Para que un “instrumento” Z sea v´alido, debe satisfacer las dos siguientes condiciones:
Relevante: corr(Zi, Xi) 6= 0
Ex´ogeno: corr(Zi, ui) = 0
56 4. Variables Instrumentales
4.2.
Estimaci´on por MC2E
Este m´etodo consta de dos etapas - dos regresiones:
1. Primero se a´ısla la parte de X que no est´a correlacionada con u: regresi´on de X sobre Z por MCO:
Xi = π0+ π1Zi+ vi
Como Zi no est´a correlacionada con µi, π0+ π1Zi, tampoco lo estar´a con
µi. No conocemos π0 ´o π1 pero sabemos estimarlos. Hallar las estimacio-
nes de Xi, ˆXi, donde ˆXi = ˆπ0+ ˆπ1Zi, para i = 1,...,n.
2. Reemplazar Xi por ˆXi en la regresi´on de inter´es, y estimar Y sobre ˆXi
por MCO:
Yi = β0+ β1Xˆi+ µi....(2)
Como ˆXi no est´a correlacionada con µi en muestras grandes, el prime-
ro de los supuestos MCO se cumple. Por tanto, β1 puede estimarse por
MCO en (2). ´
Este es un argumento de muestras grandes (es decir π0 y π1 estar´an bien
estimadas en (1)) El estimador resultante es el MC2E, ˆβM C2E 1 .
Si disponemos de un instrumento v´alido, Zi,
Etapa 1ra: Regresi´on de Xi sobre Zi, para obtener ˆXi
Etapa 2da: Regresi´on de Yi sobre ˆXi; el coeficiente de ˆXi es el MC2E,
ˆ βM C2E 1 . Entonces, ˆβM C2E 1 es consistente de β1. ’===================================================== ’Programa que medira la consistencia y eficiencia
’Se usa la tecnica bootstrap para medir la consistencia ’Se usan estad´ısticos para medir la eficiencia
’====================================================== !p=100 rndseed 123 wf u !p series x1=2.5+0.3*@rnorm series x3=3+0.7*@rnorm series bmco series bmc2e
4.2. Estimaci´on por MC2E 57 for !z=1 to !p series e1=@rnorm series x2=0.25+0.75*x3+0.75*e1 series y=1.25+1.23*x1+1.98*x2+e1 equation mco.ls y c x1 x2 bmco(!z) = c(3) equation mc2e.tsls y c x1 x2 @ c x1 x3 bmc2e(!z)= c(3) next
group g1 bmc2e bmco
g1.line g1.stats series mco_m series mc2e_m for !j=1 to !p bmco.resample(10) bmco_b bmc2e.resample(10) bmc2e_b mco_m(!j)=@mean(bmco_b) mc2e_m(!j)=@mean(bmc2e_b) next do mco_m.kdensity(!p, o=dis_m1, b=0.04) do mc2e_m.kdensity(!p, o=dis_m2, b=0.04) series x_mco series f_mco
group gg1 x_mco f_mco mtos(dis_m1, gg1)
series x_mc2e series f_mc2e
group gg2 x_mc2e f_mc2e mtos(dis_m2, gg2) group g3 gg1 gg2 graph gph1.xyline(b) g3 gph1.draw(line, botton, rgb(0,0,127)) 1.98 Test de Hausman E-Views B´asico
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58 4. Variables Instrumentales
¿C´omo podr´ıa verificarse si los estimados obtenidos en la primera regresi´on provienen de un estimador consistente, mientras que los de la segunda regresi´on no?¿C´omo comprobariamos que los valores de la segunda regresi´on jan sido extra´ıdos de una distribuci´on donde es cada vez m´as probable obtener un valor cercano al par´ametro en la medida que aumentamos el tama˜no de muestra?. El test de Hausman evalua esto. Bajo la hip´otesis nula de ausencia de correlaci´on contemporanea entre los regresores y el error, el estimador MCO y el de VI son consistentes, bajo la hip´otesis alternativa, el estimador MCO pierde la propiedad de consistencia pero el de VI no, por lo que preferimos ´este ´ultimo. En base a la hip´otesis nula, el test plantea plim(T1(X0)) = 0 en la siguiente forma: Ho : plim( ˆβvi− ˆβmco) = 0. Entonces el test debera evaluar la distancia
entre los estimadores q = ˆβvi− ˆβmco.
