Use of Matrix Coding Query

Las ideas de demostración y de teorema que se discutió para el cálculo proposicional, pueden extenderse al ámbito del cálculo de predicados. No es sorprendente que con más expresiones posi- bles tengamos también mayores complicaciones. Una relación moderadamente completa de este tema puede formar una parte sustancial de otro libro. En esta sección nos limitaremos a discutir algunas de las más básicas y útiles conexiones entre los cuantificadores y los operadores lógicos. En el capítulo anterior utilizamos la expresión proposición compuesta de manera informal para describir proposiciones construidas a partir de proposiciones más simples.

Las leyes de la lógica de predicados que no se pueden obtener por medio de la sustitución de las leyes de la lógica proposicional, son por ejemplo:

1. ∀x P (x) → P (a)

∀x P (x) → P (a) prueba que, si cada individuo de un conjunto posee una determinada propiedad P , entonces existe también un individuo determinado a que posee esta propiedad.

2. P (a) → ∃x P (x)

P (a) → ∃x P (x) prueba que, si un individuo determinado de un conjunto de individuos posee una determinada propiedad P , existe entonces, por lo menos un individuo a con esta propiedad.

Toda expresión de la lógica proposicional con validez general puede convertirse en una expresión de la lógica de predicados con validez general, pero el recíproco es falso.

Podríamos intentar obtener, por medio de la ssustitución de una expresión de la lógica proposi- cional satisfactible sin validez general, una expresión de la lógica de predicados igualmente satis- factible, pero sin validez general. Pongamos por ejemplo en la neutralidad de la lógica proposicional P ∧ Q para la variable proposicional

P ∼= ∀x[P (x) ∨ ¬P (x)]

y para

Q ∼= ∃x[P (x) ∧ ¬P (x)] de esta forma obtenemos la expresión

∀x[P (x) ∨ ¬P (x)] ∧ Q ∼= ∃x[P (x) ∧ ¬P (x)]. Esta expresión es una contradicción.

Por el contrario resulta que: ¨Toda expresión de la lógica proposicional, no ejecutable, satis- factible, es también una expresión de la lógica de predicados, no ejecutable, satisfactible¨.

Algunas equivalencias de la lógica de predicados, que expresan la relación que se establece entre los cuantificadores ∀ y ∃ reciben especial atención. Una equivalencia de la lógica de predicados tiene

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tanta validez general como una equivalencia de la lógica proposicional, si coinciden en cada caso los valores de verdad de ambos términos en iguales sustituciones de sus variables.

Se obtiene una proposición verdadera en cada sustitución de las variables del dominio, a partir de un conjunto no vacío dado, y en cada sustitución de las variables del predicado P. Esta expre- sión es una forma, en la lógica de predicados del conocido teorema del tercer excluido de la lógica proposicional.

Las identidades de la lógica de predicados (leyes) se pueden obtener de las identidades lógicas proposicionales si las variables son sustituidas por formas proposicionales de la lógica de predicados en las expresiones de la lógica proposicional correspondiente.

En muchos casos nos encontramos que estas expresiones tienen que ver con formas proposi- cionales, que se han obtenido mediante la combinación de dos o más proposiciones como dos formas proposicionales. La traducción de expresiones de la lógica de predicados en el lenguaje común es generalmente más fácil que la traducción en dirección contraria. Sobre todo existen dificultades cuando se presentan, por ejemplo, dos o más operadores.

Teorema 1.15 Las siguientes equivalencias son válidas:

∀x ∀y P (x, y) ∼= ∀y ∀x P (x, y) y ∃x ∃y P (x, y) ∼= ∃y ∃x P (x, y) Demostración

Para demostrar que ∃x ∃y P (x, y) ∼= ∃y ∃x P (x, y) es una tautología, debemos revisar que esta proposición es verdadera para todos los dominios del discurso posibles. Por la definición de ↔, necesitamos revisar solamente que ∃y ∃x P (x, y) es verdadera para un dominio dado si y sólo si ∃x ∃y P (x, y) es verdadera para ese dominio.

