Future Work

El an´alisis matem´atico de los modelos cosmol´ogicos usando t´ecnicas propias de la teor´ıa de los sistemas din´amicos nos permite extraer informaci´on valiosa sobre los estados asint´oticos del modelo.

CONCLUSIONES PARCIALES 80 Estas t´ecnicas son muy poderosas cuando queremos obtener informaci´on sobre la din´amica del modelo sin conocer soluciones exactas y las condiciones iniciales. Estas t´ecnicas se pueden usar para estudiar cosmolog´ıas quintasma (con potenciales tanto exponenciales como generales).

Como ya hemos mencionado, la construcci´on de posibles realizaciones del cruce fantasma w=−1 en una ´epoca reciente en modelos de EO, se ha convertido en un ´area activa de investigaci´on. Algunos de los estudios toman en cuenta el acercamiento desde la perspectiva de los sistemas din´amicos para mostrar que el cruce es posible para una familia de modelos cosmol´ogicos los cuales han sido nombrados cosmolog´ıas quintasma. Estas son configuraciones con dos campos escalares y en estas investigaciones han sido tomados en cuenta potenciales exponenciales simples, d´andoles alguna motivaci´on f´ısica, por la tratabilidad matem´atica de las propuestas. Aqu´ı tambi´en hacemos una selecci´on simple, hemos seleccionado un potencial de la formaV =V0e−

√

6(mφ+nϕ)_conV

0,my ¯nconstantes positivas, mientras

que (siguiendo nuestra notaci´on por simplicidad) los art´ıculos relacionados utilizanV =V01e−2

√ 6mφ₊ V02e−2 √ 6nϕ_{[56] oV =V} 01e−2 √ 6mφ_+V 02e−2 √ 6nϕ_+V 0e− √

6(mφ+nϕ) _{(en lo siguiente Zhang et al.) [57],}

conV01,V02y V0 constantes positivas tambi´en.

Hemos considerado modelos FRW planos y con curvatura. Hemos investigado elementos adicionales que sustentan los resultados previos en [56, 57, 17]. Hemos construido dos sistemas din´amicos ade- cuados para la investigaci´on de modelos con curvatura negativa, adaptados al conjunto invariante de los modelos que se expanden por siempre (²= signH >0) y al conjunto invariante de los modelos en contracci´on (²= signH < 0), respectivamente. Hemos construido un sistema din´amico adaptado al caso plano (por simplicidad hemos elegido modelos que se expanden por siempre), el cual hemos inves- tigado de manera independiente principalmente por que es posible la reducci´on de la dimensionalidad. Tambi´en, hemos construido otro adaptado a modelos con curvatura positiva. Hemos caracterizado los puntos cr´ıticos de cada sistema. Mediante el dise˜no de funciones mon´otonas bien definidas hemos po- dido obtener resultados globales para modelos que se expanden eternamente y modelos en contracci´on para las diferentes elecciones de la curvatura espacial.

Para modelos con curvatura negativa y siempre en expansi´on (² = signH > 0) (y bajo las hip´otesis 1 _≤ γ _≤ 2), hemos hallado que, cuando las condiciones de existencia de los atractores escalantes dominados por curvatura (sin materia) no se verifican (o sea si δ < 1₃) los atractores corresponden a soluciones dominadas por EO. Que pueden ser soluciones fantasmas (w <₋1) o soluciones de de Sitter (w =−1), o soluciones de quintaesencia. Esto representa una diferencia en relaci´on con la situaci´on en [17]. Debemos se˜nalar, sin embargo, que si se verifica que 0< γ < 2₃, δ > γ₂,la soluci´on escalante por materia es el atractor del sistema. Esta ´ultima mimetiza una componente adicional de EO. Para modelos en contracci´on (² = signH < 0) el atractor del sistema corresponde a una cosmolog´ıa de

CONCLUSIONES PARCIALES 81 campo escalar sin masa (CESM). Hacia el pasado la situaci´on t´ıpica es el reverso de la antes descrita. Para modelos planos hemos hallado que cuando las condiciones de existencia de los atractores es- calantes dominados por materia no se verifican, tenemos en su lugar, atractores fantasmas (w <₋1) o atractores de de Sitter (w = −1). Esto re-presenta una diferencia en relaci´on con la situaci´on en [56] y [57], dado que en los casos mencionados los atractores son solo de tipo de Sitter, a pesar de que algunas trayectorias toman de manera transciente el valorw <−1,antes de terminar en una fase de Sitter.

