Key findings - CHAPTER FOUR: DISCUSSION - Reflections: An Investigation into Mothers’ Experienc

CHAPTER FOUR: DISCUSSION

4.1 Key findings

T = (1−R1)∗(1−R2) (1−√R1R2)

+ 4√R1R2Sen2(φ₂)

(51)

Dondeφ es el camino ´optico que recorre el campo entre los dos espejos. Para una longitud de onda λ un ´

angulo de incidencia de campoαynsiendo el ´ındice de refracci´on:

φ= 2d

cos(α)k= 4πnd

λcos(α) (52)

Normalmenteα= 0 yR1=R2, por lo tanto

T = (1−R)

(1−R)2+ 4RSen2(2πnd_λ ) (53) con un Rango Espectral Libre (FSR) definido por:

F SR= λ

2nd (54)

Para la cavidad Fabry-Perot en fibra, las FBGs de igual longitud (L) definen:

LF BG1=LF BG2 −→R1=R2 (55)

La distancia de separaci´on entre los dos espejos no es la suma de las longitudes f´ısicas, sino que viene dada bajo la consideraci´on:

Lef f < LF BG (56)

Es decir,Lef f es el lugar (longitud f´ısica) en el cual se producen las reflexiones de la luz y viene dado por[2]:

Lef f =LF BG

√

2atanh(√R) (57)

Por lo tanto la distancia efectiva entre los dos espejos es:

d=Lef f₁+Lef f₂+L= 2Lef f +L=L+LF BG

√

atan(√R) (58)

Para definir la función de transferencia de la cavidad Fabry-Perot en FBG, se debe tener en cuenta que éstas van a modular la función de transferencia de la cavidad con su función de transmisión. La expresión de la función de reflexión de la cavidad se puede aproximar por[17]:

RF P = 2 kLF BGSin ∆k(λ)LF BG 2π 2 (1 +Cos(φ)) (59) Con: Constante de acoplo de la FBG: k= π∆n1 λ (60)

Par´ametro que caracteriza el desajuste de laλcon λde Bragg: ∆k(λ) = 4πn ₁ λ− 1 λBragg (61) Desfase de rayos reflejados entre ambas FBGs:

φ=4πnLF P

Longitud de la cavidad:

LF P = 2Lef f +L (63)

Entonces, la funci´on de transmisi´on de la cavidad es:

TF P = 1−RF P (64)

Con su FSR definido por,

F SR= λ 2 2nd = λ2 2nLF P = λ 2 2n(2Lef f +L) (65)

9 Desarrollo de la aplicaci´on

En esta sección se podrán observar las funciones y el diseño implementado en MATLAB para la simulación de una cavidad Fabry-Perot en sensores ópticos basados en redes de difracción de Bragg. Además de una breve explicación de cada uno de los perfiles de apodización, junto con sus caracter´ısticas.

Los siguientes son los par´ametros necesarios para realizar la simulaci´on,

Par´ametro Valor por defecto

Apodizaci´on Regular

Ventana de graficaci´on (Spam) 5pmx10

Frecuencia central 1550nm

´Indice de refracci´on de la fibra (FBG) 1.45

Visibilidad marginal 1

Chirp 0

Longitud de las FBGs 100mm

Espectro a graficar T ransmision

Reflectividad máxima FBG1 0.95 Reflectividad máxima FBG2 0.95 Índice de refracción de la fibra (cavidad) 1.45 Longitud de la cavidad 10mm

Table 1: Par´ametros por defecto cavidad Fabry-Perot

9.1 Apodizaci´on

Siendo las FBGs de longitud finita, tienden a iniciar y terminar de manera abrupta; por lo tanto la trans- formada de fourier tiende a producir la función seno, con una estructura de lóbulos laterales asociados al espectro de reflexión. Por tal razón la aplicación de FBGs uniformes es limitada, ya que los picos laterales influyen significativamente.