H = q 0 [(X0Z(Z0Z)−1Z0X)−1− (X0X)−1]−1q σ2 → χ2(k)
Si consideramos que para la construcci´on de H se debe utilizar el mismo estimador que la varianza del error1 (sea con los residuos de VI o del MCO).
Debemos tener en cuenta que la matriz entre corchetes ser´a invertible solo si en Z no se repite ning´un elemento de X, lo cual es dificil ya que en Z se repetiria por lo menos el intercepto, por ello para aplicar la prueba debe tomarse en cuenta los subvectores o submatrices asociados a columnas de Z que no est´en en X. Dicha especificaci´on hace necesaria corregir los grados de libertad de la prueba, es decir considerar el n´umero de regresores estoc´asticos y no el n´umero total de variables en el modelo original (k).
!p=1000 rndseed 123 wf u !p series x1=2.5+0.3*@rnorm series x3=3+0.7*@rnorm series bmco series bmc2e series e1=@rnorm series x2=0.25+0.75*x3+0.75*e1 series y=1.25+1.23*x1+1.98*x2+e1 equation mco.ls y c x1 x2
1Se ha incluido la varianza poblacional del error en el denominador. Debido a que es un test asint´otico, se supone que e’e/(n-k) es un estimador consistente de dicha varianza, de modo que se asume como conocida. Esto posibilita trabajar con una distribuci´on chi- cuadrada y no con una F
4.2. Estimaci´on por MC2E 59 equation mc2e.tsls y c x1 x2 @ c x1 x3 group g1 x2 x1 c group g2 x3 x1 c scalar estoc=1 table resumen
call THausman(y , g1, g2, estoc, resumen)
’=================================TEST DE HAUSMAN================== subroutine THAUSMAN(series y, group indep, group instru, scalar p, table Hausman)
’================================================================== %0="y"
’definimos el n´umero de regresores estoc´asticos !est = p
’preparamos la tabla de resultados %reg = ""
for !i = 1 to indep.@count
%reg = %reg + " " + indep.@seriesname(!i) next
%estoc = ""
for !i = 1 to !est
%estoc = %estoc + " " + indep.@seriesname(!i) next
%inst = ""
for !i = 1 to instru.@count
%inst = %inst + " " + instru.@seriesname(!i) next
table(9,2) hausman
setcolwidth(hausman,1,13) setcolwidth(hausman,2,30)
setcell(hausman,1,1,"Resultados de la prueba de Hausman") setline(hausman,2) setcell(hausman,3,1,"regresores","l") setcell(hausman,3,2,%reg,"l") setcell(hausman,4,1,"estoc´asticos","l") setcell(hausman,4,2,%estoc,"l") setline(hausman,5) setcell(hausman,6,1,"instrumentos","l") setcell(hausman,6,2,%inst,"l") setcell(hausman,7,1,"hstat","c") E-Views B´asico
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60 4. Variables Instrumentales
setcell(hausman,8,1,"prob.","c") setline(hausman,9)
’c´alculo del estad´ıstico de Hausman stom(indep,_x)
equation _tempmico equation _tempinst _tempmico.ls {%0} indep !var = _tempmico.@se^2
matrix _covmico = !var*@inverse(@transpose(_x)*_x) stom(instru,_z)
_tempinst.tsls {%0} indep @ instru
matrix _covinst = !var*@inverse(@transpose(_x)*_z* @inverse(@transpose(_z)*_z)*@transpose(_z)*_x) vector _qtodo = _tempinst.@coefs - _tempmico.@coefs matrix _restacov = @subextract(_covinst,1,1,!est,!est)- @subextract(_covmico,1,1,!est,!est)
vector _q = @subextract(_qtodo,1,1,!est,1)
matrix _resp = @transpose(_q)*@inverse(_restacov)*_q !h = _resp(1,1)
!prob = @chisq(!h,!est)
setcell(hausman,7,2,!h,3,"l") setcell(hausman,8,2,!prob,4,"l") ’eliminamos objetos temporales: d _*
’================================================================== endsub
’================================================================== Test de Sargan
Dado que los instrumentos son elegidos en cierta manera por el investigador y la elecci´on es en cierto modo subjetiva, resulta de utilidad disponer de un contraste para la compatibilidad de estos instrumentos. Sargan mostr´o que el estad´ıstico: SM C2E ˆ σ2 µ d → χ2p−k
que sirve para contrastar la validez de los instrumentos utilizados siendo: SM C2E = ˆµV IW (W0W )−1W0µˆV I, valor que puede calcularse como la su-
ma explicada en una regresi´on de los residuos de las variables instru- mentales ˆµV I sobre el vector de variables W, calcul´andose ˆµV I con las
4.2. Estimaci´on por MC2E 61
p es el n´umero total de instrumentos utilizados.
