Sequences of standard amino acids

Comenzaremos el estudio de las estructuras geom´etricas de la superficie. Una de ellas es quiz´as la primera forma fundamental, la que nos permite hablar de distancia sobre una superficie.

Uno de los hechos fundamentales sobre la noci´on de distancia es el espacio eucl´ıdeo Rn _{es que en el se verifica el Teorema de pit´agoras. Esto significa que si p = (p}

1, ..., pu) y

q = (q1, ..., qn) son puntos en Rn, entonces la distancia s entre p y q est´a dada por

s2 = (p1− q1)2+ ... + (pn− qn)2 (3.4)

¿En qu´e medida es esta noci´on diferente para una superficie? Puesto que en general una superficie est´a curvada, la distancia sobre ella no es la misma que la distancia en el

Cap´ıtulo 3. Superficies en R3

3.7. El Plano Tangente; la diferencial de una aplicaci´on.

espacio eucl´ıdeo; en particular (3.2) es falsa en general sobre superficies arbitrarias. Para hacer el c´alculo tenemos una versi´on infinitesimal de (3.2) para n = 2 que es

ds2 = dx2 + dy2

ds

dx

dy

(3.5)

donde dx y dy son cantidades peque˜nas en la direcci´on de x y y, respectivamente. La f´ormula (3.3) es v´alida para R2_{. La ecuaci´on correspondiente para una superficie es:}

ds2 = Edu2+ 2F dudv + Gdv2

dv

du ds

(3.6) Esta es la noci´on cl´asica (siglo XIX) para representar la m´etrica de una superficie. As´ı, (3.4) es una versi´on infinitesimal “deformada” del Teorema de Pit´agoras.

¿Como definir una m´etrica (medida) sobre superficie?. Sea M una superficie regular en R3_{. El producto escalar de R}3 _{induce un producto escalar sobre M por restricci´on. Si v}

p

y wp ∈ Tp(M)⊂ R3, entonces hvp, wpip =hv, wi, donde h, i es el producto escalar de R3 y

h, ip : TpM × Tp(M) → R; con esto, h, ip es una forma bilineal sim´etrica; i.e,hwp, vpip =

hvp, wpip y hwp, vpi es lineal en ambas, en wp y en vp. As´ı, a esta forma bilineal h, ip le

corresponde una forma cuadr´atica Ip : Tp(M) → R dada por

Ip(w) =hw, wip =kwk2 ≥ 0 (3.7)

Definici´on 3.7.8 La forma cuadr´atica Ip sobre Tp(M), definida por la ecuaci´on (3.5) es

llamada la Primera Forma Fundamental de la superficie regular M ⊂ R3 _{por p.}

Es meramente la expresi´on de como la superficie M adquiere el producto interior de R3_{. Adem´as I}

p nos permitir´a hacer mediciones sobre M (longitud de curvas, ´angulos entre

vectores tangentes, ´area de regiones), sin referirnos el ´ambito R3 _{en donde M yace.}

Expresamos la Primera Forma Fundamental Ip, en la base {

ϕ

u,

ϕ

v} asociada a la

parametrizaci´on

ϕ

(u, v) por p. Ya que w ∈ T es el vector tangente a una curva parame- trizada α(t) =

ϕ

(u(t), v(t)), con p = α(0) =

ϕ

(uo, vo), obtenemos:

Ip(α′(0)) =hα′(0), α(0)ip

=_h

ϕ

_uu′₊

_ϕ

vv′,

ϕ

uu′+

ϕ

vv′ip

=_h

ϕ

_u,

ϕ

_uip(u′)2+ 2h

ϕ

u,

ϕ

vipu′v′+h

ϕ

v,

ϕ

vip(v′)2

= E(u′₎2_{+ 2F u}′_v′_{+ G(v}′₎2

donde los valores est´an calculados para t = 0; E(uo, vo) = h

ϕ

u,

ϕ

uip, G(uo, vo) =

3.7. El Plano Tangente; la diferencial de una aplicaci´on. Cap´ıtulo 3. Superficies en R3

Ip en la base {

ϕ

_u,

ϕ

_v} de Tp(M). Si hacemos recorrer p en una vecindad coordenada de

ϕ

(u, v), obtenemos las funciones E(u, v), F (u, v) y G(u, v) las cuales son diferenciables en esta vecindad.

