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Para estudiar la relaci ´on de Fluctuaci ´on Disipaci ´on en el modelo, calculamos la correla- ci ´on a dos tiempos y la funci ´on respuesta a un campo externo d ´ebil.

Para realizar el estudio de la funci ´on respuesta se aplic ´o al sistema un campo magn ´etico externohi. Para sistemas desordenados, el campo aplicado puede ser uniforme o aleatorio.

Sin embargo, para sistemas sin desorden, un campo uniforme favorecer´ıa uno de los dos estados fundamentales, acelerando el crecimiento de estos dominios. En estos casos, debe usarse entonces un campo aleatorio, y medirse la magnetizaci ´on staggered:

MST(t) = 1 N N X i=1 hsi(t) signo(hi)i (5.2)

5.2. Relaci ´on de Fluctuaci ´on-Disipaci ´on 67

10

10

10

_t

10

10

0.1

1

C(t, t

)

10

10

_{t / t}

10

10

w

0.1

1

C(t, t

)

t

= 3

t

= 3

Figura 5.4:Funci ´on de auto-correlaci ´on a dos tiemposC(t, tw)paraδ= 2,T = 2y diferentes tiempos de espera tw= 3k_{(k= 4, . . . ,8) en funci ´on del tiempot(arriba) y reescalada con la format/tw(abajo).}

68 5. Din ´amica de Relajaci ´on en el Modelo Shore-Sethna

donde hi es el campo local de cada sitio, generalmente de la forma bimodal hi = ±h, y

donde la barra indica un promedio sobre diferentes realizaciones de campo.

Nos aseguramos de que el campo magn ´etico aleatorio tenga una intensidad suficien- temente baja, de forma de estar trabajando en el r ´egimen de respuesta lineal. Entonces podemos obtener la susceptibilidad a partir de la expresi ´on,

χ(t) = MST(t)

h (5.3)

Si simult ´aneamente medimos la correlaci ´on a dos tiempos, es posible construir la curva param ´etricaχ=MST(t, tw)/hvs.C(t, tw), tal como se explic ´o en el cap´ıtulo 2.

Para la medici ´on de estas cantidades se realiza un enfriado instant ´aneo desde tempe- ratura infinita (configuraci ´on inicial aleatoria) a la temperatura final en la fase ordenada. Se deja evolucionar el sistema libremente un tiempo de esperatwmedido en PMC, a partir del

cual se enciende el campo magn ´etico aleatorio, y se mide la magnetizaci ´on staggered y la funci ´on de auto-correlaci ´on a dos tiempos.

En la figura 5.5 se muestran curvas de T χ = T MST/hvs. C(t, tw) obtenidas para un

sistema de tama ˜noL= 50, y para 3 conjuntos de par ´ametros:

δ= 6yT = 9(fase ferromagn ´etica, arriba deTd),

δ= 6yT = 2(fase ferromagn ´etica, debajo deTd),

δ= 2yT = 2(fase de l ´aminas),

para dos tiempos de esperatw = 128ytw= 256. La linea negra es la curva correspondiente

al TFD de equilibrio (pendiente₋1).

Podemos observar en el gr ´afico que en ambas fases ordenadas las curvas se apartan r ´apidamente del r ´egimen de equilibrio, y que incluso a bajas temperaturas la susceptibilidad se mantiene constante o comienza a decaer a medida que disminuye la auto-correlaci ´on. Este es el escenario caracter´ıstico de sistemas con din ´amica de crecimiento de dominios, donde Tef = ∞. Es decir que los resultados de la Relaci ´on de Fluctuaci ´on Disipaci ´on en

el modelo, al igual que los resultados del estudio de envejecimiento, nos muestran que el sistema posee una din ´amica propia de crecimientos de dominios. Queremos destacar que a

5.3. Discusi ´on 69

Figura 5.5:Susceptibilidad vs. auto-correlaci ´on para un sistema de tama ˜noL = 50, y diferentes par ´ametrosδ yT, que se muestran en la figura. Los tiempos de espera utilizados sontw = 128ytw= 256. La linea negra corresponde al TFD de equilibrio.

