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El primer paso es introducir un conjunto de variables din´amicas normalizadas convenientemente (adem´as de introducir una variable temporal que tome todos los valores reales). En esta tesis los sistemas din´amicos resultantes del proceso de normalizaci´on tendr´an en cuenta (a lo sumo) la evolu- ci´on de cinco variables din´amicas xi_{,i= 1. . .5. Las ecuaciones diferenciales gobernando la din´amica} (en el espacio de fase), se podr´an escribir simb´olicamente:

xi0 =fi(x1, x2, . . . , x5), (2.4.21)

donde la prima denota derivada con respecto a una variable temporalτ la cual se escoje conveniente- mente.

El siguiente paso que daremos ser´a el de intentar descubrir ante que transformaciones de coordenadas las ecuaciones (2.4.21) son invariantes de forma. Este punto es muy importante por que nos permitir´a determinar, dentro del espacio de fase, cual ser´ıa el subespacio (de menor dimensi´on posible) de inter´es investigar. Ac´a se combinan criterios matem´aticos y criterios f´ısicos (por ejemplo cuando nos restringimos al estudio fuentes materiales satisfaciendo determinadas condiciones de energ´ıa, esto impone restricciones adicionales a las variables de fase que describen las mencionadas fuentes). De los resultados obtenidos en este subespacio se podr´a inferir conclusiones sobre la din´amica en otras regiones del espacio de fase aplicando las transformaciones de coordenadas inversas.

El pr´oximo paso para estudiar la evoluci´on de un sistema particular es encontrar sus puntos cr´ıticos (x1?, x2?, . . . , x5?), los cuales se definen como las soluciones de las ecuaciones

fi(x1?, x2?, . . . , x5?) = 0. (2.4.22)

La estabilidad de los puntos cr´ıticos (x1?, x2?, . . . , x5?) es entonces analizada estudiando el sistema din´amico linealizado que se obtiene al considerar la serie de Taylor de primer orden del sistema

7_{Una sequencia heterocl´ınica finita (ver por ejemplo la referencia [100], pp 104) es un conjunto de puntos cr´ıticos}

E0, E1, . . . En, dondeE0 es una fuente local, En es un atractor local y el resto son puntos de ensilladura, tales que

SISTEMAS DIN ´AMICOS EN COSMOLOG´IA 58 original en una vecindad de cada punto cr´ıtico. Luego, se ensayan soluciones de la aproximaci´on lineal en la forma

(x1, x2, . . . , x5) = (c1, c2, . . . , c5)eλt, (2.4.23)

y se encuentra que los exponentes caracter´ısticos λ y el vector constante (c1, c2, . . . , c5) deben ser

respectivamente un valor propio y un vector propio de la matriz:

A=            ∂x10 ∂x1 ∂x10 ∂x2 . . . ∂x10 ∂x5 ∂x20 ∂x1 ∂x20 ∂x2 . . . ∂x20 ∂x5 .. . ... . . . ... ∂x50 ∂x1 ∂x50 ∂x2 . . . ∂x50 ∂x5            (x1_,x2_,...,x5_)=(x1?_,x2?_,...,x5?₎ . (2.4.24)

El car´acter de los puntos cr´ıticos depende de los valores de los exponentes caracter´ısticos como sigue: si la parte real de todos los exponentes caracter´ısticos es negativa, el punto fijo es asint´oticamente estable, o sea, un atractor. Por otra parte, es suficiente que (al menos) un exponente caracter´ıstico tenga parte real positiva para que el punto cr´ıtico sea inestable: siendo un repulsor si todas las partes reales son positivas; en cambio, si al menos uno de estos exponentes tiene parte real negativa, ser´a un punto de ensilladura (silla), en cuyo caso existe, aparte de la variedad inestable, una variedad estable conteniendo las ´orbitas excepcionales que convergen al punto. Adicionalmente, cuando uno de los exponentes es nulo el punto es no hiperb´olico y por tanto la estabilidad estructural no puede garantizarse (la forma geom´etrica de las ´orbitas puede cambiar bajo perturbaciones peque Nas). Luego, el caso en el cual la mayor parte real es precisamente cero debe ser analizado usando otros m´etodos. En este caso el an´alisis lineal no es concluyente (el teorema de Hartman-Grobman no se aplica). En el caso de que el sistema din´amico bajo estudio sea 3-dimensional, la forma geom´etrica de las ´orbitas cerca de los puntos cr´ıticos est´a determinada por la parte imaginaria de los (tres) exponentes caracter´ısticos. Si los tres son reales (partes imaginarias nulas) el punto cr´ıtico es un nodo. Un par de exponentes conjugados conducen, salvo en los casos degenerados, a un centro espiral, un foco o una silla espiral (las ´orbitas son h´elices en las cercan´ıas del punto cr´ıtico). El primero de los casos ocurre cuando las partes reales de los exponentes complejos se anulan, mientras que el segundo y tercer caso ocurren si el signo del exponente real y la parte real de los exponentes complejos son respectivamente iguales o diferentes.