Ejemplo 3.7.2 Un sistema de coordenadas de un plano P _{⊂ R}3 _{que pasa a trav´es}

de p0 = ( x0, y0, z0) y contiene los vectores ortonormales w1 = ( a1, a2, a3) y

w2 = ( b1, b2, b3) es dado como sigue:

ϕ

(u, v) = p0+ uw1+ vw2 (u, v)∈ R2

Para computar la Primera Forma Fundamental (P.F.F.) para un punto arbitrario de P , observemos que

ϕ

_u = w1,

ϕ

v = w2; ya que w1 y w2 son vectores unitarios ortogonales,

las funciones E, F, G son constantes dadas por E = 1, F = 0, G = 1. As´ı que la P.F.F. es el Teorema de Pit´agoras en P ; esto es,

w2 _{= a}2_{+ b}2 _{en la base {}

_ϕ

u,

ϕ

v}.

Ejemplo 3.7.3 El cilindro recto sobre el c´ırculo x2_{+ y}2 _{= 1 admite la parametrizaci´on}

ϕ

: U → R3_{, dada por}

_ϕ

_{(u, v) = (cos u, sen u, v) con}

U = _{{(u, v) ∈ R}2 : 0 < u < 2π, _{−∞ < v < ∞}} Al calcular la P.F.F., n´otese que

ϕ

u = (− sen u, cos u, 0),

ϕ

v = (0, 0, 1) y por tanto E = sen2u + cos2u) = 1 y F = 0 , G = 1. u p v x z y

Figura 3.37: La Primera Forma Fundamental sobre el Cilindro.

Cap´ıtulo 3. Superficies en R3

3.7. El Plano Tangente; la diferencial de una aplicaci´on.

Ejemplo 3.7.4 Al considerar la h´elice (cos u, sen u, au) y la l´ınea a trav´es de cada punto de ´esta paralela al plano xy e interceptando al eje z, se obtiene la superficie generada por estas l´ıneas llamada el Helicoide; el cual admite la parametrizaci´on siguiente:

ϕ

(u, v) = ( v cos u, v sen u, au ), 0 < u < 2π, v ∈ R.

ϕ

lleva una cinta abierta con anchura 2π del plano uv sobre aquella parte del Helicoide que corresponde a una rotaci´on de 2π a lo largo de la H´elice. (ver figura 3.38) Se verifica

Figura 3.38: La Primera Forma Fundamental sobre el Helicoide.

f´acilmente que el Helicoide es una superficie regular (ejercicio). El c´alculo de E, F y G en

ϕ

son

E(u, v) = v2+ a2, F (u, v) = 0, G(u, v) = 1.

Longitud de arco a trav´es de Ip.

Si la longitud de arco s de una curva parametrizada α : I → M es dada por

s(t) = Z t 0 kα ′_{(σ)kdσ =} Z t 0 p I(α′_{(σ)) dσ (3.8)}

En particular, si α(t) =

ϕ

(u(t), v(t)) est´a contenida en una vecindad coordenada corres- pondiente a la parametrizaci´on

ϕ

(u, v), podemos calcular la longitud de arco de α, entre, se dice, 0 y t por s(t) = Z t 0 p E(u′₎2_{+ 2F u}′_v′_{+ G(v}′₎2_{dσ (3.9)} De (3.6) se sigue que ds dt = s E  du dt 2 + 2Fdu dt dv dt + G  dv dt 2

Esto implica que

3.7. El Plano Tangente; la diferencial de una aplicaci´on. Cap´ıtulo 3. Superficies en R3

lo cual es (3.4). Obs´ervese que el par´ametro t no se encuentra involucrado en el lado derecho de (3.4), excepto en la medida en la que u y v dependen de t. Podemos considerar ds como la longitud infinitesimal de arco, puesto que nos proporciona la funci´on longitud de arco. Cuando integramos sobre una curva arbitraria. Geom´etricamente, ds se puede interpretar como la distancia infinitesimal desde el punto

ϕ

(u, v) al punto

ϕ

(u+du, v+dv) medida sobre la superficie.

