inverso de esta circunferencia con respecto a una cuyo centro sea A interseque a AC en B. Si D fuera el punto inverso del punto C, demuestre que AB=BD.
7. Considere un cuadrado con sus diagonales. Si esta figura se invirtiere con respecto a uno de sus vértices ¿qué figura se obtendría? ¿Y si se invirtiere con respecto al punto de intersección de las diagonales?
8. Dado un triángulo cualquiera, ¿con respecto a qué punto del plano se invertirían sus lados en tres circunferencias del mismo radio?
9. Demuestre que los puntos límites de un sistema coaxial son mutuamente inversos con respecto a cualquier circunferencia del sistema.
10. Demuestre que si se invierte una circunferencia con respecto a otra, cuyo centro no esté sobre la primera, ambas
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circunferencias con la circunferencia que se obtiene al hacer la inversión pertenecen a un sistema coaxial.
11. Dada una circunferencia de centro O y dos puntos, A y A’, mutuamente inversos con respecto a ella, demuestre que para cualquier punto P de la circunferencia se cumple que la razón PA/PA’ es constante. Inversamente, si dos puntos B y C dividen interna y externamente al segmento AA’ de tal manera que AB/BA’=-AC/CA’≠1, entonces A y A’ serán puntos inversos con respecto a la circunferencia de diámetro BC a ésta se le llama la C ircunf erenc ia de Apolonio de los puntos A y A’ de razón PA/PA’.
12. Si dos circunferencias son mutuamente inversas con respecto a una tercera ¿sus centros son también mutuamente inversos?
13. Demuestre que si se toma un punto P cualquiera en una circunferencia y se trazan rectas a los extremos, A y B, de un diámetro y luego se traza una perpendicular a éste que pase por el centro de la circunferencia, los puntos en que las rectas trazadas PA y PB intersecan a la perpendicular al diámetro son mutuamente inversos con respecto a la circunferencia.
14. Demuestre que por dos puntos interiores a un círculo, diferentes del centro de éste, sólo se pueden trazar dos circunferencias tangentes a dicho círculo.
15. Si se tiene un sistema de circunferencias coaxiales no ajenas ¿cuál será su inverso con respecto a una circunferencia cuyo centro sea uno de los puntos de intersección del sistema? ¿Y si el centro de inversión es uno de los puntos del eje radical? ¿Y si es un punto del plano que no pertenezca al eje radical?
16. Si se tiene un sistema de circunferencias coaxiales ajenas ¿cuál será su inverso con respecto a un punto del eje radical? ¿Y cuál será el inverso con respecto a cualquier punto del plano?
17. ¿Cuál será el inverso del circuncírculo de un triángulo si la circunferencia de inversión es la del incírculo del propio triángulo?
18. Demuestre que dos puntos inversos y los puntos en que la recta que los contiene cortan a la circunferencia de inversión forman una hilera armónica.
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19. Si P, P’ y Q, Q’ son dos pares de puntos inversos con respecto a una circunferencia de centro O y tales que forman un cuadrángulo, demuestre que los triángulos OPQ y OP’Q’ son inversamente semejantes y que el cuadrángulo es inscriptible en una circunferencia ortogonal a la circunferencia de inversión.
20. Si una figura es invertida con respecto a dos circunferencias concéntricas, las figuras inversas son homotéticas y el centro de homotecia es el centro de inversión.
21. Demuestre que el inverso de un haz de rectas paralelas es un conjunto de circunferencias coaxiales. ¿Cuál será el inverso del conjunto de circunferencias ortogonales al conjunto coaxial obtenido?
22.* Demuestre la siguiente propiedad, conocida como Teorema de Feuerbach. La circunf erencia de los nueve puntos de un tr iángulo ABC es tan gente al incírculo y a c ada uno de los excírculos del propio tr iángulo.
Auxíliese con la siguiente figura:
23. Demuestre que si una circunferencia y un par de puntos mutuamente inversos con respecto a ella se invierten con respecto a cualquier punto del plano que no sea de la circunferencia, el resultado es otra circunferencia y un par de puntos mutuamente inversos con respecto a ésta.
B C A I I1 X1 X D' K V D L M S
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24. Demuestre que si dos circunferencias son ortogonales, el inverso del centro de cualquiera de ellas con respecto a la otra es el punto medio de la cuerda común.
25. Demuestre que si dos circunferencias son mutuamente inversas, la tangente trazada a cualquiera de ellas por el centro de inversión es también tangente a la otra.
26. Si dos circunferencias son invertidas con respecto a diversos puntos del plano analice qué pasa con la línea de los centros.
27. Dos circunferencias C y C’ se intersecan en dos puntos A y B. Si el diámetro de C que pasa por A corta a C’ en D y el diámetro de C’ que pasa por A corta a C en E, demuestre que el eje radical de las dos circunferencias pasa por el centro de la circunferencia que pasa por A, D y E.
28. Dada una circunferencia O y tres de sus cuerdas: AB, AC y AD, demuestre que las circunferencias cuyos diámetros son dichas cuerdas se intersecan por pares en tres puntos colineales.
29. Demuestre que si un par de circunferencias tienen dos circunferencias de antisimilitud, entonces éstas últimas son ortogonales.
30. ¿Cuál es la circunferencia de antisimilitud de dos circunferencias concéntricas?
