4.1 Introducción
Al diseñar dispositivos electrónicos, los simuladores son una herramienta muy importante ya que permiten que el dispositivo sea probado, corregido y/u optimizado antes de ser construido, ahorrando tiempo y dinero. Por lo tanto, cada elemento del dispositivo debe ser bien caracterizado y modelado para que el diseño simulado tenga una respuesta cercana al dispositivo cuando sea construido. El transistor es un elemento ampliamente utilizado en dispositivos de alta frecuencia como por ejemplo en amplificadores, mezcladores, interruptores, osciladores, entre otros. Por esa razón el modelado de transistores es un campo en el que se ha desarrollado investigación buscando obtener modelos más precisos, compatibles entre diferentes tecnologías (MESFET, HEMT, HBT), materiales (GaAs, InP, GaN, SiC) y con parámetros fáciles de extraer. Los modelos permiten describir las características del transistor mediante circuitos equivalentes, expresiones matemáticas, interpolando y extrapolando mediciones o combinación de algunas de las anteriores. La precisión dependerá de los parámetros que el modelo considera y de cómo son extraídos.
En este capítulo, se profundizará en el modelado de transistores, las diferentes aproximaciones y sus características principales.
4.2 Tipos de modelos de transistores
Básicamente existen dos tipos de modelos:
1)
Modelo físico: se basa en las geometrías, topología, propiedades físicas del semiconductor, metales y aislantes que conforman al transistor. Las expresionesmatemáticas implementadas en el modelo son bastante complejas y cada simulación requiere mucho tiempo y potencia de cómputo. Como la geometría del transistor es cada vez más pequeña, los efectos cuánticos deben ser considerados. Este tipo de modelo es muy utilizado en las fundidoras donde tienen control en el proceso de fabricación.
2) Modelo basado en circuito eléctrico equivalente: El transistor es modelado mediante componentes eléctricos como resistores, inductores, o capacitores. Cada elemento representa un fenómeno presente dentro del transistor y su extracción es a partir de mediciones bajo condiciones específicas. Los valores de cada elemento del circuito eléctrico equivalente puede ser constante, una tabla de valores o una expresión matemática, como se verá más adelante en este capítulo. Las tablas de valores pueden ser agregadas directamente en un simulador y aplicar posteriormente un método de interpolación o extrapolación. Sin embargo, estos métodos, de interpolación y extrapolación, pueden generar oscilaciones o problemas de convergencia por lo que se han desarrollado nuevas herramientas matemáticas para no utilizar tablas como por ejemplo redes neuronales artificiales. En la Figura 25 se observa un ejemplo de circuito eléctrico equivalente.
La principal ventaja que tiene el modelo de circuito eléctrico equivalente respecto al modelo físico es que los elementos son más fáciles de extraer. Los elementos del circuito eléctrico equivalente son calculados a partir de mediciones con condiciones de polarización específicas para aislar y modelar los efectos de interés mientras que los elementos del modelo físico son calculados mediante parámetros físicos del transistor como la longitud de compuerta, la velocidad de saturación, movilidad electrónica del semiconductor, número de donadores, ancho del canal, etc. Algunos de los parámetros del modelo físico son muy difíciles de adquirir ya que no hay acceso al proceso de fabricación del transistor, además, las expresiones utilizadas son más complejas que las expresiones de voltaje y corriente de un circuito eléctrico equivalente.
Por otro lado, como ya se mencionó, el principal problema de utilizar tablas es que requiere una buena interpolación y extrapolación de los valores. En la Figura 26 se aprecian los resultados de una interpolación y extrapolación con polinomios de grado dos, cuatro y seis. Se observa que mientras mayor es el grado del polinomio, la función de interpolación tiene una frecuencia de oscilación mayor y una magnitud menor mientras que al extrapolar la función no predice resultados congruentes con los datos anteriores.
Figura 26. Diferentes resultados de la interpolación y extrapolación mediante un polinomio de grado dos, cuatro y seis.
4.2.1 Modelado utilizando un circuito eléctrico equivalente
La precisión necesaria del modelo dependerá de las condiciones en las que el transistor trabajará, por esto existen diferentes aproximaciones. Estas se resumen en la tabla 3.
Tabla 3. Características de cada combinación de modelo posible.