Observemos tambi´en que

α(t + dt) = α(t) + α′_(t)dt = α(t) +

ϕ

_uu′_{(t)dt +}

_ϕ

vv′(t)dt y por tanto kα(t + dt) − α(t)k = k

ϕ

uu′(t)dt +

ϕ

vv′(t)dk =pEu′2_{+ 2F u}′_v′ _{+ G(v}′₎2 _{= ds}

Un concepto de est´andar en el c´alculo de varias variables es el diferencial de una funci´on f : R2 → R; la diferencial df de f est´a dada por

df = ∂f ∂udu +

∂f ∂vdv

En general, si

ϕ

: U _{→ M es un carta local de una superficie M y f : M → R es una} funci´on diferenciable, ponemos

df = ∂(f ◦

ϕ

)

∂u du +

∂(f _◦

ϕ

)

∂v dv

Denominamos a df la diferencial de la funci´on f las diferenciales de las funciones

ϕ

((u, v)_{→ u y}

ϕ

(u, v) _{→ v ser´an representados por du y dv, respectivamente. A pesar} de su apariencia, ds ser´a de hecho, la diferencial de una funci´on sobre una superficie tan s´olo en muy raras ocasiones.

Para el caso n = 2, la m´etrica (ds)2 _{sobre R}2_{, dada en coordenadas cartesianas por}

ds2 = dx2+ dy2 ds (3.10)

dx

dy

se expresa en coordenadas polares por

ds2 = dr2+ r2dθ2 (3.11)

ds dr

Cap´ıtulo 3. Superficies en R3

3.7. El Plano Tangente; la diferencial de una aplicaci´on.

Demostraci´on:

De x = r cos θ y y = r sen se tiene que

dx =−r sen t dθ + cos t dr dy = r cos θ dθ + sen t dt Luego,

dx2+ dy2 = (−r sen θ dθ + cos t dr)2_{+ (r cos θ dθ + sen t dr)}

= dr2+ r2dθ2

Por otra parte, tambi´en una superficie parametrizada

ϕ

: U _{⊂ R}2 _{→ R}3 _{se considera a}

ds2

ϕ

= Edu2 + 2F dudv + Gdv2 como la m´etrica riemanniana o Primera Forma Funda-

mental de la superficie parametrizada

ϕ

inducida a partir de R3_{. Esta m´etrica determina}

una funci´on que mide distancia sobre una superficie regular.

Definici´on 3.7.9 Sea M ⊂ R3 _{una superficie regular, y sean p, q∈ M. Entonces la dis-}

tancia intr´ınseca ρ (p, q), es la mayor cota inferior de las longitudes de todas las curvas α totalmente contenidas en M y que conectan p y q.

En general, la distancia intr´ınseca ρ (p, q) ser´a mayor que la distancia eucl´ıdea dada por kp − qk.

Tambi´en, el ´angulo θ bajo el cual dos curvas regulares parametrizadas α : I _{→ M y} β : I → M que se interceptan por t = to es dada por

cos θ = hα′(to), β′(to)i kα′_{(to)k kβ}′_(to)k

En particular, el ´angulo ϕ de las curvas coordenadas de una parametrizaci´on

ϕ

(u, v) es

cos ϕ = h

ϕ

u,

ϕ

vi k

ϕ

uk k

ϕ

vk

= √F EG

Se sigue de esto que las curvas coordenadas de una parametrizaci´on son ortogonales sii F (u, v) = 0 para todo (u, v). A tal parametrizaci´on se le llama parametrizaci´on ortogonal. Ejemplo 3.7.5 Calculemos la primera forma fundamental de una esfera por un punto de sistema de coordenadas dado por la parametrizaci´on

ϕ

(θ, φ) = (sen θ cos φ, sen θ sen φ, cos θ) Primero,

ϕ

θ(θ, φ)(cos θ cos φ, sen θ sen φ,− sen θ)

y

3.7. El Plano Tangente; la diferencial de una aplicaci´on. Cap´ıtulo 3. Superficies en R3

Por tanto,

E(θ, φ) =h

ϕ

θ,

ϕ

θi = 1

F (θ, φ) =_h

ϕ

θ,

ϕ

φi = 0

G(θ, φ) =_h

ϕ

φ,

ϕ

φi = sen2θ

As´ı, si w es un vector tangente a la esfera por el punto

ϕ

(θ, φ), dado en la base asociada a

ϕ

(θ, φ) por w = a

ϕ

_θ+ b

ϕ

_φ.

Entonces

kwk2 _{= I(w) = Ea}2_{+ 2F ab + Gb}2

= a2+ b2sen2θ

Como aplicaci´on, determinemos la curva en este sistema de coordenada en la esfera, la cual hace un ´angulo constante β con los meridianos φ = constante. Estas curvas son llamadas “loxondromas” (o curvas de rumbo) de la esfera.