SISTEMAS DIN ´AMICOS EN COSMOLOG´IA 59 en que casos es una fuente o un atractor local, podemos proceder a intentar obtener informaci´on de los atractores globales del sistema (cuestion que no es siempre posible).

Si los experimentos num´ericos sugieren que no existen ´orbitas peri´odicas, se procede a intentar deter- minar una funci´on mon´otona definida en el interior del espacio de fase que pruebe la no existencia de puntos cr´ıticos (los cuales se localizan generalmente en la frontera del espacio de fase), ´orbitas peri´odicas, recurrentes u homocl´ınicas, por lo que la din´amica estar´a dominada por puntos cr´ıticos en la frontera y posible ´orbitas heterocl´ınicas conect´andolos. Entonces uno puede construir un esbozo del espacio de fase consistente de las ´orbitas que forman la frontera y las ´orbitas heterocl´ınicas uniendo los puntos silla. As´ı tambi´en, es posible obtener resultados globales a partir del an´alisis local de puntos cr´ıticos.

En los siguientes cap´ıtulos aplicaremos esta metodolog´ıa para el estudio del espacio de estados de las cosmolog´ıas quintasma.

Cap´ıtulo 3

Cosmolog´ıa quintasma: potenciales

exponenciales

En este cap´ıtulo investigamos cuatro sistemas din´amicos describiendo: i) la din´amica de los modelos cosmol´ogicos Friedmann-Roberson Walker (FRW) con curvatura negativa que se expanden por siempre provistos de fluido perfecto con ecuaci´on de estado p = (γ ₋1)ρ, 1 _≤ γ _≤ 2 y campo de energ´ıa quintasma con potencial exponencial; ii) la din´amica de los modelos cosmol´ogicos FRW con curvatura negativa en contracci´on con igual contenido de materia; iii) la din´amica de los modelos cosmol´ogicos FRW planos en expansi´on, provistos de fluido perfecto con ecuaci´on de estadop= 0 (polvo) y campo de energ´ıa quintasma con potencial exponencial; y iv) la din´amica de los modelos cosmol´ogicos Friedmann- Roberson Walker (FRW) con curvatura positiva provistos de fluido perfecto con parametrizaci´on de la ecuaci´on de estadop= (γ₋1)ρ, 2_{3 ≤}γ _≤2 y campo de energ´ıa quintasma con potencial exponencial. El cap´ıtulo est´a organizado como sigue: en la secci´on 3.1, ofrecemos los detalles del modelo cosmol´ogico objeto de estudio. En la secci´on 3.2, investigamos los sistemas din´amicos i) y ii). En 3.3, investigamos el sistema iii). En 3.4, investigamos el sistema iv). Ofrecemos conclusiones parciales en la secci´on 3.5.