Lineal No–lineal
Cuasi–estático - Constante con 𝑣¹O(𝑡) y 𝑣NO(𝑡)
- Respuesta instantánea a
𝑣¹O(𝑡) y 𝑣NO(𝑡)
- Efectos térmicos y trampas de electrones constantes
- Variable con 𝑣¹O(𝑡) y 𝑣NO(𝑡)
- Respuesta instantánea a
𝑣¹O(𝑡) y 𝑣NO(𝑡)
- Efectos térmicos y trampas de electrones variables
No–cuasi–estático - Constante con 𝑣¹O(𝑡) y 𝑣NO(𝑡)
- Respuesta no instantánea a
𝑣¹O(𝑡) y 𝑣NO(𝑡)
- Efectos térmicos y trampas de electrones constantes
- Variable con 𝑣¹O(𝑡) y 𝑣NO(𝑡)
- Respuesta no instantánea a
𝑣¹O 𝑡 y 𝑣NO 𝑡
- Efectos térmicos y trampas de electrones variables En el modelo lineal, los elementos que lo conforman son constantes con los voltajes de entrada (que son función del tiempo) y variables con el punto de reposo (los voltajes de alimentación), esto significa que el transistor tendrá un comportamiento lineal, es decir ganancia lineal, cero distorsión o colapso de corriente debido a efectos térmicos o de trampas (efectos dispersivos de baja frecuencia). El modelo lineal es utilizado en aplicaciones de baja potencia ya que el transistor puede considerarse lineal por sus pocas no–linealidades presentes a esa potencia. Para las aplicaciones de alta potencia, el transistor es saturado por las altas potencias a la entrada, eso significa que la ganancia disminuye, la distorsión a la salida aumenta y que los efectos dispersivos de baja frecuencia influyen. En el modelo no–lineal, los elementos que lo conforman son variables de los voltajes de entrada dependientes del tiempo, además se pueden agregar elementos extras para modelar los efectos dispersivos de baja frecuencia.
La definición de cuasi–estático en el modelado de transistores nos dice que el transistor responde instantáneamente a los voltajes de entrada, sea el modelo lineal o no–lineal e independientemente de la frecuencia. Al medir un transistor, se aprecia que su rendimiento decrece con la frecuencia, por ello la afirmación anterior solamente se cumple hasta cierta frecuencia. La definición no–cuasi–estático es lo contrario, el transistor no responde instantáneamente a los voltajes de entrada, produciendo retardos
en la señal de salida. En el trabajo de Crupi, et al. (2009) se habla más sobre esto. En algunos casos, el modelo cuasi–estático es suficiente para modelar el transistor de interés y en otros casos es necesario agregar uno o más elementos para ajustar su respuesta. Cuando esto sucede, el modelo pasa a ser modelo no–cuasi–estático.
El modelo de la Figura 25 consiste en dos partes, los elementos extrínsecos o parásitos y los elementos intrínsecos. Los primeros son elementos que representan todo elemento entre la punta de prueba y el canal del transistor, como por ejemplo el encapsulado, los contactos óhmicos, los alambres de contacto o secciones de semiconductor y los segundos son los encargados de modelar en funcionamiento del canal o pozo cuántico. En todos los modelos explicados en este trabajo, los elementos extrínsecos son considerados lineales y constantes para cualquier punto de reposo. A continuación se explicará el modelo lineal y no–lineal y al mismo tiempo, cómo las aproximaciones cuasi-estáticas y no–cuasi–estáticas los afectan.
4.2.1.1 Modelo lineal
Para muchas aplicaciones, incluso para amplificadores que trabajan cerca del punto de 1dB de compresión, el modelo lineal puede predecir apropiadamente al transistor. El modelo lineal cuasi–estático se muestra en la Figura 27, los elementos extrínsecos son 𝑅¹, 𝑅O, 𝑅N, 𝐿¹, 𝐿O, 𝐿N, 𝐶œ¹𝑦 𝐶œN, mientras que los demás son los elementos intrínsecos. Los capacitores 𝐶¹O, 𝐶¹N y 𝐶NO representan la carga acumulada en el canal entre cada terminal y afectan directamente a la respuesta en frecuencia del transistor. La fuente de controlada de corriente depende del voltaje 𝑣¹, la transconductancia 𝑔M y la conductancia 𝑔NO.