Bien, supongamos que la curva requerida α(t), es la imagen por

ϕ

, de una curva (θ(t), φ(t)) del plano θφ por el punto

ϕ

(θ, φ), donde la curva encuentra el meridiano φ = ctte.; tendremos entonces,

cos β = h

ϕ

θ, α ′(t)i k

ϕ

θk  kα ′(t)k

= θ′

1.p(θ′₎2_{+ (φ}′₎2_sen2_θ;

ya que en la base {

ϕ

θ,

ϕ

φ} el vector α ′(t) tiene coordenadas ( θ′, φ′) y

h

ϕ

θ, θ′

ϕ

θ + φ′

ϕ

φi = h

ϕ

θ,

ϕ

θiθ′ + φ′h

ϕ

θ,

ϕ

φi = θ ′

Luego,

cos β = _p θ ′

(θ ′₎2_{+ (φ} ′₎2_sen2_θ

lo implica que,

(θ′)2tan2β = (φ′)2sen2θ ⇒ (θ′)2tan2β = (φ′)2sen2θ = 0;

as´ı,

θ′

sen θ =± φ′

tan β, al integrar obtenemos, la ecuaci´on de las loxodromas

log tan  θ 2  =_{±(φ + C) cot β,}

donde la constante de integraci´on “C” es determinada por dar un punto

ϕ

(θ0, φ0), a trav´es

del cual, esta curva pasa. C´alculo de ´Areas:

Cap´ıtulo 3. Superficies en R3

3.7. El Plano Tangente; la diferencial de una aplicaci´on.

Definici´on 3.7.10 Un Dominio de una superficie M es un subconjunto conexo y abierto de M, tal que su frontera es la imagen de un c´ırculo por un homeomorfismo diferenciable, el cual es regular (i.e, su diferencial es no nulo) excepto por un n´umero finito de puntos. Una regi´on de M es la uni´on de un dominio con su frontera. Una regi´on de M _{⊂ R}3 _es

acotada si est´a contenida en alguna bola de R3_.

R

S

Figura 3.39: La Regi´on R de M.

Consideremos una regi´on acotada R la cual est´a contenida en una vecindad coordenada

ϕ

(U) de una parametrizaci´on

ϕ

: U ⊂ R2 _{→ M. En otras palabras, R es la imagen por}

ϕ

de una regi´on acotada Q⊂ U.

La funci´on k

ϕ

u∧

ϕ

vk, definida en U, mide el ´area del paralelogramo generado por los

vectores

ϕ

u y

ϕ

v, es decir

k

ϕ

u×

ϕ

vk = k

ϕ

uk k

ϕ

vk sen θ, θ∢(

ϕ

u,

ϕ

v)

como se puede ver en la figura 3.40.

!u

!v sen

Figura 3.40: ´Area del paralelogramo generado por los vectores

ϕ

_u y

ϕ

_v.

En primer lugar, la doble integral Z Z

Qk

ϕ

u∧

ϕ

vkdudv

no depende de la parametrizaci´on

ϕ

. En realidad, si

ϕ

: U _{⊂ R}2 _{→ M es otra parametri-}

3.7. El Plano Tangente; la diferencial de una aplicaci´on. Cap´ıtulo 3. Superficies en R3

es ∂(u, v)/∂(u, v), entonces, Z Z Qk

ϕ

U ∧

ϕ

vkdudv = Z Z Qk

ϕ

u∧

ϕ

vk     ∂(u, v) ∂(u, v)    dudv = Z Z Qk

ϕ

u∧

ϕ

vkdudv

donde la ´ultima igualdad viene del teorema de cambio de variables para integrales m´ulti- ples. As´ı que:

Definici´on 3.7.11 Sea R_{⊂ M una regi´on acotada de una superficie regular M contenida} en la vecindad coordenada de una parametrizaci´on

ϕ

: U _{⊂ R}2 _{→ M}′_{. El n´umero positivo}

A(R) = Z Z

Q

k

ϕ

u∧

ϕ

vkdudv , Q =

ϕ

−1(R)

es llamada el ´area de R.

Es conveniente observar que k

ϕ

u∧

ϕ

vk2+h

ϕ

u,

ϕ

vi2 =k

ϕ

uk2k

ϕ

vk2 . Ahora, ya que

k

ϕ

u∧

ϕ

vk 2 ₌ k

ϕ

uk 2 k

ϕ

vk 2_sen2_θ y h

ϕ

u,

ϕ

vi 2 ₌ k

ϕ

2 uk

ϕ

2 vcos 2_θ, resulta que k

ϕ

u∧

ϕ

vk = √ EG− F2_.

