Feature Set and Classifier Evaluation for Data Set 1: DIARETDB

207. Una moneda equilibrada y marcada con “Cara” y “Cruz” se lanza repetidas veces hasta obtener el resultado “Cruz”. Defina la variable aleatoriaXcomo el n´umero de lanzamientos necesarios hasta obtener el resultado de inter´es. Encuentre la funci´on de distribuci´on de X.

2.4.

Teorema de cambio de variable

Sea X una variable aleatoria con distribuci´on conocida. Suponga que se modifica X a trav´es de una funci´on ϕ de tal forma que la composici´on ϕ_pX_q es una nueva variable aleatoria. Por ejemplo, se puede tomar una funci´on linealϕ_pX_{q “}aX_`b, conaybconstantes, o la funci´on cuadr´atica ϕ_pX_{q “}X2 o la funci´on exponencial ϕ_pX_{q “}eX. El problema natural que surge es el de encontrar la distribuci´on de esta nueva variable aleatoria. En esta secci´on estudiaremos algunos resultados que nos permiten dar una respuesta a este problema bajo ciertas condiciones. Consideremos primero el caso discreto. Este es el caso sencillo de resolver.

Proposici´on 2.2 SeaXuna variable aleatoria discreta y seaY _“ϕ_pX_q

en dondeϕes cualquier funci´on definida por lo menos en el conjunto de valores deX. Para cualquier valor y de Y,

P_pY _“y_{q “}P_pX _Pϕ´1_py_qq. (2.9)

Este resultado es evidente pues

P_pY _“y_{q “}P_pϕ_pX_{q “}y_{q “}P_pX _Pϕ´1_py_{qq “} ÿ

xPϕ´1

pyq

P_pX _“x_q. (2.10)

Es decir, Y toma el valor y si, y s´olo si, X toma un valor en el conjunto ϕ´1_py_q. Este ´ultimo t´ermino es la imagen inversa de y bajo la funci´on ϕ, esto es, ϕ´1_py_{q “ t}x:ϕ_px_{q “}y_u. La suma que aparece en (2.10) se lleva a cabo sobre todos los valores xen este conjunto.

Ejemplo 2.15 SeaX una variable aleatoria discreta con distribuci´on

x _´2 _´1 0 1 2

f_px_q 1_{8 1_{8 1_{2 1_{8 1_{8

Entonces la variable aleatoriaY _“X2 toma los valores 0,1,4 y tiene distri- buci´on

P_pY _“0_{q “} P_pX_“0_{q “} 1_{2, P_pY _“1_{q “} P_pX_{P t´}1,1_{uq “} 2_{8, P_pY _“4_{q “} P_pX_{P t´}2,2_{uq “} 2_{8.

‚ Ahora veamos el caso de la transformaci´onϕde una variable aleatoria con- tinua. Se imponen condiciones sobre ϕy la f´ormula es m´as elaborada.

Proposici´on 2.3 SeaXuna variable aleatoria continua con funci´on de densidadfXpxq. Seaϕ:RÑRuna funci´on continua, estrictamente cre- ciente o decreciente y con inversaϕ´1 diferenciable. Entonces la funci´on de densidad deY _“ϕ_pX_q est´a dada por

fYpyq “ $ ’ & ’ % fXpϕ´1pyqq ˇ ˇ ˇ ˇ d dyϕ ´1 py_q ˇ ˇ ˇ ˇ siy_PRangopϕ_pX_qq, 0 en otro caso. (2.11)

Demostraci´on. _{Supongamos que ϕes estrictamente creciente. Calcula-}

remos primero la funci´on de distribuci´on de Y en t´erminos de la funci´on de distribuci´on deX. Para cualquier valory dentro del rango de la funci´on ϕ_pX_q,

FYpyq “PpY ďyq

“P_pϕ_pX_qďy_q “P_pX_ďϕ´1_py_qq “FXpϕ´1pyqq.

2.4 Teorema de cambio de variable 151

Derivando respecto de y, por la regla de la cadena, tenemos que

fYpyq “ fXpϕ´1pyqq d dyϕ ´1_pyq “ fXpϕ´1pyqq ˇ ˇ ˇ ˇ d dyϕ ´1 py_q ˇ ˇ ˇ ˇ .