Cuando la frecuencia aumenta, la respuesta del modelo cuasi–estático difiere de la respuesta real del transistor debido a que el transistor no puede responder instantáneamente a los estímulos de entrada, por ello, se agregan elementos que ajusten esta respuesta. En la Figura 28 se aprecia el modelo lineal no-cuasi–estático en el cual se agrega la constante de tiempo 𝜏 a la respuesta de la fuente de corriente y las
resistencias 𝑅\ y 𝑅¹N que forman un circuito RC con una constante de tiempo de descarga 𝜏¹O y 𝜏¹N respectivamente.
Figura 27. Modelo lineal cuasi–estático donde 𝒗𝒈 es el voltaje de polarización.
Figura 28. Modelo lineal no cuasi–estático donde 𝒗𝒈 es el voltaje de polarización
Los elementos intrínsecos son calculados para cada punto de reposo, es decir se realiza un barrido de los voltajes de alimentación. En este caso, es posible combinar un
modelo de circuito eléctrico equivalente con uno basado en tablas, agregando una tabla dependiente de los voltajes de polarización a cada elemento.
4.2.1.2 Modelo no–lineal
Al medir curvas I–V se observa que la fuente de corriente no proporciona valores de corriente constantes para todos los voltajes de 𝑉yz ( ver Figura 29 (a)), además, se aprecia que el valor de cada elemento intrínseco no es constante con el punto de reposo (ver Figura 29 (b)). Si consideramos una fuente de corriente no–lineal y elementos intrínsecos variables con los voltajes de entrada 𝑣¹O 𝑡 y 𝑣NO 𝑡 , el modelo se extiende a una aproximación no–lineal.
(a) (b)
Figura 29. Medición de curvas I–V de un transistor (a) y el capacitor 𝑪𝒈𝒔(𝒗𝒈𝒔 𝒕 , 𝒗𝒅𝒔(𝒕)) dependiente de los voltajes de entrada (b).
El modelo no–lineal cuasi–estático consiste en dos fuentes de corriente a la entrada y dos a la salida llamadas fuente de corriente de conducción y fuente de corriente de desplazamiento, respectivamente. La de conducción representa a la fuente de corriente del modelo lineal pero con las no–linealidades observadas en las mediciones de curvas
I–V, mientras que la de desplazamiento se obtiene al derivar con respecto al tiempo a la carga almacenada en los capacitores intrínsecos no–lineales. En la Figura 30 se presenta el modelo no–lineal cuasi–estático. Los modelos de fuentes de cargas son más utilizados que los modelos de capacitores ya que es más fácil de implementar en el simulador. Como se verá más adelante, el cálculo de la corriente de desplazamiento implica la derivada de la carga con respecto al tiempo, mientras que al usar los capacitores implica la derivada del voltaje con respecto al tiempo la cual puede traer problemas de convergencia en la simulación (ver ejemplos de ayuda en ADS).Cuando un elemento es agregado al circuito intrínseco con la finalidad de ajustar la respuesta, el modelo no–lineal debe ser considerado como no-cuasi-estático. Al igual que en el modelo lineal, al agregar elementos lineales o no–lineales como 𝑅\, 𝑅¹N o 𝜏, se considera que el modelo no responde instantáneamente a los voltajes de entrada. El circuito eléctrico equivalente se muestra en la Figura 31. Cuando se agrega 𝑅¹N al circuito intrínseco, las fuentes de carga 𝑄¹ y 𝑄N son intercambiadas por 𝑄¹O y 𝑄¹N para formar un circuito p como en el modelo lineal. Cuando se agrega solamente a 𝑅\, se coloca en serie a la fuente de carga 𝑄¹. Las fuentes de carga son las responsables de la respuesta en frecuencia del transistor, contribuyen a la corriente total y a los productos de intermodulación cuando hay dos o más tonos en la señal de entrada.
Figura 31. Modelo no–lineal no–cuasi–estático.
4.3 Extracción de los elementos parásitos
Los elementos parásitos representan los efectos producidos por todos los elementos entre la zona activa (el canal o el pozo cuántico) y los contactos externos del transistor como el encapsulado, los contactos óhmicos, puentes o algún semiconductor. Los elementos extrínsecos son elementos constantes, no cambian con los voltajes de polarización sean pulsados o no y tampoco presentan variaciones considerables con la temperatura. El cálculo de los elementos se separa en tres grupos:
1) El encapsulado
2) Los capacitores parásitos
3) Las resistencias e inductancias parásitas.
