3.5 IPC Message passing
3.5.3 Event Notifications
Sean(X ,τ) un espacio topológico de Hausdorff y (Y, d) un espacio métrico. Una función f : X → Y se dice que es exclusiva (en inglés, cliquish) en un punto x0∈ X si, para cadaε> 0 y cada entorno abierto
U(x0) de x0, existe un conjunto abierto no vacío U⊆ U(x0) (U no necesariamente contiene a x0) tal que,
para todo x, y ∈ U,
d f(x), f (y) <ε.
Denotemos por Exc( f ) el conjunto de todos los puntos de exclusividad de f , es decir, Exc( f ) = x∈ X : f es exclusiva en x .
Si ocurre que Exc( f ) = X , entonces a f se le llama una función exclusiva.
Es claro que toda función que es continua en un punto es exclusiva en dicho punto, pero el recíproco no siempre se cumple. Por ejemplo, la función f :R → R dada por
f(x) = (
sen 1/x si x6= 0,
2 si x= 0
es exclusiva en x= 0, pero claramente no es continua en dicho punto. Una función exclusiva puede tener “muchos puntos de continuidad”. En efecto, la función de Thomae g :(0, 1) → R definida por
g(x) = (
1/q si x= p/q, donde p y q son primos relativos, 0 si x es irracional
como sabemos, es continua en todos los irracionales de (0, 1), pero es exclusiva en todo punto de (0, 1). Es consecuencia de la definición de función exclusiva que la suma de dos funciones exclusivas es de nuevo exclusiva. Similarmente, el límite uniforme de una sucesión de funciones exclusivas retiene la exclusividad. También es claro que:
Observación FCE. Si(X ,τ) un espacio topológico de Hausdorff y A es un subconjunto nunca-
denso de X , entonces la función característica de A,χA: X → R, es exclusiva en todo punto de
X .
En efecto, tomemos cualquier x0∈ X. Seanε> 0 y U (x0) un entorno abierto de x0. Como A es nunca-
denso en X , existe un conjunto abierto no vacío V ⊆ U(x0) tal que V ∩ A = ∅. Es claro que, cualesquiera
Observe que
PC( f ) ⊆ Exc( f ) o, de modo equivalente, X\ Exc( f ) ⊆ Disc( f ).
En el siguiente resultado,(1) fue demostrado por J. S. Lipi´nski y T. Šalát [294], mientras que (2) y (3) se debe a A. Neubrunnová [339]
Teorema 1.12.16 (Lipi ´nski-Šalát-Neubrunnová). Sea(X ,τ) un espacio topológico de Hausdorff y supon-
ga que f : X → R una función arbitraria. Entonces se cumple que:
(1) Exc( f ) es cerrado en X .
(2) Exc( f ) \ PC( f ) es de primera categoría en X.
(3) Si Exc( f ) es denso en X , entonces f es exclusiva. En particular, Disc( f ) es de primera categoría en X .
Prueba.(1) Sea y0∈ Exc( f ) y sea U(y0) un entorno abierto de y0. Como Exc( f ) ∩U(x0) 6= ∅, podemos
elegir un x0∈ Exc( f ) ∩U(x0). Siendo U (y0) un entorno abierto de x0y ya que x0∈ Exc( f ), se sigue de la
exclusividad de f en x0 que existe, para cadaε> 0, un conjunto abierto no vacío U ⊆ U(x0) tal que, para
todo x, y ∈ U,
f (x) − f (y) < ε.
Esto prueba que f es exclusiva en y0, por lo que y0∈ Exc( f ). Hemos demostrado que Exc( f ) = Exc( f ) por
lo que Exc( f ) es cerrado en X . (2) Observe que
Exc( f ) \ PC( f ) = Exc( f ) ∩ Disc( f ) = Exc( f ) ∩ ∞ [ n=1 x∈ X : osc( f ,x) ≥ 1/n = ∞ [ n=1 Exc( f ) ∩x∈ X : osc( f ,x) ≥ 1/n = ∞ [ n=1 Fn,
donde Fn= Exc( f ) ∩x∈ X : osc( f ,x) ≥ 1/n para cada n∈ N. Afirmamos que cada Fn es nunca-denso
en X . En efecto, fijemos n∈ N y sea x ∈ X. Sea U cualquier entorno abierto de x. Si x 6∈ Exc( f ), entonces
X\Exc( f )∩U ⊆ U y claramente V := X \Exc( f )∩U es, por la primera parte, un abierto no vacío que no intersecta a Fn, esto es, V∩ Fn=∅, por lo que Fnes nunca-denso en X . Por otro lado, si x∈ Exc( f ), se sigue
de la exclusividad de f en x que existe, para el n fijado y el entorno abierto dado U de x, un conjunto abierto no vacío V ⊆ U tal que, para todo y1, y2∈ V , se cumple que | f (y1) − f (y2)| < 1/2n. Esta última desigualdad
implica que osc( f , y) ≤ 1/2n < 1/n para todo y ∈ V . Esto prueba que V ∩ Fn=∅ y, en consecuencia, Fn
es, también en este caso, nunca-denso en X . Lo acabado de demostrar confirma que Exc( f ) \ PC( f ) es de primera categoría en X .