principios del a ˜no 2005 F. Krzakala public ´o un trabajo[50]en el que estudiaba propiedades v´ıtreas en modelos ferromagn ´eticos bidimensionales con din ´amica de Kawasaki[51]. En ´el present ´o un gr ´afico con el estudio de la Relaci ´on de Fluctuaci ´on-Disipaci ´on en el modelo SS tridimensional, cuyos resultados son similares a los mostrados en la figura 5.5 pero en un contexto din ´amico diferente.

5.3.

Discusi ´on

En todas las fases ordenadas del modelo hemos encontrado una fuerte dependencia con la historia de la muestra y una violaci ´on del Teorema de Fluctuaci ´on Disipaci ´on, in- dicando que el sistema queda atrapado en estados de no-equilibrio estacionarios. En lo concerniente a la pregunta original sobre el rol de la frustraci ´on en el comportamiento de sistemas ordenados, podemos concluir que el modelo SS presenta una din ´amica de enveje- cimiento simple y una relaci ´on de Fluctuaci ´on-Disipaci ´on propias de sistemas con din ´amica

70 5. Din ´amica de Relajaci ´on en el Modelo Shore-Sethna de crecimiento de dominios: C(t, tw)∼f L(t) L(tw) y Tef =∞.

Podemos entonces afirmar que m ´as all ´a del frenado din ´amico por debajo de la transici ´on de corner-rounding, la din ´amica no es similar a la observada en vidrios estructurales, tal como suger´ıan originalmente los autores de[11]. En este sentido todo parece indicar que la frustraci ´on presente en este modelo, por importante que sea, no alcanza para modelar con espines tipo Ising la f´ısica de sistemas v´ıtreos sin desorden.

Otro resultado importante de este cap´ıtulo fue la determinaci ´on por primera vez, para un valor finito de δ, de la temperatura de transici ´onTd entre los dos reg´ımenes din ´amicos

de la fase ferromagn ´etica . Como este valor no difiere mucho del obtenido anal´ıticamente en el l´ımite de frustraci ´on d ´ebil (δ _{→ ∞}) podemos concluir que dicha temperatura es poco sensible al efecto del t ´ermino de interacci ´on a segundos vecinos en el Hamiltoniano.

6

El modelo Shore-Sethna en su versi ´on

Heisenberg

En este cap´ıtulo estudiaremos una modificaci ´on al modelo analizado en los cap´ıtulos anteriores, que resulta de reemplazar las variables de Ising por variables cl ´asicas de Hei- senberg. En otras palabras, cada esp´ın es ahora un vectorS~ide m ´odulo unitario. Considera-

remos las mismas interacciones competitivas del modelo SS Ising, o sea, ferromagn ´eticas y antiferromagn ´eticas a primeros y segundos vecinos, respectivamente, y nos restringiremos al caso de una red tridimensional c ´ubica. Ignoraremos a la vez cualquier tipo de anisotrop´ıa.

Podemos pensar que esta versi ´on del modelo resulta m ´as adecuada para modelar ma- teriales reales tridimensionales, tales como los espineles, o incluso para comparar con al- gunos materiales sin desorden que mostraron tener comportamientos t´ıpicos de vidrios de espines[34,35]y cuyos momentos magn ´eticos son siempre variables tipo Heisenberg. Adem ´as, sabemos que la versi ´on diluida de este modelo reproduce la fenomenolog´ıa de ciertos vidrios de espines aislantes[36]como el EuxSr1−xS y FexAl1−x.

La inclusi ´on de interacciones a segundos vecinos en el modelo Heisenberg en la red cuadrada, usualmente llamadofrustrated square lattice(FSL), ha sido ampliamente estudia- da en el contexto de sistemas de espines cu ´anticos [52-56]. Mediante el estudio de transi-