4.3.1 Extracción de los elementos parásitos del encapsulado
Los transistores de potencia generalmente son alojados dentro de una cápsula que lo protege del ambiente exterior y lo ayuda a disipar el calor. El encapsulado está formado
por un cuerpo de cerámica, una base metálica (chapada en oro) donde se introduce el chip y los puentes que conectan la compuerta y el drenador con las conexiones del encapsulado. Las desventajas de utilizar el encapsulado es que limita la frecuencia máxima y modifica considerablemente los parámetros S comparándolo con el transistor sin encapsulado. Por esta razón, para potencias considerablemente bajas, se utilizan los transistores en chip. En la Figura 32 se observa un transistor encapsulado.
Para modelar un transistor encapsulado se debe obtener su circuito eléctrico equivalente y esto se logra midiendo los parámetros S del encapsulado sin chip. El modelo consiste en tres capacitores como se muestra en la Figura 33. La matriz de parámetros Y que representa a ese circuito es:
𝑌§§ 𝑌§‘
𝑌‘§ 𝑌‘‘ =
𝑗𝜔𝐶§§+ 𝑗𝜔𝐶§‘ −𝑗𝜔𝐶§‘
−𝑗𝜔𝐶§‘ 𝑗𝜔𝐶§‘+ 𝑗𝜔𝐶‘‘ . (20)
Despejando de la matriz de parámetros Y se obtiene el valor de cada capacitor:
𝐶§§= 𝐼𝑚 𝑌§§ + 𝐼𝑚{𝑌§‘} 𝜔 , (21) 𝐶§‘ = − 𝐼𝑚 𝑌§‘ 𝜔 = − 𝐼𝑚 𝑌‘§ 𝜔 , (22) 𝐶‘‘= 𝐼𝑚 𝑌‘‘ + 𝐼𝑚{𝑌§‘} 𝜔 . (23)
La extracción de los efectos del encapsulado se hace de la siguiente forma:
𝑆§§ 𝑆§‘
𝑆‘§ 𝑆‘‘ → 𝑌𝑌§§‘§ 𝑌𝑌‘‘§‘ → 𝑌𝑌§§‘§− 𝑗𝜔𝐶+ 𝑗𝜔𝐶§‘§§ 𝑌‘‘− 𝑗𝜔𝐶𝑌§‘+ 𝑗𝜔𝐶§‘− 𝑗𝜔𝐶§‘ ‘‘ . (24) Para calcular los demás elementos se debe primero retirar los efectos del encapsulado en cada medición de parámetros S como se muestra en la expresión anterior. La matriz de parámetros S medida se convierte a parámetros Y y se extraen directamente los elementos, después, la matriz se convierte a parámetros Z para las siguientes extracciones.
Figura 32. Transistor encapsulado.
Figura 33. Modelo lineal del encapsulado.
4.3.2 Extracción de las resistencias e inductancias parásitas
La medición para extraer el valor de la resistencias e inductancias parásitas es tomada mientras la compuerta es polarizada en directa con corriente 𝐼{z baja y la terminal del drenador flotando (desconectado) (Zárate, et al., 2009). Al fluir una corriente por la compuerta y no haber corriente por la terminal del drenador, el circuito eléctrico equivalente cambia (Figura 34). El diodo representado por 𝑅™ y 𝐶™ se debe a la zona de deserción de la barrera Schottky en la compuerta. Los parámetros Z del circuito eléctrico equivalente están dados por:
𝑍§§ 𝑍§‘ 𝑍‘§ 𝑍‘‘ = 𝑅{∗ + 𝑅 z∗+ 𝑅› 1 + 𝜔‘𝑅 ›‘𝐶›‘ + 𝑗𝜔 𝐿{+ 𝐿z− 𝑅›‘𝐶› 1 + 𝜔‘𝑅 ›‘𝐶›‘ 𝑅z∗+ 𝑗𝜔𝐿 z 𝑅z∗+ 𝑗𝜔𝐿 z 𝑅y∗ + 𝑅z∗+ 𝑗𝜔(𝐿y+ 𝐿z) , (25)
donde: 𝑅{∗ = 𝑅 { − 𝑅˜` 6 ; 𝑅y∗ = 𝑅y+ 𝑅˜` 2 ; 𝑅z∗ = 𝑅z+ 𝑅˜` 2 .
