The mass graph alignment problem

nes de un punto arbitrario de la misma. Tambi´en c´omo la curvatura y la torsi´on influyen en la forma de la curva.Para tal fin, utilizaremos la aproximaci´on de Taylor de la curva por el punto dado.

Consideremos pues, α : I _{−→ R}3 _{una curva de rapidez unitaria de un intervalo}

I_{⊂ R en R}3_{, tal que s}

0 = 0 ∈ I y α ( s0) = ( α1(s0), α2(s0), α3(s0) ) el punto

sobre el cual escribiremos la ecuaci´on de α = ( α1, α2, α3), usando el sistema de Fre-

net _{{t ( s}0), n ( s0), b ( s0)}, en una vecindad de s0. Si el valor de s es peque˜no, cada

coordenada αi(s) se puede aproximar(finita), por el t´ermino inicial de su serie de Taylor:

αi(s) ∼ αi(0) + s dαi ds (0) + d2αi ds2 (0) s2 2 + d3αi ds3 (0) s3 6 + R, donde _s

l´ım

_{→ o} R s3 = 0. As´ı, α (s) _{∼ α (0) + s α}′_{(0) +} s 2 2 α ′′_{(0) +} s 3 6 α ′′′_{(0) + R,} Pero α′_{(0) = t}

0 y α′′(0) = kα0n0, donde el sub´ındice nos indica la evaluaci´on

en s = 0 y suponemos que kα0 6= 0. Por otra parte,

α′′′ = (kαn)′ =

dkα

ds n + kαn

′_.

De las f´ormulas de Frenet para n′_{, obtenemos,}

α′′′_{(0) = −k}2 α0t0 +

dkα

Cap´ıtulo 2. Teor´ıa de Curvas 2.2. Teor´ıa Local de Curvas Parametrizadas por Longitud de Arco.

Al sustituir los valores de α′_{(0), α}′′_{(0) y α}′′′_{(0) en la aproximaci´on de α (s) que}

hemos dado arriba; conservando s´olo el termino dominante de cada componente ( el de la menor potencia de s ), el resultado es,

α (s) _{∼ α (0) + s t}0 + kα0

s2

2 n0 + kα0 τ0

s3

6 b0 + R, (2.33)

Si denotamos el miembro derecho de (2.33) por bα (s), obtenemos la curva bα que se lla- mar´a la aproximaci´on de Frenet de α por s = 0. M´as, si consideramos el sistema de coor- denadas Oxyz de tal manera que el origen O coincida con α (0) y que t = ( 1, 0, 0 ), n = ( 0, 1, 0 ), b = ( 0, 0, 1 ) y con α (s) = ( x (s), y (s), z (s) ), resulta que,

x (s) = s ₋ k 2 α0s 3 6 + Rx, y (s) = kα0 2 s2 + k′ α0s 3 6 + Ry, z (s) = −kα0τ0 6 s 3 _{+ R} z, (2.34)

donde R = ( Rx, Ry, Rz). Las ecuaciones dadas en (2.34) se le llama la forma can´onica

local de α, en una vecindad de s = 0. En las figuras 2.25. y 2.26. se dan las proyecciones de α para s peque˜no ,seg´un (2.34), sobre los planos tn, tb y nb.

n t b b Proyección t

Figura 2.25: Proyecci´on sobre el plano tb

n

b n

t

2.2. Teor´ıa Local de Curvas Parametrizadas por Longitud de Arco. Cap´ıtulo 2. Teor´ıa de Curvas

Figura 2.26: Proyecci´on sobre los planos tn y nb.

De esto, podemos observar que la curva α pasa a trav´es del plano osculador en la direcci´on del vector binormal b , si τ es positiva. Tambi´en, podemos decir, que la curva por s = 0 est´a contenida enteramente a un lado del plano rectificable, en la direcci´on en la que se˜nala el vector normal n; en realidad porque se tiene que kα0 > 0. Por ´ultimo, la

forma can´onica permite decir, que el plano osculador, es el ´unico plano que contiene a la la tangente a la curva por s = 0. Esto es, el plano osculador, en general lo podemos ver como el plano que contiene a la recta tangente por α ( s ) y al punto α (s + h) cuando h → 0. (Ver[3]).

