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nativa no está correcta, como se muestra por el juego del aje­ drez: No nos las tenemos que haber con las figuras, ni repre­ sentan nada (en el sentido de Frege, no tienen significado). Hay una tercera cosa y es que los signos se pueden emplear como en el juego. Si en el juego del ajedrez se quisiera hablar de “significación” sería lo más natural decir: El significado del juego del ajedrez es lo que todos los juegos de ajedrez tienen en común.

Si en geometría construimos una figura, tampoco nos las te­ nemos que haber con las líneas y el papel. Los trazos son lo mismo que en aritmética los signos y en el ajedrez las figuras. Lo esencial son las reglas que rigen esas formaciones, o mejor dicho, no son lo “esencial”, sino aquello que de ellas me interesa.

Ecuación y tautología I

Cuando se termine toda la disputa, creo que las matemáticas tomarán el aspecto que tienen en la enseñanza elemental, don­ de se trabaja con la máquina de cálculo rusa.3Ca * El método que se sigue en la escuela elemental en matemáticas es absolu­ tamente riguroso y exacto, y no necesita perfeccionarse en modo alguno. Las matemáticas son siempre una máquina, un cálcu­ lo. El cálculo no describe nada y se puede emplear en aquello en que se puede emplear. Sólo se puede contar lo que se puede contar, y al efecto sirven los resultados del cálculo.

Fácilmente se puede llegar a la creencia de que la expresión de una ecuación es una tautología; que, v. gr.> 28 + 16 = 44 se podría escribir de la siguiente manera:

(E28x) cpx. (E16x) ipx.Ind.: D : (E44x) <px v^x

Esta expresión es una tautología. Pero para hallar el número del lado derecho, que ha convertido la expresión en tautoló­ gica, se ha precisado efectuar un cálculo, y ese cálculo es total­ mente independiente de la tautología. La tautología es el em-

56a Siendo maestro de escuela elemental, Wittgenstein apreció mucho la máquina de calcular rusa, aunque fuera mirada con reparo por la “refor­ ma escolar" que entonces se estaba introduciendo.

• Hasta el siglo xvn en toda Europa se usó el ábaco en la enseñanza de la aritmética y luego fue sustituido, en gran parte de ella, por el cálcu­ lo mental o escrito. En Rusia se empleó el aparato llamado chotki (rosario), que pasó también a la Europa Occidental, traído por Poncelet, quien fue prisionero de los rusos desde 1812 a 1814. [T.]

pleo del cálculo, no su expresión. El cálculo es un ábaco, una tabla de cuentas, una calculadora, algo que trabaja con trazos, cifras, etc., y se puede emplear ese cálculo para construir una tautología, pero ello no quiere decir que el cálculo tenga que ver con proposiciones y tautologías.

En realidad, todos en la escuela hemos calculado con nú­ meros, por lo demás con bastante exactitud, sin tener idea de lo que era una tautología. Luego, la esencia del cálculo no tiene que ver con la tautología.

Añadiré que a este respecto existen dos concepciones. Russell cree en Principia Mathematica que sus proposiciones lógicas dicen algo, que describen algo. En esa suposición es compren­ sible que opine que es la tautología lo que expresa el sentido de la ecuación 28 + 16 = 44. Pero si ahora pasamos a la otra concepción, que afirma que las proposiciones lógicas son tau­ tologías y nada dicen, se verá que es totalmente inconsecuente mantener que es la tautología lo que expresa que 28 + 16 = 44.

En un cierto sentido, la ecuación matemática se parece más a una proposición empírica que a una tautología. Esto es, se parece a aquello que muestra la tautología.

25 de septiembre de 1930 57

[[Va r ia]]

Parece como si se pudiera decir que solamente el presente posee realidad. Pero inmediatamente se ha de preguntar: ¿En contra­ posición a qué? ¿Quiere esto decir que no ha existido mi madre o que esta mañana no me he levantado? A todas vistas no se intenta decir semejante cosa. ¿Se querrá decir que los sucesos de los que he perdido la memoria no han existido? Tampoco se indica esto.

El momento actual, de que tratamos aquí, quiere indicar algo que no está en un espacio, sino que él mismo constituye un espacio.

Parece haber algo que no es generalidad, sino síntoma de gene­ ralidad; así, cuando v. gr. digo: “Si ves iluminada la ventana, es •

•r>7 Fecha sin lugar. Hasta el próximo encabezado ha escrito el estenó­ grafo por ambos lados. Al final hay un vacío de media página. Véase el "Prefacio de la edición alemana", págs. 24-25.

señal de que estoy en casa”. La ventana iluminada no tiene la multiplicidad de la generalidad.

No creo que sea correcto afirmar que toda proposición deba ser compuesta58 en sentido literal. ¿Qué pasaría si “ámbulo” sólo constara de la sílaba radical? Lo que sucede es que toda proposición es un caso del juego, correspondiente a una regla general para formación de signos.

Puedo preguntar: ¿Fue un trueno o un cañonazo? Pero no: ¿Fue un ruido? Puedo también.decir: “Averigua si esto es un círculo o una elipse”. Aquí se podría presentar la objeción de que la palabra “esto” tendrá significado diferente si la pro- j>osición es verdadera o si es falsa.

