3.5 IPC Message passing
4.4.6 New Kernel Calls
Claramente
l´ım
n→∞fn(x) =χQ∩[0,1](x) para cada x∈ [0,1].
Por otro lado, para cada n∈ N, podemos construir una sucesión (gnk)∞k=1de funciones continuas convergien-
do puntualmente a fn en [0, 1]. En efecto, basta considerar funciones cuyos gráficos están formados por
triángulos isósceles tales que sus vértices sean los puntos(r1, 1), . . . , (rn, 1) y cuyas bases, cada vez menores,
estén en el eje de las abscisas. Supongamos ahora que existe una métrica d sobre B∞[0, 1] bajo la cual la d - convergencia sea la misma que la convergencia puntual. Tendríamos entonces que
l´ım
n→∞d( fn,χQ∩[0,1]) = 0.
Por construcción, sabemos que, para cada n∈ N, l´ımk→∞d(gnk, fn) = 0. Fijemos n ∈ N, y escojamos ahora
un kn∈ N de modo tal que d(gnkn, fn) < 1/n. Entonces
d(gnkn,χQ∩[0,1]) ≤ d(gnkn, fn) + d( fn,χQ∩[0,1]) < 1
n + d( fn,χQ∩[0,1]),
de donde se deduce que l´ımn→∞d(gnkn,χQ∩[0,1]) = 0, lo cual significa que la sucesión de funciones continuas (gnkn)∞k=1converge puntualmente aχQ∩[0,1], lo que resulta imposible por el Ejemplo 5.
1.13.
El Teorema de Categoría de Baire y el Axioma de Elección
Recordemos que en la demostración del Teorema de Categoría de Baire para Espacios Métricos Com- pletos uno elige, para cada natural n, una bola abierta Un:= U (xn, rn) con rn< 1/2n−1 tal que
U(xn, rn) ⊆ U(xn−1, rn−1) ∩ Gn,
obteniéndose de este modo una sucesión(xn)∞n=1que resulta ser de Cauchy en X y, en consecuencia, converge
a un x∈ X. Este punto x pertenece, por supuesto, a todos los U(xn, rn) y, por lo tanto, a todos los Gn como
se deseaba. El hecho fundamental que hay que destacar en dicha demostración es que, cada par(xn, rn) se
escoge de un conjunto de pares posibles los cuales dependen del par anterior (xn−1, rn−1), es decir, que en
dicha prueba se hace uso de una forma muy especial del Axioma de Elección (AC) denominada el Axioma de Elecciones Multiples. Formas más débiles del Axioma de Elección han sido propuestos para excluir resultados tales como la paradoja de Banach-Tarski. Uno de ellos es el siguiente:
Axioma de Elección Numerable(ACω). Si(Xn)∞n=1 es una sucesión de conjuntos tal que Xn
es no vacío para todo n∈ N, entonces existe al menos una función f : N →S∞n=1Xn tal que
f(n) ∈ Xnpara todo n∈ N.
El modelo ZF + ACω, es decir, la Teoría de Conjuntos derivada de los Axiomas de Zermelo-Frankel (sin el Axioma de Elección) al que se le ha añadido el Axioma de Elección Numerable, es particularmente útil para el desarrollo del análisis. Por ejemplo, ACω es suficiente para demostrar que la unión numerable de conjuntos numerables es numerable. Similarmente, es suficiente para demostrar el Teorema de Encaje de Cantor, probar que cualquier punto de acumulación de un conjunto A⊆ R es el límite de alguna sucesión de
A\ {x} y muchos otros resultados importantes en matemáticas. Varios formas equivalentes del Axioma de
Elección Numerable se pueden ver, por ejemplo, en [215].
El Axioma de Elección con frecuencia se usa para demostrar la existencia de conjuntos enR que son no medibles según Lebesgue, la existencia de un conjunto de números reales sin la propiedad de Baire, o
la paradoja de Banach-Tarski, etc. A diferencia del Axioma de Elección, el siguiente axioma, intermedio entre el Axioma de Elección y el Axioma de Elección Numerable, aunque no es suficiente para demostrar los resultados que acabamos de mencionar, sin embargo su uso es mucha utilidad.
Sea X un conjunto no vacío. Recordemos que una relación binaria sobre X es un subconjunto R⊆ X ×X. Escribiremos x R y en lugar de(x, y) ∈ R. El Axioma de Elecciones Múltiples puede ser establecido del modo siguiente:
Axioma de Elecciones Múltiples (DC). Sean X un conjunto no vacío, a∈ X y R una relación
binaria sobre X tal que:
para cada x∈ X, existe y ∈ X satisfaciendo xRy. (DC-1)
Entonces existe una función f :N0→ X, es decir, una sucesión (xn)∞n=0en X tal que
x0= a y xnR xn+1 para todo n∈ N.
