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Ahora se analizara la transformación (𝑎 𝑏 𝑐 𝑑) (

𝑥 𝑦) = (

𝑥 + 𝑦 −𝑥 + 𝑦)

La matriz asociada a la transformación es ( 1 1

−1 1) y se aplica al triángulo ABC generando el

triángulo A´B´C´, el cuál es semejante con el triángulo inicial. Aquí se hace una importante exploración, reflexión y descubrimiento sobre el efecto de la matriz, todas éstas hacen parte del nivel general y formal de la matematización.

Al desplazar y mover uno de los vértices del triángulo ABC hacia la derecha sobre el eje x, el triángulo A´B´C´ se desplaza diagonalmente con respecto al eje cartesiano, alejándose cada vez más del origen, como se puede apreciar en la figura 20.

Figura 20. Movimiento del Triángulo A´B´C´ Fuente: Elaboración Propia

Cada vez que se aleja cualquier vértice del triángulo ABC (azul) que se mueve sobre el eje x positivo o negativo, se encuentra con el triángulo generado A´B´C´ (rojo) en algún punto, el único momento donde los triángulos encuentran es cuando el triángulo ABC se dirige y se aproxime al origen, es decir en el punto (0,0) como se evidencia en la figura 21.

Figura 21. Desplazamiento del Triángulo Azul Hacia el Origen Fuente: Elaboración Propia

En las exploraciones de las transformaciones anteriores se presentaba la situación en donde al acercar el polígono original hacia el punto donde se interceptan el eje de las abscisas y las ordenadas (origen), el polígono generado por la matriz también se desplaza hacia ese punto.

Si uno de los vértices del triángulo ABC se desplaza ahora sobre el eje positivo de las

ordenadas con dirección hacia el origen, el triángulo A´B´C´ hace un movimiento diagonal hacia la derecha, como se aprecia en la figura 22. Si el vértice se desplaza sobre el eje negativo de las ordenadas el triángulo A´B´C´ se mueve diagonalmente desde el cuarto cuadrante del plano cartesiano hasta el segundo cuadrante.

Figura 22. Desplazamiento del Triángulo A´B´C´ Fuente: Elaboración Propia

Teniendo en cuenta que, al explorar la incidencia de esta matriz de transformación sobre el triángulo ABC, surgen algunas preguntas que son resueltas más adelante en la exploración de esta matriz, tales como: ¿Por qué cuando el triángulo ABC o alguno de sus vértices se dirigen y desplazan hacia el origen, aparece y se visualiza también el triángulo A´B´C´ en ese mismo punto? ¿Será que importa que suceda o no, en una transformación lineal?

Estas preguntas son importantes porque proporciona elementos que caracterizan a las matrices y transformaciones, y su repuesta son muy importantes para este trabajo.

Cuando se afirma que uno de los vértices del triángulo ABC se encuentra sobre el eje x y se desplaza sobre el mismo, (ver figura 20) el vértice y punto B del triángulo ABC tiene como coordenada B= (60,0) que se muestra en la parte superior izquierda de la vista algebraica en geogebra. Si el punto B se mueve sobre el eje de las abscisas, el valor de la ordenada del vértice B del triángulo ABC siempre será igual a cero.

Si no se había mencionado antes la palabra ni el número cero en las otras matrices de transformación, no significa que tengan poca importancia, al contrario, el cero tiene una

trascendencia e importancia dentro de las transformaciones lineales, la cual se destacará en esta etapa del trabajo.

Cuando se examinó esta transformación, como se observa en la figura 19, el vértice A se encuentra sobre el eje de las abscisas, tiene como coordenada (60,0) y el vértice A´ que surge de haber aplicado la matriz de transformación al triángulo ABC, tiene como coordenada (60,-60).

Es decir que la matriz transforma la coordenada (60,0) en la coordenada (60, −60). Entonces con la exploración hecha en geogebra se identifica y se descubre que el efecto que tiene la matriz en la coordenada (60,0) donde el cero es el segundo componente es generar otra coordenada cuya abscisa es la misma pero su ordenada es el inverso aditivo de la abscisa.

Se representa el efecto de la matriz como la aplicación de una función que incide en la pareja ordenada, como se había mencionado anteriormente. Se puede expresar el efecto que realiza la matriz de transformación en la coordenada (60,0) con una notación de una función T, expresada como: 𝑇(60,0) = (60, −60)

Estas ideas y reflexiones surgen a partir de la exploración en geogebra sobre las

representaciones, modelos y esquemas de las transformaciones lineales y que hacen parte del nivel referencial de matematización, donde estas ideas y descubrimientos no se logran visualizar a simple vista, que están presentes, pero no se pueden reconocer ni identificar sin la interacción con el programa. Es por medio de esta exploración donde al proponer esta estrategia de abordaje de identificar y reconocer el efecto que genera la matriz de transformación en un vértice del polígono, en este caso un triángulo que se encuentra en algún punto del eje de las abscisas.