2.2.4. Existencia y unicidad de una Curva en el Espacio para kα(s) y τ (s)

dados.

El siguiente teorema muestra, que dadas las funciones de curvatura y de torsi´on de una curva de rapidez unitaria, as´ı como la disposici´on del sistema de referencia de Frenet en un punto de dicha curva, entonces la curva (salvo un movimiento r´ıgido o eucl´ıdeo en R3_{;ver[Ap´endice 1]), esta totalmente determinada. Esto, se debe a lo siguiente: El}

sistema de Frenet (2.28) es una sistema de nueve ecuaciones diferenciales en las funciones incognita t, n, b. Si las funciones de curvatura kα(s) y de torsi´on τ (s) tienen derivadas

continuas y especificamos valores iniciales t (s0), n (s0), b (s0), entonces por el Teorema

de existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales con condici´on inicial, existe una ´unica soluci´on t (s), n (s), b (s) para el sistema de Frenet en un intervalo, digamos J ,alrededor del punto s0 que satisface las condiciones iniciales impuestas. Si adem´as

k t (s0)k = k n (s0)k = k b (s0)k = 1, y t (s0)· n (s0) = t (s0)· b (s0) = n (s0)· b (s0) =

0, entonces el mismo teorema de unicidad nos da que _{k t (s) k = k n (s) k = k b (s) k =} 1, y t (s)_{· n (s) = t (s) · b (s) = n (s) · b (s) = 0, para toda s ∈ J, ; mas a´un, b (s) =} n (s) × b (s) ∀ s ∈ J. As´ı se puede obtener, α (s) = −→v0 +

Rs

0 t (u) du parametrizada

por longitud de arco s con curvatura kα(s) y torsi´on τ (s).

Teorema 2.2.5 (Teorema fundamental de la teor´ıa local de curvas.) Dadas las funciones kα(s) > 0 , τ (s) con s ∈ J, existe una curva parametrizada regular α :

J −→ R3 _{tal que s es la longitud de arco, k}

α(s) es la curvatura y τ (s) es la torsi´on

de α. Mas a´_{un, cualquier otra curva b}α satisfaciendo las mismas condiciones, difiere de α por un movimiento r´ıgido; es decir, existe una aplicaci´on lineal ortogonal ρ de R3_{, con}

determinante positivo, y un vector −→_{c tal que b}α = ρ ◦ α + −→c . Demostraci´on:

(Ver [3]).

Precauci´on:La birregularidad es una hip´otesis esencial. De otra manera, no solamente la torsi´on no existe, sino que logrando extenderla continuamente, la conclusi´on de unicidad fallar´ıa. Considere las curvas dadas en la figura (2.19) con las misma kα(s) y τ (s) = 0. No

existe un movimiento r´ıgido que lleve una dentro de la otra(Pru´ebelo) a pesar de que tienen la misma curvatura como funci´on de la longitud de arco.

Cap´ıtulo 2. Teor´ıa de Curvas 2.2. Teor´ıa Local de Curvas Parametrizadas por Longitud de Arco.

Figura 2.27: Curvas no congruentes por movimiento r´ıgido.

La figura anterior nos da pie para presentar el caso para curvas planas en donde la curvatura es signada:

Teorema 2.2.6 Sea k : ( a, b) _{−→ R una funci´on continua a trozos. Entonces, una} curva con velocidad unitaria γ : ( a, b) −→ R2 _{con curvatura k est´a dada por}

β (s) = (R cos θ (s) ds + c1, R sen θ (s) ds + c1),

con θ (s) =R k (s) ds + θ0.

(2.35)

Demostraci´on:

Si se define β y θ como en (2.35), resulta que,    β′_{(s) = ( cos θ (s), sen θ (s) )} θ′_{(s) = k (s).} (2.36)

As´ı, β tiene velocidad unitaria y k (s) es su curvatura.