3.1

El modelo f´ısico

Las cosmolog´ıas quintasma con materia pueden obtenerse formalmente de una teor´ıa de campo con dos campos escalares con acci´on:

S = Z d4x√−g ½ R 2 − 1 2(∇φ) 2₊1 2(∇ϕ) 2_−V eff ¾ +Sm, (3.1.1)

dondeSm denota la acci´on para la materia ordinaria (en nuestro modelo, un fluido perfecto com´ovil). Como en [17] consideraremos un potencial efectivo de dos campos

Veff=V0e−

√

6(mφ+nϕ)_{, (3.1.2)}

COSMOLOG´IA QUINTASMA: POTENCIALES EXPONENCIALES 61 donde el campo escalar φ representa la quintaesencia y ϕ denota el campo fantasma (recordemos que la energ´ıa quintasma la estamos modelando como un h´ıbrido entre un campo de quintaesencia y un campo fantasma los cu´ales intereact´uan a trav´es de su potencial efectivo). Por simplicidad, asumiremos que m >0 y n >0.

Consideraremos la geometr´ıa dada por el elemento de l´ınea de Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker (FLRW): ds2 =₋dt2+a2(t) µ dx2 1−kx2 +x 2¡ dϑ2+ sin2ϑ dϕ2¢ ¶ , (3.1.3)

donde k= 1,0,−1,identifica los tres tipos de universos FRW: cerrado, plano, y abierto, respectiva- mente.

Las ecuaciones de campo para el elemento de l´ınea (3.1.3), son

H2₋1₆³φ˙2₋ϕ˙2´₋ 1₃Veff−1₃ρ=−_ak2, (3.1.4) ˙ H=−H2−1 3 ³ ˙ φ2−ϕ˙2´+1₃Veff−1₆(3γ−2)ρ, (3.1.5) ˙ ρ=−3γHρ, (3.1.6) ¨ φ+ 3Hφ˙−√6mVeff= 0, (3.1.7) ¨ ϕ+ 3Hϕ˙+√6nVeff= 0, (3.1.8)

dondeH= a_a˙(₍t_t)₎ denota el escalar de expansi´on de Hubble. El punto denota derivada con respecto a la coordenada temporalt.El ´ındice barotr´opico de la materia de fondo est´a se denota por γ,y se asume que toma valores en el intervalo 0≤γ ≤2.

3.1.1 ¿Es el signo del factor de Hubble invariante?

Antes de proceder a la siguiente secci´on, comentaremos sobre algunos algunas consecuencias de la estructura de las ecuaciones (3.1.4-3.1.8). Primero, de la ecuaci´on (3.1.4), y del requerimiento de no negatividad de las densidades de energ´ıa del campo quintasma y de la MO (o sea, de 1₂³φ˙2−ϕ˙2´+

Veff ≥0 y ρ ≥0), se deduce que H2 ≥ −k/a2.Esta ´ultima desigualdad implica que H no puede ser

cero para modelos con curvatura negativa (y para valores finitos dea). En cambio, para modelos con curvatura no negativa esta posibilidad puede ocurrir. Consideremos por un momento el caso plano. La pregunta que surge es: ¿esH = 0 un conjunto invariante de semiflujo positivo (o sea, el flujo para

t_≥0) del sistema de EDOs de primer orden que se obtiene del sistema (3.1.4-3.1.8), en el espacio de fase Σ =n(H, φ, ϕ,φ,˙ ϕ, ρ˙ ) : 3H2 ₌ 1 2 ³ ˙ φ2_−ϕ˙2´_+V eff+ρ o ?

COSMOLOG´IA QUINTASMA: POTENCIALES EXPONENCIALES 62 Observar que, si eventualmente H = 0, entonces, de la ecuaci´on (3.1.4) sigue que ρ = 0 y V =

−12( ˙φ2−ϕ˙2),eventualmente. Evaluando el miembro derecho de (3.1.5) hallamos que, eventualmente,

˙

H_|H=0=−1₂( ˙φ2−ϕ˙2) =V ≥0.

Esto implica que la subvariedad H = 0 de Σ es invariante solo si ρ = 0, V = ₋₂1( ˙φ2 _−ϕ˙2_{) = 0}

inicialmente. Esto corresponde a la soluci´on de vac´ıo est´atica de Einstein, la cual no es de interes en este estudio. En cambio, siV =₋1₂( ˙φ2_−ϕ˙2_{)>0,inicialmente, entonces, la subvariedadH = 0 act´ua}

como una membrana ( ˙H|H=0 >0). En este caso, las ´orbitas en Σ pueden cruzar el valorH = 0.