Comma operator ( , )
2. switch Statement : This is multi-branching statement Syntax of this statement is as follows:
Un sistema es una relación entre entradas y salidas [Canales, 1980]. Si representamos a las entradas como u y la salida como y, un sistema podría denotarse matemáticamente por la relación [Canales, 1980]:
]
[u
S
y=
(3.20)La cual se muestra de forma gráfica en la figura 3.2.
Fig. 3.2. Relación entrada-salida.
y
u
S
Dentro de la clasificación de sistemas, se dice que un sistema es causal si su salida en un instante dado no depende del valor de la entrada en instantes posteriores y es determinístico si a una entrada le corresponde una y sólo una salida [Ogata, 1993]. Los sistemas dinámicos son sistemas que son a la vez causales y determinísticos cuya evolución en el tiempo a partir de un estado inicial se determina por un conjunto de reglas [Canales, 1980][Gröller, 1999].
En este trabajo en las pruebas se utilizaron datos provenientes de sistemas dinámicos lineales y no lineales. Un sistema dinámico es lineal si cumple el principio de superposición [Canales, 1980], dicho principio cumple dos propiedades: aditividad y homogeneidad [Chen, 1990]. La propiedad de aditividad establece que la respuesta de un sistema provocado por dos o más entradas independientes es igual a la suma de las respuestas producidas por cada entrada de forma independiente. La homogeneidad determina que si todas las entradas de un sistema son multiplicadas por una constante, la respuesta será multiplicada por la misma constante.
En esta investigación se experimentó también con un sistema caótico (sección 6.1.1.3). El caos se refiere a un fenómeno inusual que es desordenado e irregular [Chen, 1998]. En física el caos es un comportamiento moderadamente aleatorio que a diferencia de un comportamiento aleatorio completo contiene patrones complejos, la mayoría desconocidos [AAE, 1986].
Los sistemas caóticos son sistemas dinámicos que tienen las siguientes características:
• Sensibilidad extrema a cambios en las condiciones iniciales. En este contexto el término condición inicial se entiende como la condición que tiene el sistema cuando se introduce un disturbio o un error en un tiempo que podría ser diferente de cero [Chen, 1998]. Acerca de esta característica Poincaré establece que pequeñas diferencias en la condiciones iniciales de un sistema producen grandes cambios al final del fenómeno, un pequeño error “anterior” producirá un enorme error “posterior” [Crutchfield, 1986].
• Presentan una gran variedad de oscilaciones cuasiperiódicas. Se entiende por oscilación cuasiperiódica a una mezcla de oscilaciones periódicas que tienen distintas frecuencias fundamentales [Ott, 1993].
El estado de un sistema dinámico es el conjunto más pequeño de variables internas tales que el conocimiento de tales variables en el tiempo inicial t=t0, conjuntamente con el
conocimiento de la entrada para tiempos futuros, determinan completamente el comportamiento del sistema en cualquier tiempo posterior [Ogata, 1993]. Por tanto el estado X(t) de un sistema dinámico es un vector cuyas componentes son las distintas variables de estado xn(t), es decir X(t)=[x1(t), x2(t), …, xn(t)]T donde la T significa
transposición.
El orden de un sistema dinámico es igual al número de variables de estado que determinan su comportamiento, por ejemplo si un sistema dinámico es descrito por dos variables de estado este sistema es de segundo orden.
Para el estudio de sistemas dinámicos en este trabajo se aproximó la Función de Transición de Estados (FTE), la cual es una función
Φ
que relaciona el estado de un sistema en un instante con el estado del sistema en otro posterior cuando se le aplica unsegmento de entrada entre estos dos tiempos. Dicha función tiene como argumentos el tiempo inicial t0, el tiempo final t1, el estado inicial X(t0), la entrada u en el rango [t0, t1]
representada por u[t0, t1]. La expresión para determinar el estado siguiente X(t1) se
muestra a continuación [Canales, 1980]:
1 1 0 0 1 0
( )
( ,
( ), [ , ], )
X t
= Φ
t X t
u t t
t
(3.21) La ventaja de esta descripción es que es posible determinar la salida del sistema en cualquier instante, si se conoce el estado en que se encuentra y el segmento de entrada que se aplicará a partir de entonces [Canales, 1980].En esta investigación los datos para obtener funciones interpoladoras provienen de sistemas dinámicos invariantes en el tiempo, es decir su salida es independiente del tiempo en el que se aplica la entrada [Ogata, 1993]. En este tipo de sistemas, si la adquisición de datos se hace mediante muestreo periódico y el tiempo de muestreo es ∆t, es posible reescribir la FTE como [Cholula, 2005] [Jiménez, 2005]:
(
)
( ( ), [ ,
])
X t+ Δ = Φt
X t u t t+ Δt
(3.22)En este trabajo se obtuvieron funciones interpoladoras para identificar y controlar sistemas dinámicos utilizando la estructura de la FTE.
