Evaluation based on FDRs

Lema 4.1.1 Sea M _{⊂ R}3 _{una superficie que tiene un campo N : M → T R}3 _continuo,

unitario y normal a M. Sea ρ : [a, b] _{→ M una curva continua tal que ρ(a) = ρ(b).} Si V : [a, b] → T R3 _{es un campo continuo, normal a M y unitario, entonces V (a) =}

V (b).[Ver[4]]

Demostraci´on: Si N(t) = N(ρ(t) entonces N(t) es continuo y _{hV (t), N(t)i = ±1,} ∀t ∈ [a, b];por tanto ,

hV (a), N(a)i = hV (t), N(t)i = hV (b), N(b)i, ∀t.

Como, N(a) = N(ρ(a)) = N(ρ(b)) = N (b), concluimos que V (a) = V (b). _⋄

Observaci´on: La orientaci´on no es una propiedad local de una superficie regular. Localmente, cada superficie es difeom´orfica en un conjunto abierto del plano y por tanto orientable. La orientaci´on es una propiedad global, en el sentido de que ´esta envuelve a toda la superficie.

4.2.

Una caracterizaci´on de Superficies Orientables Compactas.

El contrario del Corolario 4.0.1 dice lo siguiente: ” Una superficie orientable en R3 _{es la}

imagen inversa de un valor regular de alguna funci´on diferenciable”, esto es verdad y no es trivial probarlo. Aunque en el caso particular de superficies compactas (definida en esta parte), la prueba es instructiva y ofrece un ejemplo interesante de un teorema global en geometr´ıa diferencial. Consideremos M _{⊂ R}3 _{una superficie orientable. El punto crucial}

de la prueba consiste en mostrar que uno puede escoger, sobre una l´ınea o recta normal a trav´es de p ∈ M un intervalo abierto Ip alrededor de p de longitud, digamos, 2ǫp (ǫp

var´ıa con p) de tal forma que si p _{6= q ∈ M, entonces I}p ∪ Iq 6= ∅. As´ı que, la uni´on

S

Ip, p∈ M, constituyen un conjunto abierto V de R3, el cual contiene a M y tiene

la propiedad que a trav´es de cada punto de V pasa una ´unica recta normal a M; entonces V es lo que llamaremos una vecindad tubular de M (ver figura 4.8).

S V Ep Ip Iq q Eq p • •

4.2. Una caracterizaci´on de Superficies Orientables Compactas. Cap´ıtulo 4. Superficies Orientables.

Supongamos, por un momento, la existencia de una vecindad tubular V de una su- perficie orientable M. As´ı, definimos una funci´on g : V _{→ R como sigue: Fijamos una} orientaci´on sobre M. Observamos que dos segmentos Ip y Iq, p 6= q, de la vecindad

tubular no se intersecan. Luego, a trav´es de cada ˆp _{∈ V pasa una ´unica recta normal a} M que corta a M por un punto p; por definici´on g(ˆp) ser´a la distancia desde p a ˆp, con un signo dado por la direcci´on de vector normal unitario por p. Si probamos que g es diferenciable y que 0 es un valor regular de g, entonces tendremos que M = g−1_{(0), lo}

que dar´ıa por terminada la prueba.

Bien esto da pie a la demostraci´on local, que a continuaci´on se har´a;la prueba global requiere de algunos argumentos topol´ogicos que referiremos a que sea revisada en el Do Carmo P´aginas (112-114).

Proposici´on 2 Sea M una superficie regular y

ϕ

:U → M una parametrizaci´on de una vecindad de un punto p =

ϕ

(u0, v0) ∈ M. Entonces existe una vecindad W ⊂

ϕ

(U) de p

en M y un n´umero ǫ > 0 tal que los segmentos de rectas normales que pasan a trav´es de los q ∈ W , con centro en q y longitud 2ǫ, son disjuntos(es decir, W tiene una vecindad tubular).

Demostraci´on: Considere la aplicaci´on F :U × R → R3 _{dada por}

F (u, v, t) =

ϕ

(u, v) + tN(u, v), (u, v)_{∈ U, t ∈ R,}

donde N(u, v) = (Nϕ₁, Nϕ₂, Nϕ₃) es el vector normal unitario caculado por el punto

ϕ

(u, v) = (

ϕ

1(u, v),

ϕ

2(u, v),

ϕ

3(u, v)). De lo cual, F aplica,geom´etricamente, el punto

(u, v, t) del cilindro _{U × R en el punto de la recta normal a M a una distancia t del punto}

ϕ

(u, v). F claramente es diferenciable y su Jacobiano por t = 0 es dado por              ∂

ϕ

1 ∂u ∂

ϕ

2 ∂u ∂

ϕ

3 ∂u ∂

ϕ

₁ ∂v ∂

ϕ

₂ ∂v ∂

ϕ

₃ ∂v Nϕ₁ Nϕ₂ Nϕ₃             

Por el Teorema de la Funci´on Inversa, existe un paralelep´ıpedo en _{U × R decimos} u0− δ < u < u0+ δ, v0− δ < v < v0+ δ, −ǫ < t < ǫ, sobre el cual F es 1-1. Pero esto

significa que en la imagen W por F del rect´angulo, u0− δ < u < u0+ δ, v0 < δ < v0+ δ

los segmentos de rectas normales centrados por q _{∈ W y de longitud < 2ǫ no se intersecan.}

Proposici´on 3 Supongamos la existencia de una vecindad tubular V ⊂ R3 _{de una su-}

perficie orientable M _{⊂ R}3_{, y escojamos una orientaci´on para M. Entonces la funci´on}

g : V _{→ R}3_{, definida como la distancia orientada desde un punto de V al pie de la ´unica}

recta normal que pasa a trav´es de este punto, es diferenciable y tiene a cero como un valor regular.