En general, dadas kα y τ es muy dif´ıcil resolver las ecuaciones de Frenet y encontrar

la curva α correspondiente. Sin embargo, esto puede (casi) ser hecho en el caso de una H´elice.

Definici´on 2.2.5 En general, una H´elice es una curva regular α tal que para alg´un vector unitario fijo u,h t, u i es constante. A u se la llama el eje de la H´elice. Intuitivamente, la H´elice crece linealmente en la direcci´on dada por el eje.

Ejemplo 2.2.2 Cualquier curva plana es una H´elice ya que b es constante y puede to- marse como u.

Corolario 2.2.7 ( Lancret,1802) Una curva de rapidez unitaria α (s) con kα 6= 0 es una

H´elice si y s´olo si existe una constante c tal que τ = c kα.

Demostraci´on: Suponga que α es una H´elice. Ya que,h t, u i es constante, podemos escribir

h t, u i = cos ( θ ),

donde θ es un ´angulo fijo (llamado la inclinaci´on de α ). Ahora, si θ es un m´ultiplo entero de π , entonces u = t o u = −t ; lo que implica que kα = 0 (¿Por qu´e?), obteniendo

2.2. Teor´ıa Local de Curvas Parametrizadas por Longitud de Arco. Cap´ıtulo 2. Teor´ıa de Curvas

una contradicci´on. Bien, supongamos que θ no es un m´ultiplo entero de π. El siguiente c´alculo muestra que n es ortogonal a u :

0 = _{h t, u i}′ _{= h t}′_{, ui = k}

αh n, u i .

En virtud de esto y, ya que u = h u, t i t + h u, n i n + h u, b i b , resulta que, u = cos ( θ ) t + sen ( θ ) b,

donde sen ( θ ) = h u, b i. Entonces,

0 = u′ = cos (θ) kαn − sen (θ) τ n

y kα cos (θ) = τ sen (θ). Como θ no es m´ultiplo entero de π, se tiene que τ = c kα,

donde c = cot (θ).

Supongamos ahora que τ = c kα y mostremos que α es una H´elice. En efecto,

siguiendo el procedimiento de la primera parte, definimos θ por c = cot (θ) con 0 < θ < π y sea u = cos ( θ ) t + sen ( θ ) b. Ahora se puede demostrar que u′ _{= 0, con lo}

que u es constante. Note que _{h t, u i = cos ( θ ), es constante, por lo que α es una} H´elice.



Bien, ahora podemos dar el ejemplo para encontrar la curva α, correspondiente a una curvatura y torsi´on dadas:

Ejemplo 2.2.3 Sea α (s) una H´elice con kα > 0, τ = c kα para alguna constante c.

Ser´a ´util reparametrizar a α por un par´ametro t dado por t (s) =

Z s 0

kα(s) dσ.

N´otese que este cambio de coordenada es permisible, ya que t′ _{= k}

α > 0 implica

que t (s) es 1_{− 1 y adem´as, t (s) y s (t) son diferenciables. Ahora, como τ = c k}α, las

ecuaciones de Frenet son

t′ = kαn, n′ = −kαt + c kαb, b ′ = −c kαn.

En t´erminos del par´ametro t ellas son dt dt = n, dn dt = −t + c b, db dt = −c n. As´ı que, d2n dt2 = −n − c

2_{n = −w}2_{n, donde w =} √_{1 + c}2_{. Pero n es solu-}

ci´on de ´esta ecuaci´on diferencial, por lo que n = cos (wt) u + sen (wt) v para algunos vectores fijos u y v. Por otra parte, de dt_dt = n obtenemos que t = ( sen (wt) u ₋ cos (wt) v )/ w. En consecuencias, α (s) = 1 w( Z s 0 sen [wt(σ)] dσ u ₋ Z s 0 cos[wt(σ)] dσ v + s c + z ).

In document Complex Proteoform Identification Using Top-Down Mass Spectrometry (Page 58-61)