Ejemplo 3.7.6 Calculemos el ´area del toro.

Para eso, consideremos la vecindad coordenada correspondiente a la parametrizaci´on

ϕ

(u, v) = ((a + r cos u) cos v, (a + r cos u) sen v, r sen u)

0 < u < 2π ; 0 < v < 2π; la cual cubre al toro, excepto un meridiano y un paralelo. Los coeficientes de la P.F.F.(Ip), son

E = r2_{, F = 0 y G = (r cos u + a)}

Ahora consideremos la regi´on Rε obtenida como la imagen por

ϕ

de la regi´on Qεdada

por

Qε={(uw)∈ R2, 0 + ε≤ u ≤ 2π − ε, 0 + ε ≤ v ≤ 2π − ε},

como lo muestra la figura 3.41 abajo.

Usando la definici´on de ´area obtenemos que A(Rε) = Z Z Qε r(r cos u + a)dudv = Z 2π−ε 0+ε (r2cos u + ra)du Z 2π−ε 0+ε dv

Cap´ıtulo 3. Superficies en R3 3.8. Ejercicios. 2! 2! v u x y z

Figura 3.41: ´Area del Toro.

= r2(2π− 2ε)(sen(2π − ε)) − sen ε) + ra(2π − 2ε)2

Al hacer ε_{→ 0, se obtiene que}

A(T ) = l´ım

ǫ→0A(Rε) = 4π 2_ra

Esta coincide con el ´area calculada por el teorema de Pappus para superficies de Re- voluci´on.

3.8.

Ejercicios.

Ejercicio 3.1 Probar que los subconjuntos de R3 _{dados respectivamente por las ecua-}

ciones (x2 _{+ y}2₎n _{+ cz}2 _{= 1 y x + y + z + xyz = k son superficies, siendo n un}

entero positivo y c, k _{∈ R, con c 6= 0. Estudiar que aspecto tienen estas superficies .} Ejercicio 3.2 Sea θ(u) una funci´on diferenciable. Probar que

ϕ(u, v) = ( v cos(θ(u)), v sen(θ(u)), u ) es una Superficie regular.

Ejercicio 3.3 Para cada una de las aplicaciones ϕ : R2 _{→ R}3_{que se dan a continuaci´on,}

probar que imϕ es una superficie y ϕ convenientemente restringida, es una parametri- zaci´on.

a) ϕ(u, v) = ( cos u sen v, cos u sen v, sen u ) b) ϕ(u, v) = ( u cos v, u sen v, u )

c) ϕ(u, v) = ( u2_{, u}3_{, v )}

d) ϕ(u, v) = ( u + v, u − v, vu ) e) ϕ(u, v) = ( u2_{, uv, v}2₎

3.8. Ejercicios. Cap´ıtulo 3. Superficies en R3

Ejercicio 3.4 Sea λ : R _{→ R}2 _{una curva regular y simple en el plano de ecuaci´on}

z = 0. Probar que

Cλ = {λ(t) + ve3 : (t, v) ∈ R2},

donde e3 = (0, 0, 1), es una Superficie regular.

Ejercicio 3.5 Se considera M = _{{(x, y, z) ∈ R}3 _{: 4x}2 _{− 4x}4 _{− y}2 _{= 0}, y sea}

ϕ : (0, 2π)_{× R → R}3 _{la aplicaci´on dada por las ecuaciones: x = sen u, y = sen 2u, z = v.}

a)Demostrar que imϕ = M, ϕ : (0, 2π)× R → M es biyecci´on, y rang(dϕ) = 2 en todo punto.

b) Estudiar si M es superficie de R3_{.¿Es ϕ una parametrizaci´on de M ? .}

Ejercicio 3.6 Considere la superficie S1_{× R con las siguientes parametrizaciones:}

ϕ : U→ R3 _{donde ϕ(θ, t) = ( cos θ, sen θ, t ) y U = (−3π/4, 3π/4 ) × (0, 1);}

φ : V_{→ R}3 _{donde φ(ϑ, t) = ( cos ϑ, sen ϑ, t ) y V = (π/4, 7π/4 )× (0, 1);}

¿Quien es ϕ_{◦ φ}−1_{?. Haga un bosquejo gr´afico de la acci´on de ϕ y φ sobre S}1_{× R .}

Ejercicio 3.7 Sea f : M _{→ R una funci´on diferenciable sobre una superficie, M, conexa} y tal que dpf = 0, ∀ p ∈ M. prueba que f es una funci´on constante.

