Al menos en occidente, es reconocido que la imagen social de las matemáticas va entrañablemente relacionada con la deducción y el rigor24; autores como HANNA (1997), destacan que un grupo cada vez más significativo de matemáticos, se encuentran seriamente interesados en procesos relacionados con la exploración y la experimentación, como caminos para construir e incluso validar saberes matemáticos.
A este tipo de corrientes devenidas de la propia filosofía de las matemáticas25, se le conoce con el nombre de matemáticas experimentales, y abordan principalmente, las relaciones entre procesos de construcción de nuevos saberes, o progreso en matemáticas y prueba o demostraciones.
Este tipo de acercamientos, alimentados potencialmente, por los resultados obtenidos a partir del uso de computadores en el desarrollo de demostraciones y el surgimiento de una matemáticas “semirrigurosas”, plantean la necesidad de discutir la naturaleza de las matemáticas experimentales, máxime cuando integran una componente computacional.
Tal discusión ha llevado a reconocer por ejemplo, que en terrenos de la práctica matemática, los matemáticos estén cada vez más dedicados a la experimentación, con el propósito de formular y probar conjeturas, por tanto, siendo la tecnología computacional, una fuente reconocida para la investigación,
24 MORENO (2002).
los resultados experimentales con el uso de computadoras son cada vez mas y de mayor importancia.
La práctica matemática puede entenderse como el conjunto de acuerdos implícitos y explícitos, técnicas, mecanismos de validación y “maneras de hacer”, conocidas y aceptadas en una comunidad, para legitimar la validez de algún hecho matemático.
Lo anterior se resume en la premisa de que si algo es aceptado por la comunidad, ya puede ser usado. Se afirma, por ejemplo, que muchas cosas en matemáticas primero se hacen y luego, tiempo después, se validan formalmente. Según THURSTON26 (1994):
“… usted no necesariamente tendrá que leer todos los artículos o libros que estén en su bibliografía. Muchas de las cosas que generalmente se conocen son cosas para las cuales puede no haber una fuente conocida escrita. Mientras que la gente en el campo de las matemáticas esté contenta de que la idea funcione, no necesita tener una fuente formal escrita.”
Una práctica como la demostración es aceptada por una comunidad matemática, la cual al validarla, la hace parte del saber cultural, del saber matemático. El conocimiento y la comprensión matemática, están embebidos en las mentes y en la obra social de la comunidad de personas que piensan en un tema en particular.
Se puede entender que las matemáticas no evolucionan por el simple pasar del tiempo, o porque sean parte de una cotidianidad; evolucionan por las comunidades matemáticas y su interacción, es decir, son las comunidades de personas las que hacen las matemáticas y hablar de comunidades es hablar de una sociedad.
En todas las disciplinas científicas ocurre lo mismo, hay una comunidad científica que valida unas formas, unos métodos de hacer; que también pueden evolucionar, por ejemplo, con la aparición de investigaciones en matemáticas realizadas con el uso intensivo de computadores.
De esta manera, THURSTON (1994) plantea una idea trascendental: las matemáticas que se manejan en un computador (aplicadas en tecnologías), o también llamadas “experimentales”, no son menos complejas que las matemáticas “deductivas”, al contrario, son igual de válidas.
26 Todas las citaciones a este texto corresponden a una traducción libre de Marisol Santacruz en junio de 2009.
Esta premisa sustentaría entonces, un planteamiento epistemológico que permita dar cuenta del papel que juega la experimentación en la actividad matemática, particularmente en aquella que integra instrumentos computacionales.
El surgimiento de las matemáticas experimentales, se constituye entonces en un hito importante a considerar en el desarrollo mismo de las matemáticas, y esta situación no ha sido ajena a las investigaciones en el campo de la didáctica de las matemáticas, sobre todo en lo relacionado con la geometría, donde desde hace décadas el trabajo con micromundos o AGD, viene ganando cada vez más una mayor vigencia.
Como lo plantea ACOSTA (2005), aunque es reconocido el potencial didáctico de Cabri Géomètre, los profesores tienen serias dificultades en el momento de diseñar y gestionar sus clases haciendo uso de este AGD.
Esta situación puede deberse a múltiples causas, en las que se destaca la falta de una práctica de referencia, sin embargo, se propone el enfoque de geometría experimental, como un elemento articulador de nuevas prácticas que integran AGD.
En esta perspectiva, se destaca que se pueden producir conjeturas, a partir de un trabajo de experimentación regulado por el control teórico del arrastre. Se puede decir, que la geometría experimental, se diferencia de la geometría “formal” sin estar en oposición a ella.
