Management and Control PC

Nos ocuparemos ahora de recordar la definición de la oscilación de una función f : X_{→ R, donde (X,d)} es un espacio métrico. Baire introduce este concepto en su tesis para “medir” cuánto salta una función en una discontinuidad. Recordemos que si(X , d) es un espacio métrico:

Un punto x0∈ X es un punto de discontinuidad de f si, y sólo si, existe un ε> 0 tal que, dado

cualquierδ> 0, se tiene que | f (x) − f (x0)| ≥εpara algún x∈ X con d(x,x0) <δ.

Lo anterior se puede expresar en la forma: Una función f es discontinua en x0∈ X si, para cualquier

intervalo abierto y acotado I conteniendo a x0, siempre se tiene que

diam f(I)
= sup_{| f (x) − f (y)| : x,y ∈ I ≥} ε. La siguiente definición permitirá describir a Disc( f ) en términos de estos supremos

Definición 1.12.5. Sea_{(X , d) un espacio métrico y sea f : X → R una función arbitraria. Para cada sub-}

conjunto F de X , definimos la oscilación de f en F como

osc( f , F) = sup_{| f (x) − f (y)| : x,y ∈ F} = diam f (F)
.

Observe que si f es acotada sobre F, entonces 0_{≤ osc ( f ,F) ≤ 2sup{| f (x)| : x ∈ F} <}∞. Por supuesto, si

f no es acotada sobre F, pondremos osc( f , F) =∞. En general, si x_{∈ X la oscilación de f en x se define} como osc( f , x) = ´ınf δ>0osc f,U (x,δ)
= ´ınf δ>0diam f(U (x,δ))
= ´ınf δ>0sup 

| f (y) − f (z)| : y,z ∈ U(x,δ) . Notemos que siδ<δ′, entonces osc( f ,U (x,δ_{)) ≤ osc ( f ,U(x,}δ′)), por lo que

osc( f , x) = l´ım

δ→0+osc f,U (x,δ)
siempre que osc( f ,U (x,δ)) <∞para algúnδ> 0.

Queremos, finalmente, hacer la observación de que la definición de oscilación en un punto se puede llevar a cabo, en términos generales, si(X ,τ) es un espacio topológico de Hausdorff, (Y, d) es un espacio métrico y

f : X_{→ Y es una función. En efecto, en este caso, la oscilación de f en x}0∈ X se define como

osc( f , x0) = ´ınf

U_∈N(x0)

supd_{( f (x), f (y)) : x, y ∈ U} , donde N(x0) representa a la familia de todos los entornos abiertos de x0en X .

El siguiente resultado caracteriza la continuidad de una función en términos de su oscilación en un punto.

Teorema 1.12.14. Sea_{(X , d) un espacio métrico y sea f : X → R una función. Entonces}

(1) PC( f ) = {x ∈ X : osc ( f ,x) = 0}. (2) Para cadaε> 0, el conjunto Of(ε) =



x_{∈ X : osc ( f ,x) <}ε es abierto en X .

Prueba._{(1) Sea x ∈ PC( f ). Dado} ε> 0 existe, por la continuidad de f en x, un δ> 0 para el cual se cumple que f(U (x,δ_{)) ⊆ f (x)−}ε/2, f (x) +ε/2
. De aquí se sigue osc_{( f , x) ≤}εy comoε> 0 es arbitrario, concluimos que osc_{( f , x) = 0. Esto prueba que PC( f ) ⊆ {x ∈ X : osc ( f ,x) = 0}.}

Para demostrar la otra inclusión, sea x_{∈ X tal que osc ( f ,x) = 0. Entonces, dado}ε> 0, existe unδ> 0 tal que_{| f (y) − f (z)| <}εpara todo y_{, z ∈ U(x,}δ_{). En particular, | f (x) − f (y)| <}εpara todo y_{∈ U(x,}δ). Con esto hemos demostrado que x_{∈ PC( f ) y con ello la primera parte del teorema.}

(2) Seanε_{> 0 y x ∈ O}f(ε). Entonces osc ( f , x) = ´ınfδ>0osc( f ,U (x,δ)) <ε y, por lo tanto, existe unδ0> 0

tal que osc( f ,U (x,δ0)) <ε. Seaδ=δ0/2 y veamos que

U(x,δ_{) ⊆ O}f(ε).