Al usarse una rejilla con un perfil de amplitud de modulación se refracción similar, se reducen los lóbulos laterales sustancialmente, obteniéndose un filtro más selectivo con un ancho de bandas más ajustado. La supresión o disminución de los lóbulos laterales en el espectro de reflexión tiende a aumentar de manera gradual el coeficiente de acoplamiento con la penetración de la rejilla, as´ı mismo la disminución gradual en que sale de la rejilla, a este fenómeno se le cono comoApodización[23].

Los efectos de la apodización no solo se manifiestan en la supresión de los lóbulos laterales para dar suavidad al espectro de reflexión, que al mismo tiempo puede ofrecer un ancho de banda más ancho, sino también en la dispersión, la cual puede ser casi constante de segundo orden.

El perfil de apodización α(z) describe la envolvente de modulación del ´ındice de refracción a lo largo de la longitud de la rejilla, tal como 0≤α(z)≤1. Generalmenteα(z) es simétrico sobrez= 0 incrementando monótonamente de las condiciones de contorno.

Las FBGs además de poder ser apodizadas, pueden tener otras caracter´ısticas adicionales que suelen imple- mentarse dependiendo de la aplicación. Pueden tener unperiodo variable ochirp, el cual define un periodo no uniforme a lo largo de la longitud de la misma, estechirp en las FBGs pueden adoptar diferentes formas diferentes, puede ser lineal, en el cual el periodo var´ıa linealmente con la longitud de la rejilla; puede ser cuadrático o puede tener saltos en el periodo. También es posible que la FBG con chirp tenga un periodo que var´ıe al azar a lo largo de su longitud, por encima de una tendencia general. Las FBGs con estas caracter´ısticas tiene gran aplicabilidad en la óptica como dispositivo de corrección de dispersión y compensación.

Figure 22: Chirp en una FBG

En este documento las FBGs modeladas tendrán un valor de chirp=0, por tal razón no se ahonda demasiado en la explicación de esta caracter´ıstica y su impacto en la aplicación en sensores.

Apodizaci´on Caso

Regular 1

Blackman 2

Tangente Hiperb´olico 3

Coseno 4

Seno Elevado 5

Gaussiano 6

Sinc 7

Table 2: Apodizaciones

La función implementada en el código para seleccionar el tipo de apodización es,

1 [ z , g z ] = A p o d i z a c i o n ( n apo , a p o d i ) ;

la cual recibe dos parámetros(n apo(factor de apodización) yapodi(tipo de apodización)) y retorna un arreglogz con la apodización.

9.1.1 Perfil de apodizaci´on Regular

Este perfil de apodización regular o uniforme no tienen grandes aplicaciones, ya que su nivel de filtrado y selectividad es el más bajo de todos. Posee una amplitud constante y una perturbación periódica radial de la onda guiada a lo largo de la fibra para cualquier valor en el factor de apodización (n apo).

1 c a s e 1 %R e g u l a r

Figure 23: Perfil de apodizaci´onRegular

9.1.2 Perfil de apodizaci´on Blackman

Este perfil de apodización es uno de los más selectivos, a continuación se puede ver la formula empleada en

Matlab2017b.

gz= (2 + (2 +n apo)∗cos(2∗π∗z) +n apo∗cos(4∗π∗z))

(2∗(2 +n apo) ; (66)

1 c a s e 2 %Blackman

2 g z = (2+(2+ n a p o )∗cos( 2∗pi∗z )+n a p o∗cos( 4∗pi∗z ) ) /(2∗(2+ n a p o ) ) ;

Figure 24: Perfil de apodizaci´onBlackman al variar el factor de apodizaci´on (n apo)

Como se puede ver la figura 24, se realizan 3 curvas del perfilBlackmanpara valores positivos y negativos. Este perfil de apodización funciona de manera óptima para valores del factor de apodización n apo entre -1.0 y 1.0.

9.1.3 Perfil de apodizaci´on Tangente Hiperb´olico

Este tipo de perfil de apodizaci´on es modelado por la siguiente f´ormula.

gz= tanh(n apo∗(1−2∗ |z|))

tanh(n apo) ; (67)

1 c a s e 3 %t a n g e n t e h i p e r b o l i c o

2 g z = tanh( n a p o∗(1−2∗abs( z ) ) ) /tanh( n a p o ) ;

Su selectividad funciona correctamente para valores del factor de apodizaci´on (n apo) mayores o iguales 2.