Por lo general, la resistencia del canal 𝑅˜` es muy pequeña y puede ser ignorada. Si se desea tomar en cuenta se puede calcular mediante la siguiente expresión:
𝑅˜` =
𝐿˜™Mœ]p¦_š
𝑞𝑁y𝜇𝑍𝑎 . (26)
donde 𝐿˜™Mœ]p¦_š es la longitud de la compuerta, q es la carga del electrón, 𝑁y número de donadores, 𝜇 movilidad electrónica del semiconductor, 𝑍 el ancho del transistor y 𝑎 el espesor de la película activa.
A partir de los parámetros 𝑍§‘ (o 𝑍‘§) y 𝑍‘‘ se obtiene:
𝑅z = 𝑅𝑒 𝑍§‘ ; 𝑅y = 𝑅𝑒 𝑍‘‘− 𝑍§‘ ; 𝐿z = 𝐼𝑚 𝑍§‘ ; 𝐿y = 𝐼𝑚 𝑍‘‘− 𝑍§‘ .
(27) El diodo de compuerta es representado por un circuito tanque RC con resonancia 𝜔›:
𝜔› = 1
𝑅›𝐶› . (28)
Por lo tanto, al sustituir 𝜔› en el parámetro 𝑍§§ se obtiene lo siguiente:
𝐼𝑚 𝑍§§ = 𝜔 𝐿{ − 𝐿z − 1 𝐶› 𝜔 𝜔‘+ 𝜔 ›‘ . (29) Si le restamos la parte imaginaria de 𝑍§‘ y además multiplicamos ambos lados por 𝜔 tenemos: 𝜔𝐼𝑚 𝑍§§− 𝑍§‘ = 𝜔‘ 𝐿 { − 1 𝐶› 𝜔‘ 𝜔‘+ 𝜔 ›‘ . (30)
Figura 34. Circuito eléctrico equivalente con la compuerta polarizada en directa y el drenador “flotando”.
Para valores de 𝜔 ≫ 𝜔› tenemos que 𝜔‘+ 𝜔›‘ ≈ 𝜔‘, por lo tanto la expresión queda de la siguiente forma:
𝜔𝐼𝑚 𝑍§§− 𝑍§‘ ‹≫‹Œ ≈ 𝜔‘𝐿 {−
1
𝐶› . (31)
Al hacer cambio de variable con 𝑥 = 𝜔‘ y 𝑦 = 𝜔𝐼𝑚{𝑍
§§− 𝑍§‘}, se observa un comportamiento lineal: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 , donde: 𝑚 = 𝐿{ , (32) 𝐶› = −1 𝑏 . (33)
Es decir que al graficar 𝜔𝐼𝑚 𝑍§§− 𝑍§‘ para frecuencias muy altas se obtiene una recta con pendiente 𝐿{ y punto de intersección −ʧ
Figura 35. Cálculo de 𝑳𝑮 y 𝑪𝟎 a partir de la gráfica.
A partir de la parte imaginaria de 𝑍§§ se puede calcular 𝑅›:
𝐼𝑚 𝑍§§ = 𝜔𝐿 − 𝜔 𝐶› 𝑅›‘𝐶 ›‘ 1 + 𝜔‘𝑅 › ‘𝐶 ›‘ , (34) 𝑅› = 𝜔𝐿 − 𝐼𝑚 𝑍§§ 𝜔𝐶› − 𝜔‘𝐶 ›‘ 𝜔𝐿 − 𝐼𝑚 𝑍§§ . (35)
Al sustituir 𝜔› en la parte real del parámetro 𝑍§§ tenemos lo siguiente:
𝑅𝑒 𝑍§§ = 𝑅{+𝑅O+ 𝑅› 𝜔›‘ 𝜔‘+ 𝜔
›‘
.
(36) Al restarle la parte real de 𝑍§‘ y para valores de 𝜔 ≫ 𝜔› se tiene que:
𝑅𝑒 𝑍§§− 𝑍§‘ ‹≫‹Œ ≈ 𝑅{ + 𝑅›𝜔›‘
𝜔‘ . (37)
Al hacer cambio de variable con 𝑥 =‹§ª y 𝑦 = 𝑅𝑒 𝑍§§− 𝑍§‘ tenemos un comportamiento lineal:
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 , donde:
𝑚 = 𝑅›𝜔›‘ (38)
𝑏 = 𝑅{ (39)
Este comportamiento se observa en la Figura 36.
Figura 36. Cálculo de 𝑹𝑮 a partir de la gráfica.