Al respecto, ACOSTA (2005) plantea que:
“La geometría dinámica experimental puede definirse como una práctica geométrica que privilegia la observación y manipulación de los objetos geométricos en la pantalla de la computadora, con la intención de emitir conjeturas sobre las propiedades geométricas de dichos objetos, conjeturas que se ponen a prueba mediante el arrastre, la medición y la construcción de objetos auxiliares”.
Se entiende que el arrastre ejerce sobre el sujeto un control teórico referido a la posibilidad de deformar de manera continua una figura, la cual actúa en virtud a sus propias propiedades de construcción. Ahora bien, la incorporación de la geometría dinámica experimental en la actividad matemática, genera cierto desasosiego en el profesorado, pues según el autor:
“...la geometría dinámica constituye un nuevo sistema de representación de los objetos geométricos que utilizan nuevos objetos ostensivos, los dibujos computarizados, que se diferencian de los dibujos sobre el papel, precisamente por su dinamismo...”27
27 Ibíd.
Se entiende que con la utilización de “nuevos objetos ostensivos”, surgen posibles interrogantes, que pueden llegar a brindar referentes para pensar el papel de la geometría dinámica experimental en clases de matemáticas:
“¿Cuáles son las consecuencias matemáticas de la utilización de estos nuevos objetos ostensivos?, o ¿Qué técnicas matemáticas pueden emplear... éstos nuevos objetos dinámicos, y qué tecnologías utilizar para justificar y explicar éste empleo?”28
Por su parte, HANNA (1997) reconoce concepciones acerca del papel de la experimentación en la geometría y, en general, en las matemáticas, cuando pone de relieve la relación entre matemáticas y la experimentación empírica, sobre todo en lo referido a procesos para formular y probar conjeturas, aunque existe conciencia en que estas no constituyen una demostración.
De esta manera plantea, respecto al lugar que tiene las matemáticas experimentales, mediadas por instrumentos informáticos, en la actividad profesional de los matemáticos:
“… varios matemáticos que sostienen que los métodos experimentales han adquirido una nueva respetabilidad. Ciertamente han recibido mayor atención y recursos como consecuencia del crecimiento de sectores orientados a lo gráfico como la teoría del caos y la dinámica no lineal. Como consecuencia un número cada vez mayor de matemáticos ha llegado a preciar la potencia de la computadora para comunicar conceptos matemáticos.”29
Se hace posible pensar que el uso de instrumentos informáticos, pueden constituirse en un aporte importante en el desarrollo de las matemáticas experimentales, pues brinda la oportunidad de recrear nuevas realidades y oportunidades de investigación a partir de experimentación y la exploración. Tal como afirma MORENO (2002):
“El enfoque experimental, como estrategia pedagógica, ha vuelto a ganar terreno. La disponibilidad de los instrumentos electrónicos de cálculo ha contribuido notablemente en ello… Esto corresponde al principio de mediación instrumental: las características centrales de una forma de conocimiento están en íntima relación con los instrumentos que sirven como mediadores en el proceso de construcción de este conocimiento.” Al respecto, matemáticos como THURSTON (1994) plantean que las necesidades de las matemáticas como disciplina y el surgimiento de una nueva corriente de
28 Ibíd.
matemáticos que trabajan desde una perspectiva experimental, frente a aspectos tan centrales como la demostración, la salida no es polarizar el problema entre aquellos declarados rigurosos y los “semi-rigurosos”.
Su propuesta se enriquece al plantear que el problema no se reduce a las necesidades del rigor, o de las condiciones de la actividad demostrativa, ni del avance que los matemáticos logran para las matemáticas, sino la manera en que los matemáticos hacen progresar la comprensión de las matemáticas.
Sin embargo, este tipo de propuesta no desvirtúa el papel central de la demostración en procesos tan importantes como la validación, pues al contrario, plantea que la demostración como actividad central de las matemáticas, es determinante en la importante labor de comunicar ideas matemáticas y generar procesos de comprensión.
De esta manera, las matemáticas experimentales, brindan un asiento epistemológico, al diseño de la secuencia didáctica propuesta en esta investigación. Las posibles relaciones entre matemáticas experimentales, geometría dinámica experimental y desarrollo de instrumentos en la clase de matemáticas, puede constituirse en un campo amplio y fructífero de reflexión para los profesores de matemáticas interesados en el diseño de secuencias didácticas en educación básica.