Teorema 1.13.1. AC ⇒ DC ⇒ ACω.
Prueba. AC ⇒ DC. Sea R una relación binaria sobre un conjunto no vacío X verificando (DC-1) y sea
a∈ X. Si para cada x ∈ X, definimos
Yx =
n
y∈ X : xRyo,
entonces por(DC −1), cada Yxes no vacío y, en consecuencia, por el Axioma de Elección existe una función
f : X → Sx∈XYx ⊆ X tal que f (x) ∈ Yx para todo x∈ X, es decir, xR f (x) para todo x ∈ X. Definiendo
inductivamente los xn, n= 0, 1, 2, . . . por
x0= a, x1= f (x0), x2= f (x1), ··· xn+1= f (xn), ···
entonces x0= a y xnR xn+1para todo n∈ N, estableciéndose de este modo DC.
DC ⇒ ACω. Sea(Xn)∞n=1una sucesión de conjuntos no vacíos. Para cada n∈ N, defina
Yn = n
∏
m=1 Xm y Y = ∞ [ n=1 Yn.Sobre Y considere la relación binaria R dada por
x1, . . . , xn
R z1, . . . , zm
⇔ m= n + 1 y xi= zi, i= 1, . . . , n.
Observe que Y claramente satisface (DC-1) y, así, por hipótesis, existe una sucesión (yn)∞n=1 en Y tal que
ynR yn+1para todo n∈ N. Sin perder generalidad, podemos suponer que y1= x1
. Entonces, cada yntiene
la forma xn1, . . . , xn n ∈∏n m=1Xmy, por consiguiente, xnn∞n=1∈ ∞
∏
n=1 Xn.Esto termina la prueba.
Observe que el Axioma de Elecciones Multiples justifica sólamente una sucesión de elecciones, donde, por supuesto, cada una de ellas depende de la anterior. Dicho axioma no implica el Axioma de Elección
Sec. 1.13 El Teorema de Categoría de Baire y el Axioma de Elección 105
aunque, matemáticamente, es un axioma muy útil. El modelo o sistema ZF + DC es importante, funda- mentalmente, por el hecho de que casi todos los resultados de interés en la Teoría de la Medida clásica, así como muchos de los resultados importantes del Análisis Funcional elemental, con la excepción del Teorema de Hahn-Banach y algunos otros que son consecuencias del Axioma de Elección, son demostrables en ZF + DC. Por ejemplo, como veremos de inmediato, el Teorema de Categoría de Baire para espacios métricos completos es demostrable en ZF + DC.
El resultado principal de esta sección es el siguiente.
Teorema 1.13.2. Son equivalentes:
(1) DC.
(2) Cualquier espacio métrico completo es de Baire.
(3) Si para cada n ∈ N, Xnes un espacio discreto, entonces∏∞n=1Xnes un espacio de Baire.
(4) Si X es un espacio discreto, entonces XNes un espacio de Baire.
Prueba.(1) ⇒ (2). Sea (X,d) un espacio métrico completo y sea (Gn)∞n=1 una sucesión de subconjuntos
abiertos y densos en X . Para demostrar que T∞n=1Gn es denso en X , tomemos un subconjunto abierto no
vacío arbitrario V de X y veamos que V∩T∞n=1Gn6= ∅. Ya hemos visto que para cualquier entero m ≥ 1, Tm
n=1Gnes abierto y denso en X (observación (2) del Comentario Adicional 1.6.1, página 34) por lo que el
conjunto V∩Tm
n=1Gnes un abierto no vacío. Esto permite definir el conjunto
Y = ( (n, x, r) ∈ N × X × R : 0 < r < 2−n y B(x, r) ⊆ V ∩ m \ n=1 Gn ) . Sobre el conjunto Y definamos la siguiente relación binaria R declarando que
(n, x, r) R (n′, x′, r′) ⇔ B(x′, r′) ⊆ U(x,r).
Se sigue fácilmente de la definición de Y que, para cada y∈ Y , existe y′ para el cual y R y′. Usando ahora el hecho de que DC se cumple, se garantiza la existencia de una sucesión(yn)∞n=1en Y tal que ynR yn+1para todo
n∈ N. Si hacemos yn= (mn, xn, rn) para todo n ∈ N, resultará que la sucesión (xn)∞n=1 es de Cauchy en X la
cual converge, gracias a la completitud de X , a un x∈ X. Por construcción, x ∈T∞n=1B(xn, rn) ⊆ V ∩T∞n=1Gn.