Demostraci´on: Miramos otra vez la aplicaci´on F :_{U×R → R}3 _{definida en la proposici´on}

Cap´ıtulo 4. Superficies Orientables. 4.3. Ejercicios.

Denotando por x, y y z las coordenadas de F (u, v, t) = (u, v) + tN(u, v) podemos escribir: F (u, v, t) = (x(u, v, t), y(u, v, t), z(u, v, t))

ya que el jacobiano ∂(x, y, z)_{∂(u, v, t)} es distinto de cero por t = 0, podemos invertir F en alg´un paralelep´ıpedo Q : u0 − δ < u < u0 + δ, v0 − δ < v < v0 − δ, −ǫ < t < ǫ, para

obtener una aplicaci´on diferenciable F−1_{(x, y, z) = (u(x, y, z), v(x, y, z), t(x, y, z)) donde}

(x, y, z)_{∈ F (Q) = V . Pero la funci´on g : V → R en la declaraci´on de la proposici´on 2 es} precisamente t = t(x, y, z). As´ı que, g es diferenciable. Adem´as, 0 es un valor regular de g; porque si no ∂t_∂x = ∂t_∂y = ∂t_∂z = 0 para alg´un punto donde t = 0;as´ı que, la diferencial dF−1 _{no ser´ıa singular para t = 0, lo cual ser´ıa una contradicci´on.}

4.3.

Ejercicios.

Ejercicio 4.1 Encuentre una orientaci´on del Toro

Ejercicio 4.2 Prueba que todo grafo es una superficie orientable y calcula un campo global y unitario al mismo tiempo..

Ejercicio 4.3 Prueba que una esfera y un elipsoide son superficies orientables.

Ejercicio 4.4 Demuestra que toda superficie revoluci´on es orientable, probando que ad- mite un campo de vectores global, normal y unitario .

Ejercicio 4.5 Prueba que todo tubo es una superficie orientable, definiendo un campo de vectores global, normal y unitario.

Ejercicio 4.6 Prueba que el Helicoide es una superficie orientable.

Ejercicio 4.7 Prueba que la orientabilidad es una propiedad invariante por difeomorfis- mos.

Ejercicio 4.8 Probar que si una superficie M posee un subconjunto A que es difeomorfo a la Cinta de M¨obius, entonces M no es orientable.

Ejercicio 4.9 Sea α : I _{→ R}3 _{una curva p.p.a. cuya curvatura κ}

α(s), nunca es nula para

cualquier s∈ I, y sea

ψ(s, v) = α(s) + r(n(s)cos(v) + b(s)sen(v)), r > 0, s_{∈ I, v ∈ (0, 2π)}

una superficie parametrizada(el tubo de radio r alrededor α, ) donde n(s) y b(s) son los vectores normal y binormal de α en s, respectivamente. Demostrar que cuando ψ es regular, su vector normal es

4.3. Ejercicios. Cap´ıtulo 4. Superficies Orientables.

Ejercicio 4.10 La Botella de Klein (un encaje en R4_{). Sean a, r > 0 y B}

k : R3 → R4 da-

da por Bk(u, v) = ((a+r cos v)cos u, (a+r cos v)sen r sen vcos u/2, senvsenu/2) . Entonces

la Botella de Klein es la imagen de Bk.Probar que:

1.Bk(u, v) = Bk(u + 4mπ, v + 2nπ) y Bk(u, v) = Bk(u + 2mπ, 2nmπ−v), con m, n ∈ Z.

2. Bkno es orientable.Sug: Considere un camino cerrado sobre Bky muestre que un campo

de vectores normales unitarios no puede ser una funci´on continua a lo largo de este. Ejercicio 4.11 El Plano Proyectivo (un encaje en R4_{). Considere f : R}3 _{→ R}4 _dada

por f (x, y, z) = (x2_{− y}2_{, xy, xz, yz). Definamos P}2_{(R) = f (S}2_{). Verificar que:}

1._{∀p ∈ S}2_{, f (p) = f (−p);}

Cap´ıtulo 5

Aplicaci´on de Gauss

“ Las leyes de la matem´atica no son meramente invenciones o creaciones humanas.

Simplemente ”son”: existen independientemente del intelecto humano. Lo m´as que puede hacer

un hombre de inteligencia aguda es descubrir que esas leyes est´an all´ı y llegar a conocerlas.”.

Mauritis Cornelis Escher

Definici´on 5.0.1 : Sea M ⊂ R3 _{una superficie con orientaci´on N. La aplicaci´on N :}

M → R3 _{toma sus valores en la esfera unitaria}

S2 =_{{(x, y, z) ∈ R}3; x2+ y2+ z2 = 1_}

La aplicaci´on N : M _{→ S}2_{, as´ı definida, es llamada la aplicaci´on de Gauss en M.}

(Ver figura) • • • N(p) N(p) p M S2 N

Figura 5.1: La aplicaci´on de Gauss.

Se puede verificar directamente, que la aplicaci´on de Gauss es diferenciable. La dife- rencial dPN por p ∈ M es una aplicaci´on lineal de Tp(M) a TN (p)(S2). Ya que Tp(M)

y TN (p)(S2) son planos paralelos, dpN se puede mirar como una aplicaci´on lineal sobre

Tp(M).

La aplicaci´on lineal dpN : Tp(M) → Tp(M) opera como sigue. Para cada curva parame-

trizada α(t) en M con α(0) = p, consideramos la curva parametrizada (N_{◦α)(t) = N(t) en} la esfera S2_{; esta no es m´as que la restricci´on del campo vector normal N a la curva α. El}

In document Complex Proteoform Identification Using Top-Down Mass Spectrometry (Page 91-116)