Figure 25: Perfil de apodizaciónTangente Hiperbólico al variar el factor de apodización (n apo)

9.1.4 Perfil de apodizaci´on Coseno

La f´ormula que expresa este perfil de apodizaci´on puede verse como:

gz=cos (π/2)∗((|z|+ 1∗(n apo−0.5)) n apo∗1 (68) Donde se hace un arreglo para definir los limites de la gr´afica de la funci´on.

1 c a s e 4 %Coseno

2 g z = cos( (pi/ 2 )∗( (abs( z ) +1∗( n apo−0 . 5 ) ) / ( n a p o∗1 ) ) ) ; 3 zT = s i z e( z ) ; 4 zT = zT ( 2 ) ; 5 AbsZ = abs( z ) ; 6 con1 = 0.5−n a p o ; 7 f o r j =1:zT 8 i f AbsZ ( j )<con1 9 g z ( j ) =1; 10 end 11 end

Para este perfil de apodización se tiene un rango en el factor de apodización desde 0.1 hasta 0.5. Puede variarse en pequeños pasas den apo.

Figure 26: Perfil de apodizaci´onCoseno al variar el factor de apodizaci´on (n apo)

9.1.5 Perfil de apodizaci´on Seno Elevado

Este perfil de apodización se encuentra sobre un nivel DC de 0.5, por encima del valor =0, de ah´ı radica el nombre deElevado, a continuación se observa la fórmula que la representa, junto con un arreglo que limita la función. gz= 0.5∗(1 +cos ₍_pi/₂₎_∗₍₍_|_z_|_{+ 1}_∗₍_{n apo}₋₀_.₅₎₎ (n apo∗1) ; (69) 1 c a s e 5 %Seno e l e v a d o

2 g z = 0 . 5∗( 1 +cos( (pi/ 2 )∗( (abs( z ) +1∗( n apo−0 . 5 ) ) / ( n a p o∗1 ) ) ) ) ; 3 zT = s i z e( z ) ; 4 zT = zT ( 2 ) ; 5 AbsZ = abs( z ) ; 6 con1 = 0.5−n a p o ; 7 f o r j =1:zT 8 i f AbsZ ( j )<con1 9 g z ( j ) =1; 10 end 11 end

Figure 27: Perfil de apodizaci´onSeno Elevado al variar el factor de apodizaci´on (n apo)

9.1.6 Perfil de apodizaci´on Gaussiano

La siguiente fórmula se usa para gráfica el perfil de apodización. Esta comprendido para valores positivos menores o iguales a 0.01, en pasos de 0.002.

gz=exp(−n apo∗100∗(((z)).2)); (70)

1 c a s e 6 %Gaussiano

2 g z = exp(−n a p o∗1 0 0∗( ( ( z ) ) . ˆ 2 ) ) ;

Figure 28: Perfil de apodizaci´onGaussianoal variar el factor de apodizaci´on (n apo)

9.1.7 Perfil de apodizaci´on Sinc

El actual perfil de apodización se representa con la siguiente fórmula, y su factor de apodizaciónnapoesta comprendido para valores menores o iguales a la unidad.

gz= sin(π∗z∗n apo). (pi∗z∗n apo) (71) 1 c a s e 7 %S i n c 2 g z = (s i n(pi∗z∗n a p o ) ) . / (pi∗z∗n a p o ) ; 3 g z ( 5 1 ) = 1 ; 4 g z 1 = gz−min( g z ) ; 5 g z = g z 1 .∗( 1 . / (max( g z 1 ) ) ) ;

Figure 29: Perfil de apodizaci´onSinc al variar el factor de apodizaci´on (n apo)

In document Reflections: An Investigation into Mothers’ Experiences of Having an Adult Offspring with Mild Learning Disabilities (Page 104-108)