k es el n´umero de variables explicativas del modelo original.
Si el valor del estad´ıstico calculado es mayor que el de la distribuci´on χ2 (p −
k) para un α dado se acepta que el modelo est´a mal especificado o bien que no todos los instrumentos utilizados son compatibles, es decir algunos est´an correlacionados con el t´ermino de perturbaci´on.
!p=1000 rndseed 123 wf u !p series x1=2.5+0.3*@rnorm series x3=3+0.7*@rnorm series x4=2+0.8*@rnorm series bmco series bmc2e series e1=@rnorm series x2=0.25+0.75*x3+0.75*e1 + 0.9*x4 series y=1.25+1.23*x1+1.98*x2+e1 equation mco.ls y c x1 x2 equation mc2e.tsls y c x1 x2 @ c x1 x3 x4 series unos=1
group indep unos x1 x2
group instru unos x1 x3 x4
mc2e.makeresid res scalar N=@regobs table RESULTADO
call TSARGAN(instru , indep, res, n, resultado)
’==========================TEST DE SARGAN========================== subroutine TSARGAN(group instru, group indep, series res,
scalar N, table resumen)
’================================================================== scalar L=@columns(instru)
scalar K=@columns(indep)
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62 4. Variables Instrumentales stom(res, u) stom(indep, x) stom(instru, z) matrix pz=z*@inverse(@transpose(z)*z)*@transpose(z) matrix sar_n=@transpose(u)*pz*u matrix sar_d=@transpose(u)*u/n matrix s=@inverse(sar_d)*sar_n ’scalar s=sar_n(1,1)/sar_d(1,1) scalar pval=1-@cchisq(s(1,1), L-K) table resumen resumen(1,1)="TEST DE SARGAN" resumen(2,1)="===============" resumen(3,1)="No Sargan" resumen(4,1)="P-Val" resumen(3,2)=s(1,1) resumen(4,2)=pval if resumen(4,2)<0.05 then resumen(6,1)="instrumento no compatible" else resumen(6,1)="instrumento compatible" endif ’================================================================== endsub ’================================================================== Veamos una aplicaci´on a datos reales:
******************************************************************** ’Aplicaci´on 01: Modelo semilogar´ıtmico del salario - retornos de la ’educaci´on (Griliches)
******************************************************************** Especificaci´on:
Donde:
4.2. Estimaci´on por MC2E 63
A: Habilidad del individuo
h: Vector con otras variables que caracterizan al individuo
’Cargando el archivo de trabajo load C:\griliches.wf1
’Estimando el modelo de determinaci´on del salario, con "IQ y S" ’como variables ex´ogenas
equation griliches.tsls lw iq s expr tenure rns smsa _iyear_67 _iyear_68 _iyear_69 _iyear_70 _iyear_71 _iyear_73 c @ med kww mrt age expr tenure rns smsa _iyear_67 _iyear_68 _iyear_69 _iyear_70 _iyear_71 _iyear_73
’Calculando la prueba F para medir la relevancia de los instrumentos ’"Z"
equation ffirts.ls iq med kww mrt age expr tenure rns smsa _iyear_67 _iyear_68 _iyear_69 _iyear_70 _iyear_71 _iyear_73 c
ffirts.testdrop med kww mrt age
’Calculando el estad´ıstico de Sargan, para lo cual necesitamos ’agregar a la matriz Z una variable ex´ogena (la constante) para ’eso creamos una serie de 1s.