Igualmente dar una notación a través del uso de coordenadas cartesianas el cual registra el mismo efecto que tiene la matriz, es decir que se ha establecido dos registros, tanto el matricial con una matriz de 2x2 como el propuesto con coordenadas cartesianas. Por eso estos

descubrimientos de la exploración hacen parte del nivel referencial pasando al nivel general de matematización.

Al tomar cualquier punto 𝑎 que pertenezca al eje de las abscisas, el punto a tiene como coordenada (𝑎, 0), donde aplicándole la matriz de transformación surge otra coordenada teniendo nuevamente a 𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑎𝑏𝑐𝑖𝑠𝑎 y su inverso aditivo – 𝑎 como ordenada

𝑇(𝑎, 0) = (𝑎, −𝑎)

Se identifica que el efecto que tiene esta matriz de transformación en su notación matricial y como arreglo de columnas y de filas de 2x2 es el mismo si se denota como una función T en 𝑅2_, el efecto de esta matriz sucede siempre y cuando la ordenada sea igual a 0. Es una importante distinguir en la transformación, lo que sucede cuando ésta hace efecto en una coordenada cartesiana donde 𝑏 ≠ 0, y 𝑏 = 0.

𝑇(𝑎, 0) = (𝑎 + 0, 0 − 𝑎) = (𝑎, −𝑎)

Explorando y moviendo los triángulos en el programa geogebra, se visualiza y descubre nuevas ideas muy importantes que recogen los abordajes, las exploraciones anteriores, que enlaza el nivel referencial con el general y formal de la sistematización, que muestra una conexión entre los abordajes y las exploraciones hechas hasta ahora, a través de las matrices aplicadas a los polígonos con la representación con la notación gráfica más usual de la función lineal.

Si se toma ahora no uno, sino dos vértices del triángulo ABC sobre alguno de los ejes del plano cartesiano, primero sobre el eje x, si el vértice A y B se desplazan sobre el eje de las abscisa, el triángulo A´B´C´ realiza también un desplazamiento, para tener una visualización diferente y más detallada del efecto y el moviendo del triángulo generado A´B´C´ se propone activar el rastro del desplazamiento del vértice A´ y B´, el cual está registrado en la figura 23 y 24 al mover el triángulo ABC sobre el eje x.

Lo que se observa es que los vértices A´ y B´ del triángulo A´B´C´ hacen el trazado de una línea recta que pasa por el origen. Cuando se había dicho anteriormente que al desplazar uno de los vértices del triángulo ABC (azul) hacia la izquierda o derecha sobre el eje x, (ver figura 20 y 21) el triángulo A´B´C´ (rojo) se desplaza diagonalmente desde el cuarto cuadrante del plano cartesiano, pasando por el origen hasta el segundo cuadrante.

Gracias a la activación del rastro del movimiento del triángulo A´B´C´ se pude visualizar lo que en verdad sucede con este triángulo, el triángulo A´B´C´ está haciendo el trazado y recorrido de la recta 𝑦 = −𝑥, como se observa en la figura 23 y 24.

Figura 23. Inicio del Trazado de la recta por el Triángulo A´B´C´ Fuente: Elaboración Propia

Figura 24. Trazado de la Recta Hecha por el Triángulo A´B´C´ Fuente: Elaboración Propia

Al desplazar ahora los dos vértices del triángulo ABC sobre el eje y, el triángulo A´B´C´ realiza el trazo de la gráfica 𝑦 = 𝑥, como se observa en la figura 25, el desplazamiento que tiene el triángulo por todo el eje positivo y negativo de las ordenadas no solo genera el movimiento del triángulo A´B´C´ desde el tercer al primer cuadrante del plano cartesiano, sino que el triángulo A´B´C´ describe el trazado de la función identidad, el cual representa la gráfica de la función lineal.

Figura 25. Trazado de la recta 𝑦 = 𝑥 Hecha por el Triángulo A´B´C´ Fuente: Elaboración Propia

Al hacer la exploración con las transformaciones y los triángulos, moviéndolos de un lado a otro sin activar ningún rastro de alguno de sus vértices, si se afirma que ahí se presenta una función lineal, cualquier persona podría dudar o cuestionar esa afirmación porque en ningún momento observa la representación y definición tradicional de este concepto matemático, como una línea recta que pasa por el origen. Sin embargo, se ha descubierto que, sí está presente la línea recta, y esta oculta y no se visualiza inmediatamente.

5.4.6 Exploración Transformación 6