Ejercicio 3.8 Demostrar que si M, es una superficie contenida en un abierto W , de R3

y F : W → R3 _{es una aplicaci´on diferenciable con matriz jacobiana dF no singular en}

cada punto, entonces F (M) es una superficie.

Ejercicio 3.9 Sea U abierto de R2 _{M superficie, y ϕ : U → ϕ (U) ⊂ M ⊂ R}3_,

una aplicaci´on diferenciable con rango (dϕ (0, 0)) = 2. Probar que ϕ define (por restric- ci´on) sobre cierto entorno abierto de (0, 0) una parametrizaci´on local de M.

Ejercicio 3.10 Calcula la diferencial de una parametrizaci´on vista como una aplicaci´on entre superficies.

Ejercicio 3.11 En el plano de R3_{, cuya ecuaci´on es y = 0, se considera la curva de}

ecuaci´on z2 _{= x}2 _{− 4. Se gira dicha curva alrededor del eje z, calcula parametrizaciones}

de la superficie de revoluci´on obtenida. Prueba que dicha superficie es difeomorfa a un cilindro circular recto de radio uno.

Ejercicio 3.12 Sea S2 _{la esfera de radio uno y centrada en el origen de R}3_{. Se considera}

la aplicaci´on antipodal, A : S2 _{→ S}2_{, definida por, A(x, y, z) = (−x, −y, −z).}

Prueba que es un difeomorfismo de S2 _.

Ejercicio 3.13 Prueba que los siguientes pares de superficies son difeomorfas 1)Un plano y un paraboloide el´ıptico

2)Un hiperboloide de revoluci´on de una hoja y un cilindro construido sobre una elipse. 3)Un disco abierto de radio dos en el plano y M =_{{(x, y, z) ∈ R}3 _{: x}2_{+ 4y}2_{+ 4z}2_{; x > 0} .}

Ejercicio 3.14 Sea M una superficie regular y p0 ∈ R3 − M. Prueba que la funci´on

fp0 : M → R, definida por

fp0(p) =kp − p0k

2_,

∀p ∈ M es diferenciable y calcula su diferencial.

Cap´ıtulo 3. Superficies en R3

3.8. Ejercicios.

Ejercicio 3.15 Sea M una superficie regular y v un vector unitario en R. Prueba que la funci´on h : M _{→ R, definida por}

h(p) =_{hp, vi, ∀p ∈ M} es diferenciable y calcula su diferencial.

Ejercicio 3.16 Calcula la diferencial de la aplicaci´on antipodal en la esfera.

Ejercicio 3.17 Sea Mα una superficie de revoluci´on obtenida al girar una curva, α en

el plano xy alrededor del eje z. Sea Rθ : Mα → Mα la rotaci´on de ´angulo θ alrededor

del eje z. Calcular su diferencial.

Ejercicio 3.18 Calcula el plano tangente, en un punto arbitrario de la superficie M =_{{(x, y, z) ∈ R}3 _{: ax + by + cz = d; donde a, b, c, d∈ R}.}

Ejercicio 3.19 Calcula el plano tangente, en un punto arbitrario de las siguientes super- ficies:

1)Del cilindro x2_{+ y}2 _{= 16.}

2)De una esfera centrada en el punto p0 ∈ R2 y radio r.

3)Definida por la ecuaci´on x2_{+ y}2_{− z}2 _{= 1.}

4)Definida por la ecuaci´on x2_{+ y}2_{− z}2 _{= 0, z > 0.}

5)De un elipsoide con semiejes a, b y c.

6)De M = f−1_{(a) en R}3 _{preimagen de un valor regular.}

7)De una superficie de revoluci´on.

Ejercicio 3.20 Sea f : M → R una funci´on diferenciable sobre una superficie conexa y tal que su diferencial es id´enticamente nula (cero en cada punto). Prueba que dicha funci´on es constante.

Ejercicio 3.21 Sea ψ : U _{⊂ R}2 _{→ V ⊂ M una parametrizaci´on de una superficies}

regular, M. Se considera la aplicaci´on entre superficies regulares φ = ψ−1 _{: V → U ⊂ R}2_.