(2) ⇒ (3). Si sobre el conjunto X :=∏∞n=1Xndefinimos la métrica d por
d (xn)∞n=1, (yn)∞n=1
=
(
0, si xn= yn para todo n∈ N,
2−m´ın{n∈N: xn6=yn}, en otro caso.
Entonces(X , d) es un espacio métrico completo el cual resulta ser de Baire por la hipótesis. (3) ⇒ (4). Es inmediata.
(4) ⇒ (1). Sea X un conjunto no vacío y suponga que R es una relación binaria sobre X que cumple (DC-1). Sea a∈ X. Considere a X con la topología discreta. Por (4), el espacio producto Y := XNes un espacio de Baire. Para cada m∈ N, defina
Gm =
n
(xn)∞n=1∈ Y : existe n ∈ N con xmR xn
o .
Sabiendo que R satisface (DC-1), tenemos que Gm es no vacío. Además, como X es un espacio discreto,
cualquier conjunto de la forma{xm} ×∏n6=mXn, donde Xn= X para todo n 6= m, es un abierto en la topología
producto, por lo que cada Gm resulta ser abierto y, además, denso en Y . Por ser Y un espacio de Baire, se
tiene que ∞ \ m=1 Gm6= ∅. Sea(xn)∞n=1∈ T∞
m=1Gm. Por construcción, para cada n∈ N, existe un m ∈ N tal que xnR xm. Definamos, vía
recursión, la sucesión(xn)∞n=0 por
x0 = a, xn+1 = xm´ın{m∈N: xnR xm}.
Entonces xnR xn+1para cada n∈ N. La prueba es completa.
En el teorema anterior muchas otras equivalencias se pueden agregar, véase [215]. Más aun, en el ámbito de nuestro interés, se puede agregar la siguiente: DC es equivalente a: cualquier espacio ˇCech-completo es un espacio de Baire (véase la Sección 1.10.2 para la definición de espacios ˇCech-completos y [189] para esa y otras equivalencias a DC).
Hubiese sido altamente deseable contar con una demostración del Teorema de Categoría de Baire para espacios métricos completos sin apelar al Axioma de Elecciones Dependientes, pero como vimos en el teorema anterior, ello no es posible. Sin embargo, en el sistema ZF, sin ningún axioma adicional, se puede obtener el siguiente resultado:
Teorema 1.13.3. En el sistema ZF, todo espacio métrico completo separable es un espacio de Baire. Prueba. Sea (X , d) un espacio métrico completo separable y sea D = {xn: n∈ N} una sucesión densa en
X . Tomemos cualquier sucesión de subconjuntos abiertos y densos en X , digamos (Gn)∞n=1, y veamos que
T∞
n=1Gnes denso en X . En efecto, sea V un subconjunto abierto no vacío de X . Como G1es denso en X , el
conjunto V∩ G1es un abierto no vacío y ya que D es denso en X , resulta que D∩ V ∩ G1
es no vacío. Sea entonces n1 = m´ın n∈ N : xn∈ V ∩ G1 y defina y1 = xn1. Hagamos ahora m1 = m´ın
m∈ N : U(y1, m) ⊆ V ∩ G1
y pongamos r1 = 1/m1. Como
U(y1, r1) es una bola abierta abierta contenida en V ∩ G1, entonces U(y1, r1) ∩ G2 es un abierto no vacío y
por la densidad de D, el conjunto D∩ U(y1, r1) ∩ G2
es no vacío. Como antes defina y2y r2. En general,
para todo entero n≥ 1, haciendo
yn+1 = xm´ınm∈N: x m∈U(xn,rn) ∩Gn+1 rn+1 = m´ın ( 1 n+ 1, 1 m´ınm∈ N : B(yn+1, m) ⊆ U(xn, rn) ∩ Gn+1 ) ,
resultará entonces que la sucesión(yn)∞n=1es de Cauchy en X y, por lo tanto, converge a un y∈ V ∩
T∞
n=1Gn.
Esto termina la prueba.
Del resultado anterior se traduce que en ZF pueden existir espacios métricos completos (por supuesto, no separables) que no son espacios de Baire. De igual forma existen espacios de Hausdorff compacto que no son espacios de Baire. Esto no ocurre en ZF + DC.