La teoría de juegos es un área de la matemática aplicada que utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados juegos) y llevar a cabo
22
procesos de decisión. Sus investigadores estudian las estrategias óptimas así como el comportamiento previsto y observado de individuos en juegos. Tipos de interacción aparentemente distintos pueden, en realidad, presentar estructuras de incentivos similares y, por lo tanto, representar conjuntamente un mismo juego.
Ya son muchos los que reconocen que la teoría de juegos es crucial para entender el moderno mundo de los negocios, por lo que hoy en día existen una gran variedad de libros o manuales sobre fundamentos y aplicación de esta teoría, con distinto nivel de profundidad y con diversas orientaciones. Algunos de ellos (Myerson, 1991; Gibbons, 1992; Funderberg y Tirole, 1991; Obborne y Rubinstein, 1994; Redondo, 2000; y Kreps, 1994) son obras excepcionales, tanto en su rango de cobertura como en claridad expositiva6.
Esta teoría se concentra en encontrar las estrategias adecuadas y tomar las decisiones adecuadas. Por lo que ésta es particularmente eficaz cuando hay muchos factores interdependientes y no se puede tomar una decisión independiente de muchas otras decisiones. Hoy los negocios se llevan a cabo en un mundo de aturdidora complejidad, cuyo dinamismo requiere respuestas rápidas, estratégicamente informadas.
Un juego está constituido por: i) un conjunto de jugadores.
ii) un conjunto de estratégicas posibles para cada jugador.
iii) un conjunto de funciones de utilidad también para cada jugador (beneficios), y iv) un conjunto de reglas (quien puede hacer qué y cuándo).
Hay dos formas comunes de representar a los juegos: Forma normal y Forma extensiva. La solución o equilibrio de un juego es el conjunto de estrategias, una para cada jugador, que corresponda a lo que es previsible que cada agente racional escoja. El concepto de solución más aplicado es el equilibrio de Nash o equilibrio estratégico: un vector de estrategias (una estrategia para cada jugador) constituye un equilibrio de Nash si ningún jugador puede mejorar (en sentido estricto) su utilidad a través de un cambio unilateral de estrategia.
6 Vale la pena destacar el famoso libro de Michael Porter (1982) “ Competitive Strategy”, que aprovecha la enseñanza de la teoría de juegos para
la estrategia de los negocios. Este texto es de fácil lectura dado que no hace uso exhaustivo de las matemáticas permitiendo el desarrollo de la intuición y provocar que alguien que no sea experto en teoría de juegos aproveche el potencial de esta herramienta en la estructura del sector industrial o de negocio; así como la estructura de la competencia
23
2.5. 1. Forma normal de un juego
La forma normal (o forma estratégica) de un juego es una matriz que muestra los jugadores, las estrategias, y los beneficios de un juego con dos jugadores (figura 2.2). Hay dos tipos de jugadores; uno elige la fila y otro la columna. Cada jugador tiene dos estrategias, que están especificadas por el número de filas y el número de columnas. Los beneficios se especifican en el interior. El primer número es el beneficio recibido por el jugador de las filas (el Jugador 1 en nuestro ejemplo); el segundo es el beneficio del jugador de las columnas (el Jugador 2 en nuestro ejemplo). Si el jugador 1 elige arriba y el jugador 2 elige izquierda entonces sus beneficios son 4 y 3, respectivamente.
Figura 2. 2. Juego en Forma Estratégica Jugador 2
elige izquierda elige derecha Jugador 2 Jugador 1
elige arriba 4 , 3 -1 , -1 Jugador 1
elige abajo 0 , 0 3 , 4
Cuando un juego se presenta en forma normal, se presupone que todos los jugadores actúan simultáneamente o, al menos, sin saber la elección que toma el otro. Si los jugadores tienen alguna información acerca de las elecciones de otros jugadores el juego se presenta habitualmente en la forma extensiva.
2.5.2. Forma extensiva de un juego
La representación de juegos en forma extensiva modela juegos con algún orden que se debe considerar. Los juegos se presentan como árboles (figura 2.3). Cada vértice o nodo representa un punto donde el jugador toma decisiones. El jugador se especifica por un número situado junto al vértice. Las líneas que parten del vértice representan acciones posibles para el jugador. Los beneficios se especifican en las terminaciones de las ramas del árbol.