31. Demuestre que tres circunferencias cualesquiera siempre pueden ser invertidas en tres circunferencias cuyos centros sean colineales. ¿Será posible hacer que los centros queden en una recta dada?
32. Dadas tres circunferencias con un punto en común y sus seis circunferencias de antisimilitud, siempre pueden invertirse en un triángulo y sus bisectrices.
33. Si tres circunferencias concurren en un punto y se intersecan por pares, entonces sus seis circunferencias de antisimilitud se intersecan por tercias en cuatro puntos.
34. Cuatro puntos no concíclicos se pueden invertir en un grupo ortocéntrico de puntos, es decir, cuatro puntos tales que si se construye un triángulo con tres de ellos, el cuarto punto es el ortocentro de ese triángulo.
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35. Dos circunferencias ajenas siempre pueden invertirse en dos circunferencias concéntricas.
36. Sean P y P’ dos puntos inversos con respecto a una circunferencia dada y sea AB una cuerda de dicha circunferencia que contenga a P. Demuestre que la recta PP’ biseca al ángulo AP’B.
37. Demuestre que si una circunferencia y dos puntos inversos con respecto a ella se invierten con respecto a cualquier punto de la propia circunferencia, el resultado es una recta y dos puntos simétricos con respecto a ella.
38. Si tres circunferencias se intersecan entre sí, demuestre que pueden ser invertidas en tres circunferencias del mismo radio.
39. Establezca una condición para que tres circunferencias no puedan ser invertidas en circunferencias del mismo radio. 40. Si tres circunferencias son invertidas en sí mismas ¿en qué se invierten las líneas de sus centros?
41. Demuestre que toda circunferencia ortogonal a dos circunferencias dadas puede obtenerse invirtiendo la línea de los centros de éstas.
42. Sean P y P’ dos puntos mutuamente inversos con respecto a una circunferencia C; sea A un punto en dicha circunferencia. Demuestre que AP/AP’ es constante para toda A.
43. Demuestre que el inverso del centro de un círculo dado es el inverso del centro de la circunferencia de inversión con respecto al círculo inverso del círculo dado.
44. Sean A, B, C y D cuatro puntos colineales y sean A’, B’, C’ y D’ sus inversos con respecto a cualquier punto del plano. Demuestre que: ' ' ' ' ' ' ' ' D B C A D C B A BD AC CD AB × × = × ×
45. Sean A, B, C y D cuatro puntos concíclicos tales que C y D estén en los arcos AB y BA, respectivamente. Si se trazan perpendiculares desde D a las cuerdas AB, BC y CA cuyas longitudes respectivas son l, m y n , demuestre que:
133 n CA m BC l AB + =
46. Una figura consiste de un triángulo, sus alturas, las circunferencias cuyos diámetros son los lados del triángulo y las circunferencias cuyos diámetros son los segmentos que unen a los vértices con el ortocentro del triángulo. Invierta la figura con respecto al círculo de los nueve puntos del triángulo.
47. Demuestre que si A, B, C y D son los vértices de un cuadrángulo inscriptible, los cuatro puntos pueden invertirse en los vértices de un rectángulo.
48*. Construya, usando propiedades de inversión, una circunferencia que pase por un punto y sea tangente a dos circunferencias dadas. Utilice el resultado para construir una circunferencia tangente a tres circunferencias dadas.
49.* Construya una circunferencia que pase por dos puntos dados y que interseque a otra circunferencia dada en un ángulo específico.
50. Construya una circunferencia que pase por un punto e interseque a dos circunferencias en ángulos dados.
51. Demuestre que siempre es posible invertir los vértices de un triángulo en los vértices de otro que sea semejante a un triángulo dado.
52. Demuestre que si dos circunferencias son ajenas o tangentes tienen una sola circunferencia de antisimilitud, mientras que si se intersecan, tienen dos.
53. Use el resultado del ejercicio anterior para demostrar que hay una infinidad de maneras de invertir dos circunferencias no concéntricas en dos circunferencias del mismo radio.
54. Dos circunferencias ortogonales se cortan en un punto P, si O es un punto de una circunferencia tangente a ellas en los puntos Q y R, demuestre que las circunferencias que pasan por O, P y R y por O, P y Q se cortan formando un ángulo de 45º.
55. Dos circunferencias, C1 y C2 son tangentes en un punto T . Una circunferencia variable que pasa por T corta ortogonalmente a C1 en X y a C2 en Y, demuestre que las rectas que pasan por X y Y son concurrentes.
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56. Sean A, B, C y D cuatro puntos del plano tales que ninguna tercia es colineal. Demuestre que los circuncírculos de los triángulos ABC y ADC, forman el mismo ángulo que los circuncírculos de los triángulos BDA y BCD.
57. Una circunferencia variable es tangente a otra que es fija y es ortogonal a una tercera, fija también. Demuestre que existe una circunferencia fija que también es tangente a la variable y coaxial con las que son fijas.
58. Sea AC el diámetro de una circunferencia, sean B y D dos puntos cualesquiera en dicha circunferencia y sea O el punto de intersección de las rectas AB y CD. Demuestre que la circunferencia que contiene a B, D y O es ortogonal a la circunferencia de diámetro AC.
59. Dado un sistema de circunferencias coaxiales tangentes entre sí ¿cuál es el lugar geométrico de los puntos inversos a un punto dado con respecto a las circunferencias del sistema?
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