Prueba que es una aplicaci´on diferenciable y calcula su diferencial en un punto gen´erico, p_{∈ M .}

Ejercicio 3.22 Se considera la curva (Catenaria) η(u) = ( coshu, 0, u ), para u∈ R, en el plano de ecuaci´on y = 0. Se gira alrededor del eje z para obtener una superficie de revoluci´on, Mη, (Catenoide)

1. Calcula un recubrimiento de parametrizaciones para el catenoide de manera que las curvas coordenadas sean meridianos y paralelos, respectivamente.

2. En una de las parametrizaciones anteriores, sea esta ψ : (0, 2π)_{× R ⊂ R}2 _{→ M} η se

considera la curva λ(t) = ψ(4t, et_{), calcula las coordenadas de λ}′_{(t) respecto de la base}

asociada con la parametrizaci´on anterior.

3. Prueba que este catenoide es difeomorfo a un cilindro circula recto de radio uno. Sugr: Considere χ(x, y, z) = (x coshz, y coshz, z )

Ejercicio 3.23 Sea M = _{{(x, y, z) ∈ R}3 _{: xy − z = 0}. Prueba que es una superficie}

3.8. Ejercicios. Cap´ıtulo 3. Superficies en R3

Ejercicio 3.24 Calcula la Primera Forma Fundamental de una superficie regular definida como el grafo de una funci´on diferenciable, h : U _{⊂ R}2 _{→ R.}

Ejercicio 3.25 Calcula el ´area de una esfera de radio r, S2_(r).

Ejercicio 3.26 Calcula una f´ormula para expresar el ´area de un trozo de tubo, de radio r, sobre una curva regular, β : I ⊂ R → R3_{. Aplica la formula obtenida para el ´area del}

tubo de radio r sobre el siguiente trozo de h´elice

β(s) = (a cos s, a sen s, bs), 0_{≤ s ≤ 2π.}

Ejercicio 3.27 Calcula el ´area del trozo de superficie de revoluci´on obtenido al girar, alrededor del eje z el siguiente segmento de curva

λ(s) = √

2

2 (s, 0, s), 1 ≤ s ≤ 4.

Ejercicio 3.28 Pruebe que, si las curvas coordenadas forman una red de Chebyshef, es posible reparametrizar la vecindad coordenada de tal modo que la Primera Forma Fundamental tenga por coeficientes:

E = 1, F = cos w, G = 1 donde w es el ´angulo entre las curvas coordenadas.

Ejercicio 3.29 Calcula los coeficientes de la Primera Forma Fundamental de S2_{, con}

respecto a la Proyecci´on Estereogr´afica _{P y util´ızalos para calcular la longitud de las} curvas CR : [0, 2π] → S2, definidas por CR(t) = P ( R cos t, R sen t ). Estas curvas

son las im´agenes por _{P de circunferencias ¿De qu´e curvas se trata? Dibuja la curva con} R = 1/2 .

Ejercicio 3.30 Siendo _{P la Proyecci´on Estereogr´afica de S}2_{, demuestra que, para todo}

q∈ R2_{, la aplicaci´on d}

pP conserva ´angulos .

Ejercicio 3.31 Muestre que

ϕ(u, v) = ( u sen α cos v, u sen α sen v, u cos α ) 0 < u < _{∞, 0 < v < 2π, α = ctte.}

es una parametrizaci´on del cono con 2α como el ´angulo del v´ertice. En la correspondiente vecindad coordenada, pruebe que la curva

ϕ( c e(v sen α cot β), v), c = ctte., β = ctte.,

Cap´ıtulo 4

Superficies Orientables.

“ La inteligencia consiste no s´olo en el conocimiento, sino tambi´en en la

destreza de aplicar los conocimientos en la pr´actica”.

Poincare

Hablando geom´etricamente, dir´ıamos que: Una superficie es orientable cuando queda perfectamente definido un volumen que encierra dicha superficie, que llamaremos interior. Usualmente, se utilizan dos conceptos de orientabilidad en el plano R2_{: uno, intr´ınseco,}

esto es, que no hace uso del hecho de que R2 _{est´a contenido en R}3 _{y el otro que si}

lo hace. El primero consiste en orientar el c´ırculo unitario (donde se conviene que la orientaci´on positiva es antihoraria), en cuanto que el segundo, tomamos el plano como z = 0 y, decimos que una orientaci´on positiva del plano, es dada por la escogencia del vector (0, 0, 1) perpendicular al plano. Una relaci´on entre los dos conceptos es dada por “la regla de la mano derecha”.