(3) Suponga que Exc( f ) es denso en X . Se sigue de (1) que Exc( f ) = Exc( f ) = X , lo cual prueba que f es exclusiva. Ahora, usando(2), vemos que
Sec. 1.12 Puntos de continuidad 99
es de primera categoría en X .
Del resultado anterior se sigue que: si(X ,τ) es un espacio topológico de Hausdorff arbitrario y la función
f : X → R es exclusiva, entonces Disc( f ) es de primera categoría en X. En efecto, como f es exclusiva,
resulta que Exc( f ) = X y como, obviamente, Exc( f ) es denso en X , se deduce del resultado anterior que Disc( f ) es de primera categoría en X .
Denotemos por Exc(X ) el conjunto de todas las funciones f : X → R que son exclusivas.
Corolario 1.12.4. Sea (X ,τ) un espacio topológico de Hausdorff. Entonces pDC(X ) ⊆ Exc(X), es decir,
toda función f : X → R puntualmente discontinua es exclusiva.
Prueba. En efecto, si f es puntualmente discontinua, entonces PC( f ) es denso en X y como PC( f ) ⊆ Exc( f ),
resulta que Exc( f ) es denso en X y la conclusión sigue del Teorema 1.12.16. Aunque el recíproco de este último resultado no siempre es válido, ocurre que si al espacio X se le impone el requerimiento de que sea un espacio de Baire se obtiene la siguiente caracterización de las funciones exclusivas, véase [133].
Teorema 1.12.17 (Doboš-Šalát). Sean(X ,τ) un espacio de Baire y f : X → R una función arbitraria. Las
siguientes condiciones son equivalentes:
(1) f es exclusiva.
(2) f es puntualmente discontinua.
(3) PC( f ) es un Gδ-denso en X o, equivalentemente, Disc( f ) es de primera categoría en X .
Prueba.(1) ⇒ (2). Si f es exclusiva sobre X, entonces Disc( f ) es de primera categoría en X y como X es un
espacio de Baire, PC( f ) = X \Disc( f ) es un Gδ-denso en X . Esto prueba que f es puntualmente discontinua. (2) ⇒ (3). Es inmediato.
(3) ⇒ (1). Suponga que Disc( f ) es de primera categoría en X, pero que X 6= Exc( f ). Puesto que ∅ 6=
X\ Exc( f ) ⊆ Disc( f ), el conjunto X \ Exc( f ) también es de primera categoría en X. Por el Teorema de
Lipi´nski-Šalát-Neubrunnová, Exc( f ) es cerrado y, en consecuencia, X \ Exc( f ) es un abierto no vacío de X. Pero como todo conjunto abierto viviendo en un espacio de Baire es, según el Teorema 1.7.3, un espacio de Baire en su topología relativa y, en particular, de segunda categoría, resulta que el conjunto no vacío
X\ Exc( f ) es, al mismo tiempo, de primera y de segunda categoría en X. Esta contradicción establece que
X= Exc( f ) y así, f es exclusiva.
Finalizamos esta sección con la siguiente caracterización de los espacios de Baire, (véase [375], Propo- sition 5.3, p. 55).
Teorema 1.12.18 (Neubrunnová-Richter). Sea(X ,τ) un espacio topológico de Hausdorff. Las siguientes
condiciones son equivalentes:
(1) X es un espacio de Baire.
(2) PC( f ) es denso en X para cualquier función exclusiva f : X → R.
Prueba.(1) ⇒ (2) sigue del Teorema 1.12.17.
(2) ⇒ (1). Es suficiente demostrar, por una aplicación del Teorema 1.6.3, que si A ⊆ X es de primera catego- ría, entonces X\ A es denso en X. Sea A un subconjunto de primera categoría en X. Entonces A =S∞n=1An,
donde cada An es un subconjunto nunca-denso de X . Para cada n∈ N, la función fn=χAn es, por la Ob- servación FCE, una función exclusiva y, en consecuencia, la función f =∑∞n=13−nfntambién es exclusiva
gracias al M-test para la convergencia uniforme de Weierstrass. Por hipótesis, PC( f ) = X \ Disc( f ) es denso en X , por lo que será suficiente demostrar que:
A ⊆ Disc( f ).
Sea x0∈ A. Entonces x0∈ An0para algún n0∈ N y, por consiguiente, f (x0) ≥ 3−n0. Fijemos ahora un entorno abierto arbitrario U de x0. Como Snn0=1An es nunca-denso y U es abierto, resulta que U\Snn0=1An 6= ∅
de modo que podemos elegir un y0∈ U \Snn0=1An. De esto se sigue que fn(y0) = 0 para cualquier n ∈
{1,2,... ,n0} y, en consecuencia, f(y0) = ∞
∑
n=n0+1 3−nfn(y0) ≤ ∞∑
n=n0+1 3−n = 1 2· 3 −n0.Usando el hecho de que f(x0) ≥ 3−n0 y la desigualdad anterior, se obtiene que
f(x0) − f (y0) ≥ 3−n0− 1 2· 3 −n0 =1 2· 3 −n0,
lo cual demuestra, por la arbitrariedad de U , que f es discontinua en x0 y, por lo tanto, A⊆ Disc( f ). Fi-
nalmente, puesto que PC( f ) = X \ Disc( f ) es denso en X, entonces PC( f ) ⊆ X \ A lo que hace que dicho
conjunto también sea denso en X y termina la prueba.