Supongamos que ∃x ∃y P (x, y) tiene valor verdadero. Entonces ∃y P (x0, y) es verdadera para

alguna x0 en el universo, por lo tanto P (x0, y0) es verdadera para alguna y0 en el dominio. De ahí

que ∃x P (x, y0) es verdadera y por lo tanto ∃y ∃x P (x, y) es verdadera. La implicación en la otra

dirección es similar.

Más aún, las dos proposiciones ∃x ∃y P (x, y) y ∃y ∃x P (x, y) son lógicamente equivalentes a la proposición ∃(x, y) P (x, y) donde (x, y) varía sobre D1x D2, con D1y D2los dominios del discurso

de las variables x e y respectivamente.

Teorema 1.16 Es válida la siguiente identidad:

∃x ∃y P (x, y) ∼= ∀y ∃x P (x, y) Demostración

Para poder demostrar este teorema, asumimos que si la parte izquierda de esta proposición es verdadero entonces existe x0 en el dominio de discurso tal que ∀y P (x0, y) es verdadero y así

P (x0, y) es verdadero para toda y. Por lo tanto, para cada y, ∃x P (x, y) es verdadero; de hecho

la misma x0 sirve para cada y. Como ∃x P (x, y) es verdadero para toda y, el lado derecho de la

proposición tiene valor de verdad verdadero. De esta manera la proposición es una tautología. Por otra parte el recíproco de esta proposición, es decir ∀y ∃x P (x, y) ∼= ∃x ∀y P (x, y) no es en general verdadero. Para enfatizar la diferencia, supongamos que x e y varían sobre un dominio D de tres elementos, digamos D = {a, b, c}. El predicado de 2 argumentos P (x, y) tiene nueve posibles valores;

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Entonces ∃x ∀y P (x, y) es verdadero si ∀y P (x0, y) es verdadero para alguna x0. Como x0 tiene

que ser igual a a, b o c vemos que ∃x ∀y P (x, y) es verdadero si y sólo si todas las proposiciones de una de las filas dadas arriba son verdaderas. En contraste, ∀y ∃x P (x, y) sería verdadera siempre que al menos una proposición de cada columna sea verdadera.

Por ejemplo si consideramos un predicado P (x, y) con valores de verdad

P (a, a) P (a, b) P (a, c) P (b, a) P (b, b) P (b, c) P (c, a) P (c, b) P (c, c)

V F F F F V F V V

entonces ∀y ∃x P (x, y) será verdadera en tanto que ∃x ∀y P (x, y) será falsa. Para esta elección de predicado P (x, y), ∃x P (x, y) es verdadera para toda y pero la x adecuada depende de la y, ninguna x única sirve para toda y.

Teorema 1.17 Las identidades siguientes son válidas:

¬∀x P (x) ∼= ∃x [¬P (x)]; ¬∃x P (x) ∼= ∀x [¬P (x)]; ∀x P (x) ∼= ¬∃x [¬P (x)]; ∃x P (x) ∼= ¬∀x [¬P (x)].

Ejemplo 1.52 Las leyes de DeMorgan pueden utilizarse repetidamente para negar cualquier proposición cuantificada

¬∃w ∀x ∃y ∃z P (w, x, y, z) es sucesivamente lógica equivalente a

∀w[¬∀x ∃y ∃z P (w, x, y, z)]; ∀w ∃x[¬∃y ∃z P (w, x, y, z)]; ∀w ∃x ∀y[¬∃z P (w, x, y, z)]; ∀w ∃x ∀y ∀z[¬P (w, x, y, z)];

Esto ilustra la regla general: La negación de un predicado cuantificado es lógicamente equiva- lente a la proposición que se obtiene al sustituir cada ∀ por ∃ y cada ∃ por ∀ y reemplazando el mismo predicado por su negación.

Ejemplo 1.53 La negación de

∀x ∀y ∃z (x < z < y) es ∃x ∃y ∀z [¬(x < z < y)].

Aplicando las leyes de DeMorgan vemos que la negación es lógicamente equivalente a

∃x ∃y ∀z [(z ≤ x) ∨ (z ∧ y)] Ejemplo 1.54 La negación de

∀x ∀y (x < y → x2_{< y}2_{) es ∃x ∃y [¬(x < z → x}2_{< y}2_)].

Aplicando las leyes de DeMorgan vemos que la negación es lógicamente equivalente a

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