M´as precisamente, sea SL(2, R) el conjunto de las matrices 2_{× 2} ortogonales de determinante 1; es decir, si A _{∈ SL(2, R) entonces A =}



cos θ sen θ −sen θ cos θ



, θ_{∈ R.} Denotemos por B el conjunto de todas las bases ortonormales del plano. Dos de tales bases _{e1, e2} y {f1, f2} son equivalentes si existe A ∈ SL(2, R) tal que Ae1 = f1,

Ae2 = f2, esto es, si es posible hacerlas coincidir por una rotaci´on. Esta relaci´on de

equivalencia divide a B en dos clases de equivalencia. Es usual llamar la positiva aquella que contiene la base can´onica (o sea, escogemos como positiva el sentido anti-horario). Siendo el origen de R2 _{completamente arbitrario, podemos definir una orientaci´on en cada}

punto del plano. Tomando todas las bases positivas, decimos que el plano est´a orientado positivamente.

De manera general, estas rotaciones en R2 _{corresponden a la estructura compleja j :}

R2 _{→ R}2 _{dada por j(p}

1, p2) = (−p2, p1) la cual es una rotaci´on de π₂ en el sentido

antihorario, adem´as j2 _{= −I, (j}

p).(jq) = p· q y (jp).p = 0, p, q ∈ R2. Tambi´en

hemos observado, que cada espacio tangente de R2 posee una estructura compleja: es decir, para vp ∈ R2p se tiene que jvp = (jv)p ∈ R

2

p y jvp.jwp = vp· wp . Ahora, puesto que

todos los espacios vectoriales de dimensi´on 2 son isomorfos, cada espacio tangente TpM de

una superficie regular M posee una estructura compleja Jp : TpM → TpM. Sin embargo,

puede suceder que la correspondencia p _{→ J}p sea una aplicaci´on continua como funci´on

de p o que no lo sea. La continuidad de p _{→ J}p significa que la aplicaci´on p → JpX es

Cap´ıtulo 4. Superficies Orientables.

Definici´on 4.0.1 Una superficie regular M _{⊂ R}3 _{se dice orientable si cada espacio tan-}

gente a TpM posee una estructura compleja Jp tal que la correspondencia p → Jp es una

aplicaci´on continua.

Bien, pero si consideramos el plano como subespacio de R3_{, dar una orientaci´on posi-}

tiva al plano es dar una funci´on

η : R2 _{−→ R}3

(x, y)_{−→ η(x, y) = (0, 0, 1)}

Una relaci´on entre el concepto intr´ınseco y esto ´ultimo es dada por el producto vectorial de R3_{. Con la definici´on 4.0.1 podemos tener el siguiente:}

Teorema 4.0.1 Una superficie regular es orientable si y s´olo si existe una aplicaci´on continua p _{→ N (p) que asigna a cada p ∈ M un vector normal y unitario N (p) ∈} (TpM)⊥.

Demostraci´on: Supongamos dada p → N (p). Entonces, para cada p ∈ M definimos Jp : TpM → TpM por Jpvp =N (p) × vp . Es f´acil probar que Jp aplica TpM en TpM

y no simplemente en R3

p, y que la correspondencia p→ Jp es continua. Adem´as, se sigue

que

Jp2vp =N (p) × (N (p) × vp)

= (_{N (p) · v}p)N (p) − (N (p) · N (p)) vp

=−vp

Rec´ıprocamente, dada una superficie regular M _{⊂ R}3 _{dotada de una estructura com-}

pleja continua p_{→ J}p definida globalmente, definimos N (p) ∈ Rp3 por:

N (p) = vp × Jpvp kvp × Jpvpk

, (4.1)

para vp ∈ TpM no nulo arbitrario. Entonces N (p) es perpendicular a ambos vectores vp y

Jpvp. Puesto que vp y Jpvp forman una base de TpM, se sigue queN (p) es perpendicular a

TpM. Para comprobar queN (p) en 4.1 es independiente de la elecci´on de vp, consideremos

wp otro vector tangente en TpM no nulo. Entonces wp es una combinaci´on lineal de vp y

Jpvp: wp = a vp+ b Jpvp Por tanto, wp × Jpwp = (a vp + b Jpvp) × (−b vp + a Jpvp) = (a2_{+ b}2_)(v p × Jpvp) y wp × Jpwp kwp × Jpwpk =

In document Complex Proteoform Identification Using Top-Down Mass Spectrometry (Page 85-87)