Para modelos con curvatura positiva (geometr´ıa cerrada) hemos hallado, bajo condiciones apropiadas sobre los valores de los parametros ´orbitas del tipo+Kˆ →−K.ˆ Estas son soluciones comenzando en y

recolapsando hacia una singularidad (dada por una cosmolog´ıa CESM). Tambi´en hallamos soluciones FRW cerradas comenzando en una singularidad de big-bang +F y recolapsando en un “big-crunch”

en ₋F.Estos resultados los ilustramos mediante integraciones num´ericas de las EDOs que describen estos modelos cosmol´ogicos. Hemos determinado condiciones para la existencia de diferentes tipos de atractores globales. Aunque hemos ofrecido, aqu´ı, solo un an´alisis cualitativo simplificado (a diferencia del an´alisis din´amico en [18] p´aginas 69-73), nuestro estudio puede verse como complementario de este trabajo mencionado, dado que nosotros hemos a˜nadido un campo fantasma en la din´amica. Debemos reiterar, sin embargo, que pero nuestro trabajo no es tan detallado como el anterior. El an´alisis cualitativo de cosmolog´ıas con m´ultiples campos con potenciales exponenciales (en el contexto de inflaci´on asistida) fue hecho en la misma referencia, secci´on VII, y en [69, 70], particularmente para dos campos. Pero ellos no consideran campo fantasma como hacemos nosotros.

Nuestras funciones mon´otonas permiten descartar la existencia de ´orbitas peri´odicas, ´orbitas homo- cl´ınicas u ´orbitas recurrentes. Por tanto se refuerza nuestra conjetura, la cual establece que la din´amica de los modelos de energ´ıa quintasma est´a dominada por puntos cr´ıticos y ´orbitas heterocl´ınicas que los unen.

El modelo analizados es criticable desde el punto de vista de nuestra selecci´on del potencial es muy es- pec´ıfica, pero como sucede con frecuencia en los modelos de quintaesencia (por ejemplo), los resultados aqu´ı obtenidos podr´ıan tener aplicaci´on para modelos similares con potenciales arbitrarios.

Otro aspecto del problema es que el problema de la coincidencia no ha sido resuelto en este modelo; quizas la manera de resolverlo es considerar interacciones entre los campos escalares y la materia, lo cual aplazamos para futuros proyectos.

Cap´ıtulo 4

Cosmolog´ıa quintasma: potenciales

arbitrarios

En este cap´ıtulo investigamos modelos con energ´ıa quintasma con potencial arbitario. El prop´osito de este cap´ıtulo es, precisamente, proveer de elementos adicionales que fundamentan el inter´es en los mod- elos de energ´ıa quintasma mediante el estudio de casos con potenciales arbitrarios (no exponenciales) tambi´en desde la perspectiva de los sistemas din´amicos. En este sentido nuestro estudio complementa el estudio en las referencias [56, 57, 17]. Como es usual, el an´alisis descansa en una apropiada selecci´on de variables, las cu´ales complementan las variables (3.2.9) definidas anteriormente.

Quiz´as el resultado m´as importante de esta secci´on es que en un marco m´as general (con potenciales arbitrarios no exponenciales) se puede probar que la existencia de atractores fantasmas no es gen´erica: particularmente, en nuestro escenario, existen atractores de de Sitter (w = −1) los cu´ales est´an asociados solo a los puntos de ensilladura del (logaritmo natural del) potencial.

El cap´ıtulo est´a organizado como sigue. En la secci´on 4.1 establecemos la motivaci´on de estudiar modelos de energ´ıa quintasma para potenciales arbitrarios. En la secci´on 4.2 damos los detalles del modelo cosmol´ogico bajo investigaci´on. En la secci´on 4.3 hacemos un estudio desde la perspectiva de los sistemas din´amicos de este modelo tan general para valores finitos de los campos escalares componentes. Con prop´ositos ilustrativos, seleccionamos una clase de potenciales los cuales tienen su origen en la literatura de inflaci´on. Luego, y con el objetivo de complemementar el an´alisis en la secci´on 4.3, escogemos en la secci´on 4.4 un sistema de coordenadas diferente, el cu´al nos permite estudiar la region donde ambos campos escalares divergen. Las conclusiones parciales las ofrecemos en la secci´on 4.5.