En efecto, sea y_{∈ U(x,}δ). Si d(z, y) <δ, entonces d_{(z, x) ≤ d(z,y)+d(y,x) <}δ+δ=δ0y, por consiguiente, se cumple que U(y,δ_{) ⊆ U(x,}δ0). Por esto,

| f (z) − f (z′)| <ε para todo z, z′_{∈ U(y,}δ),

es decir, osc( f , B(y,δ)) <ε y así, osc( f , y) <ε. Como y_{∈ U(x,}δ) es arbitrario, resulta entonces que

Sec. 1.12 Puntos de continuidad 95

Observemos que el Teorema 1.12.14 nos dice que si F es un subconjunto cerrado de X y f : X_{→ R} no posee puntos de continuidad en F, entonces osc_{( f , x) > 0 para todo x ∈ F. Por otro lado, puesto que el} conjunto

D_ε( f ) = x_{∈ X : osc( f ,x) ≥}ε _{= X \ O}f(ε)

es cerrado en X para cadaε∈ R, entonces Disc( f ), el conjunto de todos los puntos de X donde f es discon- tinua, se puede representar en la forma

Disc_{( f ) = X \ PC( f ) =} ∞ [ n=1 n x_{∈ X : osc( f ,x) ≥}1 n o = ∞ [ n=1 D_1/n( f ), (D f )

de donde se obtiene que Disc( f ) es siempre un Fσ.

Queremos hacer resaltar que el Teorema 1.12.14 sigue siendo válido para cualquier función f : X_{→ Y ,} donde(X ,τ) es un espacio topológico de Hausdorff y (Y, d) es un espacio métrico.

Kostyrko and Šalát [272] demostraron que si un espacio lineal de funciones acotadas posee un elemento que es discontinuo casi-siempre, entonces en dicho espacio existe un conjunto residual de funciones con la misma propiedad. Más específicamente,

Teorema de Kostyrko-Šalát. Si F es un subespacio lineal del espacio de Banach B_{∞[0, 1], k·k∞}

tal que

´ınfλ PC( f )
: f _{∈ F} = 0,

entonces el conjunto

R = f _{∈ F :} λ PC( f )
= 0

es residual en F, dondeλes la medida de Lebesgue sobre[0, 1].

Observe que la hipótesis del teorema claramente se satisface si existe una f _{∈ F para la cual}λ PC( f )
= 0. También debemos notar que si el subespacio lineal F de B_∞[0, 1] no es norma-cerrado, entonces el conjunto residual R en la conclusión del teorema anterior puede ser vacío.

En [393], S. Saito obtiene la siguiente versión topológica del Teorema de Kostyrko-Šalát.

Teorema 1.12.15 (Saito). Sea F un subespacio lineal del espacio de Banach B∞[0, 1], k·k∞
tal que, para

cada subconjunto abierto no vacío U de_{[0, 1], existe f ∈ F tal que PC( f ) no es residual en U. Entonces el} conjunto

R = f_{∈ F : PC( f ) es nunca-denso} es un G_δ-denso en F.

Prueba. Para cada subintervalo cerrado no degenerado y con extremos racionales I de[0, 1], pongamos F(I) = f _{∈ F : PC( f ) no es residual en I}

= f _{∈ F : Disc( f ) es de segunda categoría en I}

Afirmamos que cada F(I) es un abierto denso de F. Antes de abordar la demostración nuestra afirmación vamos a probar el siguiente resultado auxiliar:

(1) Si f , g ∈ F y t ∈ R, entonces

Sea x_{∈ D}t( f ). Para cadaε> 0 y cada bola abierta U con centro en x, tenemos que

diam f(U )
_{≥ osc( f ,x) ≥ t > t −}ε,

lo cual implica que existen x1, x2∈ U tal que | f (x1) − f (x2)| > t −ε. Se sigue de esto que

diam g(U )
_{≥ |g(x}1) − g(x2)| ≥ | f (x1) − f (x2)| − 2k f − gk_∞ > t − 2k f − gk_∞−ε.