4.3.3 Extracción de los capacitores parásitos
La polarización requerida para la extracción de los capacitores parásitos es con un voltaje de compuerta 𝑉{z ≪ 𝑉œ y 𝑉yz = 0 (Zárate, et al., 2009). Esto permite que todas las corrientes internas del transistor sean iguales a cero. Con esa condición, la contribución de las resistencias parásitas a la respuesta del transistor son despreciables. El circuito equivalente bajo estas condiciones de polarización se muestra en la figura 37. Antes de calcular los capacitores parásitos se deben restar los capacitores parásitos del encapsulado y después los inductores 𝐿{ y 𝐿N. La extracción de las inductancias que se realizan de la siguiente forma:
𝑍§§ ˜šœ 𝑍§‘ ˜šœ 𝑍‘§ ˜šœ 𝑍‘‘ ˜šœ =
𝑍§§ MpN − 𝑗𝜔𝐿{ 𝑍§‘ MpN
𝑍‘§ MpN 𝑍‘‘ MpN − 𝑗𝜔𝐿y . (40) En la figura 37 (a) se observa que el circuito intrínseco está compuesto por tres capacitores conectados en configuración 𝜋, pero para facilitar los cálculos, la red se transforma en una configuración en “T” como se muestra en la Figura 37 (b). Considerando que 𝐶¹O = 𝐶¹N, el cambio de configuración es (Zarate, 2007):
𝐶› = 𝐶¹N + 𝐶¹O+𝐶¹O𝐶¹N 𝐶NO = 2𝐶¹O+ 𝐶¹O‘ 𝐶NO , (41) 𝐶N = 𝐶¹N+ 𝐶NO +𝐶¹N𝐶NO 𝐶¹O = 𝐶¹O+ 2𝐶NO , (42) 𝐶O = 𝐶¹O+ 𝐶NO +𝐶¹O𝐶NO 𝐶¹N = 𝐶¹O+ 2𝐶NO . (43)
Se observa que 𝐶N = 𝐶O mientras que 𝐶› es el capacitor del diodo Schottky calculado en la sección anterior. Para mayor comodidad, 𝐶N y 𝐶O se renombrarán como 𝐶Ë como se ve en la Figura 38.
La matriz de parámetros Y de este circuito equivalente es la siguiente:
𝑌§§ 𝑌§‘ 𝑌‘§ 𝑌‘‘ = 𝑗𝜔 𝐶œ¹+ 2𝐶Ë𝐶› 2𝐶Ë+ 𝐶› −𝑗𝜔 𝐶Ë𝐶› 2𝐶Ë+ 𝐶› −𝑗𝜔 𝐶Ë𝐶› 2𝐶Ë+ 𝐶› 𝑗𝜔 𝐶œN + 𝐶Ë(𝐶Ë+ 𝐶›) 2𝐶Ë+ 𝐶› . (44)
(a)
(b)
Figura 37. Circuito eléctrico equivalente para 𝑽𝑮𝑺≪ 𝑽𝒑 y 𝑽𝑫𝑺= 𝟎. Configuración 𝝅 (a) y configuración T (b).
Figura 38. Circuito intrínseco en configuración “T” junto a los capacitores parásitos.
A partir del parámetro 𝑌§‘ (o el 𝑌‘§) se calcula el valor de 𝐶Ë:
𝐼𝑚 𝑌§‘ = −𝜔 𝐶Ë𝐶›
2𝐶Ë+ 𝐶› , (45)
𝐶Ë= −𝐶›𝐼𝑚{𝑌§‘}
𝜔𝐶›+ 2𝐼𝑚{𝑌§‘} . (46)
Con manejo algebraico de los parámetros Y, el cálculo de 𝐶œ¹ y 𝐶œN se hace de la siguiente forma: 𝐶œ¹ =𝐼𝑚 𝑌§§ + 2𝐼𝑚{𝑌§‘} 𝜔 , (47) 𝐶œN = 𝐼𝑚 𝑌‘‘ + 𝐼𝑚{𝑌§‘} 𝜔 + 𝐶Ë 𝐶› 𝐼𝑚 𝑌§‘ 𝜔 . (48)
𝐶œ¹ es igual a la expresión dada por el método propuesto por Dambrine, Cappy, Heliodore y Playez (1988) y por White y Healy (1993). Para 𝐶œN, el método propuesto por Zárate, et al. (2009) difiere por la relación 𝐶Ë
𝐶›. Si 𝐶Ë = 𝐶› la expresión resultante es la misma que la propuesta por White y Healy (1993) y si 𝐶› ≫ 𝐶Ë la expresión es igual a la propuesta por Dambrine, et al. (1988). En la mayoría de los casos se aprecia que ninguno de estos se cumple, por esta razón, es necesario considerar la relación 𝐶Ë
4.4 Extracción del circuito intrínseco lineal
La sección intrínseca contiene elementos que son dependientes del punto de reposo, del ancho de pulso y del ciclo de trabajo. La temperatura y las trampas dependen de estos dos últimos, por lo tanto, mientras el ancho del pulso sea lo más corto posible y el ciclo de trabajo por debajo del 1%, las condiciones iniciales inducidas por el punto de reposo se mantendrán constantes a lo largo de las mediciones. Al definir el punto de reposo en el cual el transistor trabajará, se realizan las mediciones pulsadas de curvas I–V y parámetros S para cada uno de esos puntos. Con cada conjunto de parámetros S se obtendrá un conjunto de valores de elementos intrínsecos.