24
En el juego que se muestra en la figura 2.3 hay dos jugadores. El jugador 1 mueve primero y elige “a” o “b”. El jugador 2 ve el movimiento del jugador 1 y elige “c” o “d”. Si el jugador 1 elige “a” y entonces el jugador 2 elige “c”, entonces el jugador 1 obtiene 5 y el jugador 2 obtiene 5.
Los juegos en forma extensiva pueden modelar también juegos de movimientos simultáneos. En esos casos se dibuja una línea punteada o un círculo alrededor de dos vértices diferentes para representarlos como parte del mismo conjunto de información (por ejemplo, cuando los jugadores no saben en qué punto se encuentran).
Figura 2. 3. Juego en Forma Extensiva
2.5.3. Juegos simétricos y asimétricos
Un juego simétrico es un juego en el que las recompensas por jugar una estrategia en particular dependen sólo de las estrategias que empleen los otros jugadores y no de quién las juegue. Si las identidades de los jugadores pueden cambiarse sin que cambien las recompensas de las estrategias, entonces el juego es simétrico. Muchos de los juegos 2×2 más estudiados son simétricos. Los juegos asimétricos más estudiados son los juegos donde no hay conjuntos de estrategias idénticas para ambos jugadores
2.5.4. Juegos de suma cero y de suma no cero
En los juegos de suma cero el beneficio total para todos los jugadores del juego, en cada combinación de estrategias, siempre suma cero; en otras palabras, es la situación en la que la ganancia o pérdida de un participante se equilibra con exactitud con las pérdidas o ganancias de los otros participantes.
1 2 2 a b d c c d 5 , 5 0 , 0 5 , 5 5 , 5
25
2.5.5. Juegos cooperativos
Un juego cooperativo es un juego en el cual dos o más jugadores no compiten, sino más bien se esfuerzan por conseguir el mismo objetivo y por lo tanto ganan o pierden como un grupo. En otras palabras, es un juego donde grupos de jugadores (coaliciones) pueden tomar comportamientos cooperativos, pues el juego es una competición entre coaliciones de jugadores más que entre jugadores individuales. Es como un juego de coordinación, donde los jugadores escogen las estrategias por un proceso de toma de decisiones consensuada.
2.5.6. Juegos Simultáneos y secuenciales
Los juegos simultáneos son juegos en los que los jugadores mueven simultáneamente o en los que éstos desconocen los movimientos anteriores de otros jugadores. Los juegos secuenciales (o dinámicos) son juegos en los que los jugadores posteriores tienen algún conocimiento de las acciones previas. Este conocimiento no necesariamente tiene que ser perfecto; sólo debe consistir en algo de información. Por ejemplo, un jugador1 puede conocer que un jugador2 no realizó una acción determinada, pero no saber cuál de las otras acciones disponibles eligió.
La diferencia entre juegos simultáneos y secuenciales se recoge en las representaciones discutidas previamente. La forma normal se usa para representar juegos simultáneos, y la extensiva para representar juegos secuenciales.
2.5.7. Juegos de información perfecta
Un subconjunto importante de los juegos secuenciales es el conjunto de los juegos de información perfecta. Un juego es de información perfecta si todos los jugadores conocen los movimientos que han efectuado previamente todos los otros jugadores; así que sólo los juegos secuenciales pueden ser juegos de información perfecta, pues en los juegos simultáneos no todos los jugadores (a menudo ninguno) conocen las acciones del resto. La información perfecta se confunde a menudo con la información completa, que es un concepto similar. La información completa requiere que cada jugador conozca las estrategias y recompensas del resto pero no necesariamente las acciones.
26
2.5.8. Juegos de longitud infinita (SuperJuegos)
Por razones obvias, los juegos estudiados por los economistas y los juegos del mundo real finalizan generalmente tras un número finito de movimientos. Los juegos matemáticos puros no tienen estas restricciones y la teoría de conjuntos estudia juegos de infinitos movimientos, donde el ganador no se conoce hasta que todos los movimientos se conozcan.
El interés en dicha situación no suele ser decidir cuál es la mejor manera de jugar a un juego, sino simplemente qué jugador tiene una estrategia ganadora (se puede probar, usando el axioma de elección, que hay juegos —incluso de información perfecta, y donde las únicas recompensas son "perder" y "ganar"— para los que ningún jugador tiene una estrategia ganadora.) La existencia de tales estrategias tiene consecuencias importantes en la teoría descriptiva de conjuntos.