Tomando el ínfimo sobre todas las bolas abiertas U con centro en x, obtenemos que osc_{(g, x) ≥ t − 2k f − gk∞−}ε.

Comoεera arbitrario, concluimos que osc_{(g, x) ≥ t − 2k f − gk∞}, es decir, x_{∈ D}t−2k f −gk∞(g). (2) F(I) es abierto. En efecto, sea f ∈ F(I). Puesto que

Disc( f ) = ∞ [ n=1 n x_{∈ X : osc( f ,x) ≥} 1 n o = ∞ [ n=1 D1/n( f )

es de segunda categoría en I, existe algún n_{∈ N y un subintervalo abierto J ⊆ I tal que J ⊆ D}1/n( f ). Si g ∈ F

satisface_{k f − gk∞}< 1/2n, entonces por la primera parte tenemos que

J _{⊆ D}t( f ) ⊆ Dt_{−2k f −gk∞}(g) ⊆ Dt(g)

lo cual prueba que g_{∈ F}I.

(3) F(I) es denso. Dadoε> 0 considere cualquier bola abierta U := U ( f ,ε_{) en F. Veamos que U ∩F(I) 6= ∅,} lo que es equivalente a encontrar un h_{∈ F(I) tal que k f − hk <}ε. Sin perder generalidad, podemos suponer que f _{6∈ F(I), es decir, que PC( f ) es residual en I. Por nuestra hipótesis sobre F, existe una g ∈ F tal} que PC(g) no es residual en int(I). Escojamos un escalar c > 0 lo suficientemente pequeño de modo tal que c_{k gk∞}<ε, y definamos h_{= f + cg. Resulta que h ∈ F pues F es un espacio lineal y puesto que} PC_{( f ) ∩ PC(h) ⊆ PC(g), el conjunto PC(h) no puede ser residual en I. Como k f − hk <}ε tenemos que

h_{∈ F(I) y termina la prueba de la densidad de F(I).}

Para terminar la prueba observe que

R = \

I∈I(Q)

F(I),

donde I(_{Q) es la colección numerable de todos los subintervalos cerrados no degenerados con extremos} racionales de _{[0, 1]. En efecto, si f ∈ R, entonces PC( f ) es nunca-denso y, por consiguiente, en ningún} subintervalo I_{∈ I(Q) dicho conjunto es denso, lo cual significa que PC( f ) no es residual en I. Esto prueba} que f _∈T_I∈I(Q)F_{(I). Recíprocamente, suponga que f ∈}T_I∈I(Q)F(I). Entonces PC( f ) no es residual en I para cualquier I_{∈ I ∈ I(Q). Si PC( f ) no es nunca-denso en [0,1], entonces en algún subintervalo I ∈ I(Q)} el conjunto PC( f ) (que es un G_δ) sería denso en I y, en consecuencia, residual en I. Esta contradicción

establece que f _{∈ R.} 

Corolario 1.12.3. Si A es un subconjunto G_δ-nunca-denso de[0, 1], entonces la familia

F = f_{∈ B∞[0, 1] : A ⊆ PC( f )} satisface la hipótesis del Teorema 1.12.15.

Sec. 1.12 Puntos de continuidad 97

Prueba. Por el Teorema 1.12.2, A_{= PC( f ) para alguna f ∈ B∞}[0, 1]. Observe que F es un subespacio norma-cerrado pues si( fn)∞n=1es una sucesión en F convergiendo uniformemente a f , entonces

PC_{( f ) ⊇}

∞

\ n=1

PC( fn) ⊇ A.

Como comentario final, nótese que si F= B1[0, 1], entonces por el Teorema de Baire-Kuratowski, PC( f )

es un G_δ-denso (en particular, residual en_{[0, 1]) para cualquier f ∈ F, de modo que la hipótesis del Teorema} de Saito no se satisface. Si ahora se considera F= B2[0, 1] y tomamos la función característica deQ ∩ [0,1],

f=χQ_∩[0,1], entonces f es una función nunca continua perteneciente a la clase B2[0, 1]. El Teorema de Saito

nos dice entonces que B2[0, 1] posee un conjunto residual R con la propiedad de que para cualquier f ∈ R,

el conjunto PC( f ) es nunca-denso.