La ´ultima identidad se obtiene al observar que, como ϕ es estrictamente creciente, su inversa ϕ´1 tambi´en lo es y su derivada es positiva. En el caso cuando ϕes estrictamente decreciente, se puede demostrar de manera similar al an´alisis anterior que

FYpyq “1´FXpϕ´1pyqq. Derivando nuevamente respecto dey,

fYpyq “ ´fXpϕ´1pyqq d dyϕ ´1 py_q “ fXpϕ´1pyqq „ ´_dyd ϕ´1_py_q ȷ “ fXpϕ´1pyqq ˇ ˇ ˇ ˇ d dyϕ ´1 py_q ˇ ˇ ˇ ˇ .

En este caso, la inversa ϕ´1 es decreciente y su derivada es negativa. _‚ Por simplicidad en el enunciado del resultado anterior, hemos pedido que la funci´onϕsea estrictamente mon´otona y definida en el conjunto de n´umeros reales, sin embargo ´unicamente se necesita que est´e definida en el rango de la funci´onX y que presente el comportamiento mon´otono en dicho subcon- junto. Ilustraremos esta situaci´on en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 2.16 SeaX una variable aleatoria continua con funci´on de den- sidad

fXpxq “

#

1 si 0ăx_ă1,

0 en otro caso.

As´ı, la variableXtoma valores ´unicamente en el intervalo_p0,1_q. Considere- mos la funci´on ϕ_px_{q “}x2_{, la cual es estrictamente creciente en p0,1q, cuya}

inversa en dicho intervalo es ϕ´1_py_{q “}?y y tiene derivada d dyϕ ´1 py_{q “} 1 2?y.

Por lo tanto, la variable Y _“ϕ_pX_q toma valores en _p0,1_q y por la f´ormu- la (2.11) tiene funci´on de densidad

fYpyq “ $ & % 1 2?y si 0ăyă1, 0 en otro caso.

No es dif´ıcil verificar que ´esta es, efectivamente, una funci´on de densidad. ‚

Ejemplo 2.17 SeaX una variable aleatoria continua con funci´on de den- sidad

fXpxq “

#

e´x si x_ą0,

0 en otro caso.

La variableXtoma valores en el intervalop0,_8q. Sea la funci´onϕ_px_{q “}1{x, la cual es estrictamente decreciente en _p0,_8q. Su inversa en dicho intervalo esϕ´1_py_{q “}1_{y y tiene derivada

d dyϕ

´1_{pyq “ ´} 1

y2.

Por lo tanto, la variable Y _“ϕ_pX_q toma valores en_p0,_8qy, por la f´ormu- la (2.11), tiene funci´on de densidad

fYpyq “ $ & % e´1{y 1 y2 si yą0, 0 en otro caso.

Haciendo el cambio de variable u_“1_{y en la integral puede verificarse con facilidad quefYpyq es, efectivamente, una funci´on de densidad. ‚

2.4 Teorema de cambio de variable 153

Ejercicios

208. SeaX una variable aleatoria discreta con funci´on de probabilidad

f_px_{q “} # 1 3 `₁ 2 ˘|x| si x_“0,_˘1,_˘2, . . . 0 en otro caso.

Suponga quenes un n´umero natural. Encuentre la distribuci´on de la variable aleatoria

a) Y _“X_`n. b) Y _{“ |}X_|.

c) Y _{“ |}X_|m´od. n. d) Y _“1r´n,nspXq.

209. Encuentre una f´ormula para la funci´on de densidad de la variable Y

en t´erminos de la funci´on de densidad de la variable X, suponiendo que esta ´ultima es continua con funci´on de densidad conocidafXpxq.

a) Y _“aX_`b cona_‰0, b constantes. b) Y _{“ ´}X.

c) Y _“X3_. d) Y _“eX.

210. SeaX una variable aleatoria continua con funci´on de densidad

fXpxq “

#

x2_{`</sub>x<sub>`}c si 0ăx_ă1,

0 en otro caso.

Encuentre el valor de la constante c que hace a fXpxq una funci´on de densidad. Encuentre adem´as la funci´on de densidad de la variable

Y _“ϕ_pX_q cuando a) ϕ_px_{q “}2x_´1. b) ϕ_px_{q “}?x.

211. SeaX una variable aleatoria continua con funci´on de densidad

fXpxq “

#

c_p1_{´ |}2x_´1_|q si 0_ăx_ă1,

0 en otro caso.

Encuentre el valor de la constante c que hace a fXpxq una funci´on de densidad. Encuentre adem´as la funci´on de densidad de la variable

Y _“ϕ_pX_q cuando a) ϕ_px_{q “ p}x_´1_q2_. b) ϕ_px_{q “}1_{x. c) ϕ_px_{q “}lnx.