En sus principios, la formulación axiomática de una teoría deductiva podría pare‐
cer que tenía un interés limitado. Entre los matemáticos, gran cantidad de ellos no veían en ella sino poco más que un procedimiento elegante de hacer una exposi‐
ción, cuyo refinamiento era muy superfluo, casi una especie de juego intelectual apto sólo para satisfacer espíritus en exceso escrupulosos en lo que respecta al ri‐
gor lógico, pero que se encontraba al margen del trabajo científico y verdadera‐
mente productivo. Debido a su carácter deliberadamente formal, ¿no se prohibía la axiomática a sí misma enriquecer con sustancia alguna de carácter nuevo el conte‐
nido de nuestro conocimiento? Su utilidad como método aún parecía dudosa, no sólo en lo que toca a sus aplicaciones prácticas, sino incluso al interior de la ciencia pura. No obstante, la historia de la ciencia muestra en forma excesiva que, con fre‐
cuencia, las investigaciones inicialmente más desinteresadas son las que al final se revelan como las más fecundas.
Después de todo, un espíritu escéptico ¿no habría expresado objeciones muy parecidas en el momento en que los griegos, al poner en forma deductiva todo un cuerpo de verdades empíricas, construyeron las matemáticas como una ciencia ra‐
cional, iniciando en esta forma a la humanidad en la era científica?
Si se reflexiona sobre ellas, las ventajas del método axiomático resultan ma‐
nifiestas. En primer lugar constituyen un instrumento precioso de abstracción y análisis. El paso de una teoría concreta a la misma teoría axiomatizada, formaliza‐
da posteriormente, renueva, prolongándolo, el trabajo de abstracción que lleva, por ejemplo, de un número concreto (un montón de manzanas o de guijarros) al núme‐
ro aritmético, y después de la aritmética al álgebra, reemplazando los términos individuales por variables de las cuales sólo están determinadas las relaciones. Y, en fin, del álgebra clásica a la moderna, en la cual no sólo los objetos sino también las relaciones que se efectúan sobre estos objetos llegan a su vez a ser concretamen‐
te indeterminadas, fijadas sólo por algunas propiedades fundamentales muy abs‐
tractas. Por otro lado, ante el tratamiento axiomático, las nociones fundamentales de una teoría quedan con frecuencia confusas, tienen comprehensiones que son a la vez demasiado ricas e insuficientemente explicadas. Nada garantiza entonces que estos elementos diversos continuarán siendo siempre compatibles, y nada nos precave en contra del peligro de resbalar en forma inconsciente en nuestros razo‐
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namientos de uno a otro. El método axiomático prosigue el análisis de las nociones primeras, obligando a aislar ciertas propiedades enunciadas expresamente en los axiomas y a usar únicamente a ellas o lo que se haya deducido de ellas.
Un progreso en la abstracción va siempre a la par con un progreso en lo general, dejando caer algunas de las determinaciones disociadas por el análisis. La reducción de la comprehensión elimina las restricciones y asegura el ensancha‐
miento de la extensión. Russell afirma que generalizar es transformar una constan‐
te en una variable, y tal es precisamente el trabajo del axiomático cuando sustituye la recta, la congruencia, por x, y…, que satisfacen a las relaciones que enuncian los postulados. De este modo, cuando descartamos las significaciones intuitivas, que siempre son especiales, no sólo nos hacemos capaces de pensar en forma más de‐
sembarazada la teoría inicial, sino que, de golpe, se forma un instrumento intelec‐
tual plurivalente que puede utilizarse en todas las teorías isomorfas a la primera. Del mismo modo que una función es, como se ha dicho, un molde de proposicio‐
nes, una teoría axiomatizada llega a ser una especie de “función teórica”, un molde de teorías concretas. El defecto de la univocidad, lejos de perjudicar a las definicio‐
nes por postulados, por lo contrario constituye su interés. La indeterminación de una estructura formal no puede considerarse una indigencia desde el momento en que no es una cualquiera, sino que se encuentra regulada por condiciones muy precisas. La pluralidad de los posibles, en los límites precisamente delimitados, representa por lo contrario una verdadera riqueza virtual. Se obtiene de este modo, por la axiomática, una economía importante de pensamiento, pues se reúnen varias teorías en una, lo múltiple se piensa en uno.
Pero también se gana bastante para el mismo saber. Primero, en su organiza‐
ción de conjunto. Al igual que la anatomía comparada, guiada por el principio de la identidad de plan, discierne en su pintoresca variedad los órganos homólogos, así también la axiomática, al descubrir las analogías formales, revela corresponden‐
cias insospechadas entre los dominios diversos de una misma ciencia e incluso pa‐
rentescos entre ciencias que al parecer eran ajenas o lo parecían. Al poner de relieve la estructura invariante que es común a teorías que al parecer son heterogéneas, se hace posible dominarlas mediante el pensamiento y, en una visión más sintética, abrazar con la mirada vastos paisajes intelectuales que sólo se conocían fragmenta‐
riamente, en lo cual encontrarán provecho los espíritus que se encuentran más atentos al acrecentamiento cuantitativo de los conocimientos que a su organización armoniosa. Pues tal organización hace sensibles las lagunas que la analogía invita a llenar. Cada teoría saca provecho de las que, en la actualidad, se denominan empa‐
rentadas. Se transfieren aquí, donde no lo sugería nada intuitivo, los resultados ad‐
quiridos en otras partes. El rigor del método de exposición conduce así, en última instancia, a su fecundidad para el descubrimiento.
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A estas ventajas, que ya en primer grado ofrecen las primeras axiomáticas, vienen en forma natural a combinarse, en las axiomáticas formalizadas, las de todo cálculo simbólico: seguridad, objetividad. El carácter ciego y cuasi mecánico de sus procesos no es, en forma alguna, su menor interés, pues permite que sean ejecuta‐
dos por una máquina, reservándose así el espíritu para las operaciones de nivel su‐
perior. Mediante la simbolización y la formalización de las teorías, y por medio de los isomorfismos así revelados, las grandes computadores de EUA están pasando a ser, si no “máquinas repensar” verdaderas, al menos auxiliares científicos cuyas aptitudes superan muy ampliamente la ejecución de las operaciones o problemas que son puramente numéricos. Y de entre los problemas numéricos que son capa‐
ces de resolver figuran, precisamente, los problemas de decisión acerca de las axiomá‐
ticas formalizadas. Tales usos aún son nuevos y sus desarrollos aún imprevisibles, pero se piensa que ya sin ayuda de las máquinas y para el espíritu reducido sólo a sus recursos, la simbolización y la formalización elevan la abstracción axiomática a la segunda potencia, si se puede decir así.