series unos = 1
’Creamos la matriz Z con los instrumentos
group zetas med kww mrt age expr tenure rns smsa _iyear_67 _iyear_68 _iyear_69 _iyear_70 _iyear_71 _iyear_73 unos
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64 4. Variables Instrumentales
stom(zetas, z)
’Generamos los residuos y los transformamos a vector griliches.makeresid res
stom(res, u)
’Calculando el estad´ıstico de Sargan, para validar los instrumentos matrix pz = z*@inverse(@transpose(z)*z)*@transpose(z)
matrix num_sargan = @transpose(u)*pz*u scalar obs = @regobs
matrix dem_sargan = (@transpose(u)*u)/obs
matrix sargan_test = @inverse(dem_sargan)*num_sargan scalar l = @columns(z)
scalar k = 13
scalar sargan_stat = sargan_test(1,1)
scalar p_value = 1 - @cchisq(sargan_stat,l-k) ’Fin del programa.
’******************************************************************
4.3.
Estimaci´on por MGM
Es un m´etodo para estimar relaciones ´optimas.
’***************************************************************** Aplicaci´on 02: Estimaci´on de la regla de pol´ıtica monetaria de la ’FED (Clarida, Gali y Gertler)
’***************************************************************** Especificaci´on:
Donde r* es la tasa de inter´es objetivo. El mecanismo de ajuste ’parcial de la tasa de inter´es es mostrado en la segunda ecuaci´on. ’****************************************************************
4.3. Estimaci´on por MGM 65
’Cargando el archivo de trabajo load C:\cgg.wf1
’Definimos la muestra smpl 1982:10 1996:12
’Estimamos la ecuaci´on por MGM, elegimos como factor de correcci´on ’hasta el rezago 12
equation fed_rule.gmm(b=12) usff= c(2)*usff(-1) +(1-c(2))*(c(1)+ c(3)*usinfl(+12) +c(4)*usgap1) @ c usgap1(-1 to -6) usgap1(-9) usgap1(-12) usinfl(-1 to -6) usinfl(-9) usinfl(-12) usff(-1) usff(-6) usff(-9) usff(-12) dlpcm(-1 to -6) dlpcm(-9) dlpcm(-12) ’Calculamos el valor del estad´ıstico J que eval´ua la ortogonalidad de ’los 29 instrumentos
scalar j_stat = fed_rule.@regobs*fed_rule.@jstat scalar p_jstat = 1 - @cchisq(j_stat,25)
’Notamos que la probabilidad de cometer el error tipo I es 0.99 por lo ’tanto aceptamos la Ho.
’Calculamos la inflaci´on objetivo impl´ıcita en la regla de pol´ıtica ’monetaria
scalar pi_target =(@mean(usff-usinfl)-fed_rule.c(1))/(fed_rule.c(3)-1) ’Analizamos el correlograma de los residuos
fed_rule.makeresid residuo_gmm
freeze(res_ar1) residuo_gmm.correl(15)
’Notamos que los residuos siguen claramente un proceso AR(1)
’Estimamos la segunda ecuaci´on con 2 instrumentos adicionales: tasa ’de inter´es de largo plazo (bonds)
equation fed_rule2.gmm(b=12) usff= c(2)*usff(-1) +(1-c(2))*(c(1)+ c(3)*usinfl(+12) +c(4)*usgap1) @ c usgap1(-1 to -6) usgap1(-9) usgap1(-12) usinfl(-1 to -6) usinfl(-9) usinfl(-12) usff(-1) usff(-6) usff(-9) usff(-12) dlpcm(-1 to -6) dlpcm(-9) dlpcm(-12) us10y us10y(-1)
’Calculamos el valor del estad´ıstico J que eval´ua la ortogonalidad de ’los 31 instrumentos
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66 4. Variables Instrumentales
scalar j_stat2 = fed_rule2.@regobs*fed_rule2.@jstat scalar p_jstat2 = 1 - @cchisq(j_stat2,27)
’Fin del programa
Bibliograf´ıa
[1] Gujarati - Econometr´ıa b´asica - Segunda Edici´on.
[2] J. F. Castro y R. Rivas Llosa - Econometr´ıa aplicada - (CIUP). [3] Wooldridge, Jeffrey M. - Introducci´on a la Econometr´ıa.
[4] Willian H. Green - An´alisis Econom´etrico - Cuarta Edici´on.