Como ya se mencionó, antes de calcular los elementos intrínsecos se debe efectuar una extracción de los elementos parásitos de los parámetros S como se muestra a continuación: 𝑆§§ 𝑆§‘ 𝑆‘§ 𝑆‘‘ → 𝑌§§ 𝑌§‘ 𝑌‘§ 𝑌‘‘ → 𝑌§§− 𝑗𝜔𝐶§§ 𝑌§‘+ 𝑗𝜔𝐶§‘ 𝑌‘§+ 𝑗𝜔𝐶§‘ 𝑌‘‘− 𝑗𝜔𝐶§‘− 𝑗𝜔𝐶‘‘ → 𝑍§§ 𝑍§‘ 𝑍‘§ 𝑍‘‘ → 𝑍§§− 𝑗𝜔𝐿{ 𝑍§‘ 𝑍‘§ 𝑍‘‘− 𝑗𝜔𝐿y → 𝑌§§ 𝑌§‘ 𝑌‘§ 𝑌‘‘ → 𝑌§§− 𝑗𝜔𝐶œ¹ 𝑌§‘ 𝑌‘§ 𝑌‘‘− 𝑗𝜔𝐶œN → 𝑍§§ 𝑍§‘ 𝑍‘§ 𝑍‘‘ → 𝑍§§− 𝑅{− 𝑅z− 𝑗𝜔𝐿z 𝑍§‘− 𝑗𝜔𝐿z 𝑍‘§− 𝑅O− 𝑗𝜔𝐿z 𝑍‘‘− 𝑅y− 𝑅z− 𝑗𝜔𝐿z → 𝑌§§ 𝑌§‘ 𝑌‘§ 𝑌‘‘ . (49)
Los parámetros Y son más fáciles de extraer que otro tipo de parámetros en los circuitos de configuración 𝜋. Los voltajes de polarización aplicados también son afectados por los elementos parásitos. Una parte del voltaje es aplicado en las resistencias parásitas, por lo que el voltaje en los elementos intrínsecos es menor al aplicado en las terminales externas del transistor. Con las leyes de voltajes de Kirchhoff, los voltajes intrínsecos son:
𝑉yz\o_ = 𝑉
yzp£_− 𝐼yz 𝑅z+ 𝑅y , (50)
𝑉{z\o_ = 𝑉
{zp£_− 𝐼yz𝑅z . (51)
Es decir, los voltajes intrínsecos son función de la corriente 𝐼yz. Las ondas de corriente y voltaje medidas por el NVNA también son afectadas por los parásitos y su extracción
se verá más adelante. En el modelo lineal cuasi–estático, los parámetros Y son los siguientes: 𝑌§§ 𝑌§‘ 𝑌‘§ 𝑌‘‘ = 𝑗𝜔(𝐶¹O+ 𝐶¹N) −𝑗𝜔𝐶¹N 𝑔M− 𝑗𝜔𝐶¹N 𝑔NO + 𝑗𝜔(𝐶NO+ 𝐶¹N) . (52) La extracción de cada elemento es del siguiente modo:
𝐶¹O =𝐼𝑚 𝑌§§ + 𝐼𝑚{𝑌§‘} 𝜔 , (53) 𝐶¹N = −𝐼𝑚 𝑌§‘ 𝜔 , (54) 𝐶NO =𝐼𝑚 𝑌§‘ + 𝐼𝑚{𝑌‘‘} 𝜔 , (55) 𝑔M = 𝑅𝑒 𝑌‘§ , (56) 𝑔NO = 𝑅𝑒 𝑌‘‘ . (57)
Para el modelo lineal no cuasi–estático los parámetros Y son expresiones más complejas, ya que se agregan las resistencias 𝑅\, 𝑅¹N y el retardo 𝜏 como se observa a continuación: 𝑌§§ = 𝜔‘ 𝑅\𝐶¹O‘ 1 + 𝜔‘𝑅 \ ‘𝐶 ¹O‘ + 𝑅¹N𝐶¹N‘ 1 + 𝜔‘𝑅 ¹N‘ 𝐶¹N‘ + 𝑗𝜔 𝐶¹O 1 + 𝜔‘𝑅 \‘𝐶¹O‘ + 𝐶¹N 1 + 𝜔‘𝑅 ¹N‘ 𝐶¹N‘ , (58) 𝑌§‘ = − 𝜔‘𝑅 ¹N𝐶¹N‘ 1 + 𝜔‘𝑅 ¹N‘ 𝐶¹N‘ − 𝑗𝜔 𝐶¹N 1 + 𝜔‘𝑅 ¹N‘ 𝐶¹N‘ , (59) 𝑌‘§= 𝑔M𝑒•Š‹ž 1 + 𝜔‘𝑅 \‘𝐶¹O‘ − 𝜔‘𝑅 ¹N‘ 𝐶¹N‘ 1 + 𝜔‘𝑅 ¹N‘ 𝐶¹N‘ − 𝑗𝜔 𝑔M𝑅\𝐶¹O 1 + 𝜔‘𝑅 \‘𝐶¹O‘ + 𝐶¹N 1 + 𝜔‘𝑅 ¹N‘ 𝐶¹N‘ , (60) 𝑌‘‘= 𝑔NO+ 𝜔 ‘𝑅 ¹N𝐶¹N‘ 1 + 𝜔‘𝑅 ¹N‘ 𝐶¹N‘ + 𝑗𝜔 𝐶NO + 𝐶¹N 1 + 𝜔‘𝑅 ¹N‘ 𝐶¹N‘ . (61)
El circuito intrínseco y el cálculo de cada elemento fueron propuestos por Berroth y Bosh (1990): 𝐶¹O = 𝑅𝑒 𝑌§§ + 𝑅𝑒 𝑌§‘ ‘+ 𝐼𝑚 𝑌§§ + 𝐼𝑚 𝑌§‘ ‘ 𝜔 𝐼𝑚 𝑌§§ + 𝐼𝑚 𝑌§‘ , (62) 𝐶¹N = −𝐼𝑚 𝑌§‘ 𝜔 1 + 𝑅𝑒 𝑌§‘ ‘ 𝐼𝑚 𝑌§‘ ‘ , (63) 𝐶NO = 𝐼𝑚 𝑌‘‘ + 𝐼𝑚{𝑌§‘} 𝜔 , (64) 𝑅\ = 𝑅𝑒 𝑌§§ + 𝑅𝑒{𝑌§‘} 𝑅𝑒 𝑌§§ + 𝑅𝑒 𝑌§‘ ‘+ 𝐼𝑚 𝑌 §§ + 𝐼𝑚 𝑌§‘ ‘ , (65) 𝑅¹N = − 𝑅𝑒 𝑌§‘ 𝑅𝑒 𝑌§‘ ‘+ 𝐼𝑚 𝑌 §‘ ‘ , (66) 𝑔NO = 𝑅𝑒 𝑌‘‘ + 𝑅𝑒 𝑌§‘ , (67) 𝑔M = 𝑅𝑒 𝑌‘§ − 𝑅𝑒 𝑌§‘ ‘ + 𝐼𝑚 𝑌‘§ − 𝐼𝑚 𝑌§‘ ‘ 1 + 𝜔‘𝑅\‘𝐶¹O‘ , (68) 𝜏 = −1 𝜔arctan 𝑌 + 𝜔𝑋𝑅\𝐶¹O 𝑋 − 𝜔𝑌𝑅\𝐶¹O , (69) 𝑋 = 𝑅𝑒 𝑌‘§ − 𝑅𝑒 𝑌§‘ , (70) 𝑌 = 𝐼𝑚 𝑌‘§ − 𝐼𝑚 𝑌§‘ . (71)
En este método, 𝑅\ y 𝑅¹N son difíciles de extraer en los transistores GaN debido a los