COSMOLOG´IA QUINTASMA: POTENCIALES ARBITRARIOS 83

4.1

Motivaci´on del estudio de cosmolog´ıas quintasma con poten-

ciales arbitrarios

Los modelos de energ´ıa quintasma con potenciales exponenciales y geometr´ıa FRW plana han sido examinados en la secci´on 3.3, desde la perspectiva de los sistemas din´amicos. Al considerar este tipo de potenciales, la dimensionalidad del espacio de fase estudiado es la m´ınima posible, preservando adem´as la autonom´ıa del correspondiente sistema de ecuaciones diferenciales.

El estudio del espacio de fases arroj´o los siguientes resultados:

1. La ley exponencial asumida para el potencial, el cual a su vez representa la interacci´on entre los dos campos escalares considerados, permiti´o llegar a la conclusi´on de que el comportamien- to escalante no se excluye del marco de las cosmolog´ıas quintasma. El sistema bajo estudio puede admitir atractores con comportamiento “escalante” y en ausencia del mencionado com- portamiento “escalante” pueden existir atractores “fantasma” (w < ₋1), o alternativamente, atractores de Sitter (w=−1).

2. Se demostr´o que los puntos cr´ıticos con comportamiento “stiff” (w = 1; hip´erbolas en los di- agramas de fase) pueden ser fuentes locales de ´orbitas de fase. Este resultado fue demostrado anal´ıticamente mediante la construcci´on de una funci´on mon´otona adecuada y esto fue corrob- orado adem´as mediante simulaciones num´ericas.

En esta secci´on pretendemos estudiar desde la perspectiva de los sistemas din´amicos las consecuencias de considerar potenciales arbitrarios, generalizando a su vez los resultados enumerados anteriormente. Haremos una selecci´on de coordenadas la cual permite analizar en principio cualquier potencial. Es- tudiaremos dos regiones por separado: la regi´on donde los campos escalares toman valores finitos y la regi´on donde los campos escalares divergen. Para ello construiremos dos sistemas din´amicos a partir de las ecuaciones de campo, cada uno de ellos adaptado a cada regi´on particular.

Para estudiar la regi´on donde los campos escalares divergen se requerir´a hacer una nueva selecci´on de variables, pero que arroja al resultado interesante de la existencia de comportamiento “escalante” en esta regi´on. Como resultado adicional se presenta una clase general de potenciales que conduce a este tipo de comportamiento, los cuales se comportan asint´oticamente como potenciales “exponenciales”. Por otra parte, para estudiar´a el caso en que los campos escalares toman valores finitos se requerir´a una selecci´on est´andar de variables (variables normalizadas con el escalar de expansi´on) las cuales permiten una configuraci´on interesante en el espacio de fase. Particularmente probaremos que la existencia de

COSMOLOG´IA QUINTASMA: POTENCIALES ARBITRARIOS 84 atractores “fantasma” no es gen´erica cuando se consideran potenciales que no son de tipo exponencial. Peculiarmente, en nuestro marco de trabajo los atractores de Sitter s´olo tienen lugar para potenciales que tienen, como funciones de dos variables, puntos de ensilladura. ´Este es un hallazgo inusual porque en cosmolog´ıas con campos escalares la creencia general es que s´olo es posible obtener fases estables para campos escalares que ruedan o escalan lentamente la pendiente del potencial.

Es conocido que si la EO tiene un comportamiento fantasma en tiempos recientes (recordemos que una componente de energ´ıa oscura fantasma tiene un par´ametro de ecuaci´on de estado w menor que ₋1) entonces, t´ıpicamente, nuestro universo (suponiendo que se expande eternamente) puede evolucionar hacia una singularidad catastr´ofica de gran desgarro (caracterizada por la divergencia del factor de escala, del escalar de expansi´on de Hubble as´ı como de su derivada en un tiempo finito hacia el futuro). Este es el caso si la densidad de energ´ıa fraccional es de tipo fantasma. Hemos visto que la soluci´on de tiempo reciente de tipo fantasma aparece en el contexto de la cosmolog´ıa quintasma con potenciales exponenciales cuando recurrimos a t´ecnicas est´andares de la teor´ıa de sistemas din´amicos para investigar esos modelos como ha sido mostrado en [56, 57, 17].