3.2.1. Identificación
La identificación de sistemas dinámicos consiste en estimar el valor de ciertos parámetros desconocidos de un dispositivo denominado planta, basándose en el conocimiento de sus entradas y salidas [Canales, 1980]. Una planta es cualquier objeto físico que deba controlarse o identificarse [Ogata, 1993].
En muchos casos la identificación se logra obteniendo un modelo matemático basándonos en la dinámica del sistema, pero existen casos en lo que esto no es posible, por lo que se hace uso de métodos de inteligencia artificial como la lógica difusa y las redes neuronales artificiales [Castillo, 1999].
El primer paso que sigue para obtener la función interpoladora que identifique a un sistema dinámico es contar con una planta P, a ésta se le aplica una señal de entrada u, enseguida realizar el muestreo de los valores de entrada y salida de la planta durante un intervalo de tiempo t, para obtener los datos de entrenamiento. Las variables muestreadas que se tomarán como antecedentes y consecuentes para un sistema dinámico de orden n que sigan la estructura de la FTE (ecuación (3.22)) se muestran en la figura 3.3.
Fig. 3.3. Selección de variables a considerar para la identificación de un sistema de orden n.
Los datos de entrenamiento tienen la siguiente estructura (x1, x2, …, xn, yr), donde los
valores xi contienen los valores de los antecedentes y yr representa la salida deseada o
consecuente.
3.2.2. Control
Uno de los procesos principales en teoría de sistemas, consiste en el control de sistemas dinámicos. El problema de control tipo regulación consiste en mantener la planta en un estado prefijado [Canales, 1980]. Un buen sistema de control debe seguir estrechamente las señales de referencia (estado prefijado), pero no debe ser sensible a perturbaciones o variaciones de parámetros externos [Ogata, 1993]. Una perturbación es una señal que tiende a afectar adversamente el valor de salida de un sistema [Ogata, 1993].
La forma convencional de obtener un controlador lleva consigo una gran cantidad de planteamientos y cálculos matemáticos, en muchos casos resultan controladores que aproximan burdamente el modelo de la planta [Castillo, 1999]. Los métodos basados en inteligencia artificial como las redes neuronales y la lógica difusa presentan características adecuadas a este tipo de problemas, debido a su capacidad de construcción y su capacidad de generalización.
Para obtener una función interpoladora que modele el comportamiento del controlador de una planta mediante SGD se utilizó el modelo de planta inversa. Lo que explica el concepto de inversión es que al invertir la relación entre entrada y salida permite determinar que acción es necesaria en la entrada para obtener el comportamiento de salida deseado [Cholula, 2005].
En el modelo de planta inversa con los datos de entrenamiento de la planta P se obtiene una función interpoladora que realice una identificación inversa P-1 de la dinámica de la
planta P a controlar, enseguida se conectan en cascada colocando primero P-1 y
conectando su salida a la entrada de P como se muestra en la figura 3.4, si se obtuvo una
. : x1(t+∆t) xn(t+∆t) u(t) x1(t) x2(t) . : xn(t) . : . : u(t) x1(t) x2. (t) : xn(t)
identificación inversa ideal al aplicar como entrada a P-1 una señal de referencia ref,
resultaría y=ref.
Fig. 3.4. Control utilizando el modelo de planta inversa.
El diagrama de la figura 3.4. se encuentra en lazo abierto, es decir la salida y no se mide ni se retroalimenta para compararla con la entrada ref, la desventaja de esta configuración es que la salida del sistema es muy sensible a perturbaciones, por lo en este trabajo se utilizó la configuración de lazo cerrado para evitar estos inconvenientes.
La selección de variables para obtener los datos de entrenamiento de la función interpoladora que realice la identificación inversa de una planta de orden n se muestra en la figura 3.5.
Fig. 3.5. Selección de variables durante el control de una planta de orden n.
La configuración del diagrama de selección de variables para control se puede interpretar como “encontrar la entrada u(t) que haga transitar a la componente del estado siguiente
xk(t+∆t) a partir del estado actual X(t)”. La componente del estado siguiente xk(t+∆t) es la
señal de referencia que el controlador debe seguir.