GENERAL INSTRUCTIONS :

El objetivo de esta prueba es mostrar en qué regiones de la identificación de un sistema de segundo orden no lineal es posible obtener un control por planta inversa. El sistema de segundo orden no lineal se define por el siguiente conjunto de ecuaciones:

3 3

''( )

2 ( ) 1.5 '( )

( )

( )

( )

x t

u t

x t

x t

y t

x t

=

−

−

=

donde y(t) es la salida del sistema y en este caso corresponde a la variable de estado x(t). La no linealidad se presenta por el valor de 1.5x’(t)3. Al ser un sistema de segundo orden,

el vector de estados está formado por dos componentes las cuales son X(t)=[x(t), x’(t)]T_.

En este caso se hace la identificación para la segunda componente (x(t)’), por tanto para obtener la función interpoladora las variables independientes o antecedentes son u(t), x(t) y x’(t), la variable a interpolar o consecuente es x’(t+∆t). El diagrama de simulación para obtener los datos de entrenamiento se muestran en la sección C.1.

La señal de entrada u(t) que se elija debe distribuir lo mejor posible a los datos de entrenamiento en el espacio de trabajo [Castillo, 1999], por lo que en esta prueba dicha señal consiste en una combinación entre una señal escalón y un diente de sierra de amplitud 2 modulada en amplitud por una señal senoidal de amplitud ±0.5 con frecuencia de 0.8 rad/s; a la señal modulada se le suma el producto entre señal de ruido aleatorio y una rampa cuya pendiente es 0.02. La señal resultante se muestra en la figura 4.19.

Fig. 4.19. Señal de entrada aplicada al sistema de segundo orden no lineal, para generar los datos de entrenamiento.

La señal de entrada se aplicó durante 90 segundos (s), el tiempo de muestreo fue de 0.2 s obteniéndose un total de 451 datos. En la etapa de entrenamiento el número de conjuntos difusos fue de 3 para cada antecedente, para sintonizar sus bases y centros se modificaron los parámetros preestablecidos a los siguientes valores Ka=0.593, Kb=0.75,

Kw=3 y el peso inicial de las reglas mantiene su valor es decir wini=0.5. La sintonización se

llevó a cabo en 3000 épocas obteniendo los siguientes errores: EC=0.22799, error promedio=0.02423.

Una vez obtenido el sistema difuso que modela a la función interpoladora se obtienen las regiones con posibilidad de inversión a partir del estado X(t)=[-1, -1.6]T_{, las regiones que}

no tienen posibilidad de inversión por ser multivaluadas proporcionadas por la aplicación son las siguientes:

Entrada: [-2.6276000000, 0.3034153384]

Estado siguiente: [-1.0294139037, -0.9224743067]

Entrada: [0.3073895965, 0.5518064688]

En la figura 4.20 se observa que las regiones sin posibilidad de inversión fueron detectadas de forma correcta.

Fig. 4.20. Regiones multivaluadas (puntos rojos), regiones no multivaluadas (puntos azules) de un sistema dinámico de segundo orden no lineal.

Para la prueba del método de búsqueda de una solución cuando la función es multivaluada se supone un valor de entrada anterior igual a -0.7 y se desea transitar a un valor de estado siguiente igual a -0.95 a partir de X(t)=[-1, -1.6]T_.

Los resultados de la aplicación son los siguientes:

Ingrese el valor de la entrada que lo llevó al estado actual: -0.7 Ingrese el valor del estado siguiente: -0.95

Entradas para transitar a la componente del estado siguiente -0.95000000: -1.9024220949

0.4911990330

La entrada más cercana a la anterior es: 0.4911990330

De las dos entradas con las que se es posible transitar al estado deseado se observa que 0.4911990330 es la más cercana a -0.7 por lo que el resultado es correcto.

4.6. Discusión

En este capítulo se describieron y evaluaron los métodos que se diseñaron para cubrir los objetivos del análisis multidimensional. Para obtener el conteo de puntos en el método de detección de regiones sobre-muestreadas o desprovistas de datos se hacen múltiples conversiones: del punto p a la tupla de divisiones (divPunto1, divPunto2, …, divPuntoN), de

la tupla de divisiones al número de región r, para mostrar el resultado se hace la conversión inversa a partir de r. El objetivo de estas conversiones es generalizar el método para N dimensiones. En las pruebas que se hicieron para conjuntos de datos de dos y cuatro dimensiones se concluye que la cuenta de puntos es correcta para todas las regiones, con lo cual es posible detectar regiones sobre-muestreadas o desprovistas de datos.

El método de clasificación de regiones por posibilidad de inversión se basa en la idea la cual se formalizó en la sección 4.3 de que los datos en los cuales a partir de un estado actual se puede transitar a un estado siguiente con dos o más entradas distintas no tiene posibilidad de inversión, es decir no es posible obtener un controlador por planta inversa. En el caso de funciones algebraicas de dos dimensiones se conoce con precisión cuáles son las regiones multivaluadas y no multivaluadas por los que al compararlos con el resultado del método propuesto se observa que existe poca diferencia la cual se debe al error de interpolación. En el caso de la prueba de datos provenientes de la identificación de un sistema dinámico la precisión de la detección de las regiones multivaluadas se evalúa de forma visual.

El método de búsqueda de una solución cuando la región es multivaluada parte de los resultados del método de clasificación de regiones por posibilidad de inversión, el resultado que reporta este método es la entrada más cercana a la entrada anterior que haga transitar al sistema dinámico al estado que se desea, en las pruebas se observa que este criterio se aplica de manera correcta. Aunque la convención que se use para elegir la entrada más adecuada depende del problema, se reportan todas las entradas posibles para una mejor elección.