Es claro que la palabra “esto” ha de tener un significado lijo, resulte verdadera o falsa la proposición. Si puedo decir: ‘‘Esto es un círculo”, también ha de tener sentido decir: “Esto es una elipse.”

Puedo decir: “Limpia la mesa”, mas no: “Limpia todos los puntos.”

Cuando digo: “La mesa es marrón”, tiene sentido relacionar la propiedad “marrón” con un portador, la mesa. Si me puedo imaginar la mesa de color marrón, también la puedo idear de cualquier otro color. ¿Qué quiere decir que puedo represen­ tarme el mismo círculo de color rojo o verde? ¿Qué es lo que permanece igual? La forma del círculo; pero ésta no me la puedo representar sola.

“Esta proposición tiene sentido” es una expresión infeliz. “Esta proposición tiene sentido” suena como: “Este hombre tiene sombrero.”

Sin embargo: “Estos signos designan una proposición”, equi­ vale a: “Reforzamos la forma de la proposición con signos.” En la proposición reforzamos también la forma de la reali­ dad. [F.W.]

Si sé que estos signos designan una proposición, no puedo preguntar: ¿qué proposición?

r>8 T LP 4,032: “...(T a m b ié n la proposición 'ámbulo’ es compuesta, pues su raíz tiene otro sentido si acaba con otra terminación, o si su terminación se une a otra raíz)

La variable59

En la demostración de Euler60 está mal escribir los números primos en la forma plf p2, . ..p n, pues si el subíndice n sig­ nifica algún número, se presupone la ley de la continuidad y esa ley solamente se puede dar en la inducción. Pero se supone que la demostración tiene que demostrar.

¿Qué significa una variable? ¿Cómo puedo diferenciar el sig­ no de una variable del de algo desconocido?

El signo de una variable solamente puede significar una va­ riable si existen reglas para la sustitución del signo por núme­ ros. Que una variable puede recorrer todos los números natu­ rales queda manifiesto en el hecho de que las reglas para su aplicación tienen la forma de la inducción.

La demostración

La demostración no es un vehículo para Ilegal' a algún lugar, sino la cosa misma. Puedo decir: “Hasta tal lugar iré en tren, y luego caminaré hasta X.” En ese caso poseemos dos vehícu­ los para lo mismo, esto es, para el recorrido.

Por el contrario, no pueden llevar a lo mismo dos demos­ traciones diversas. Pues o esas dos demostraciones se encontra­ rán, como dos caminos que llevan al mismo sitio, o demues­ tran cosas distintas: A diversidad de demostraciones corresponde diversidad de lo demostrado.[l]

Números reales II

Solamente se puede hablar de un número real cuando se tie­ ne. Si en el caso de debernos limitar a fracciones decimales formadas regularmente, se nos dijera que una cantidad de esas fracciones ha caído bajo la mesa, podríamos preguntar: ¿Cuá­ les, pues? Deme una de ellas. Una prueba para “todos los nú­ meros reales“ es algo totalmente distinto de una prueba para todos los números naturales.

1] Prueba de que dos demostraciones demuestran lo mismo es que se pueda transformar una en otra.

so De nuevo aquí Waismann vuelve a su costumbre de escribir el en­ cabezamiento en el anverso de la hoja.

co Compárese: L. Euler, Variae Observationes circa series infinitas, 1744, Thcorema VII, y H. Hasse, Vorlesungen über Zahlentheorie, Berlín, 1964. páginas 192*93.

Además: No se puede demostrar en primer lugar que una proposición vale para los números naturales y posteriormente descubrir que también sirve para un ámbito mayor, pues en­ tonces se tiene ya otra proposición totalmente distinta.

Si indicamos que una proposición sirve para todos los nú­ meros reales, venimos a decir que sabemos por inducción que la proposición sirve para todos los números racionales; a lo que hay que añadir que si, v. gr., la variable indica inter­ pretaremos la proposición en el sentido de que vale hasta ese límite.

La demostración para todos los números reales no mantiene analogía con la demostración para todos los números raciona­ les, de modo que se pudiera decir: Lo que se ha demostrado para todos los números racionales —desde luego por inducción— se puede demostrar del mismo modo, aunque ampliando el proceso de la demostración, para todos los números reales.[l] * Si

1] No es pues, que primero demuestre la proposición para números racionales y luego la extienda, por analogía, a números reales. La demostración para números reales no mantiene ana­ logía con la demostración para números racionales sino que indica algo bastante diferente.

La demostración para los números reales no es la continua­ ción de la demostración para números racionales, sino que es algo muy diverso.

Si tenemos algún número real y vale también esto para él, no será debido a la inducción, sino a las reglas de cálculo que he establecido al contar con números reales.

Tal fórmula no significa por tanto: Para todos los números reales vale esto, sino: Cuando tenemos un número real, enton­ ces puedo interpretar la fórmula como si significara: Hasta el límite es esto lo que vale, y lo demuestro a base de reglas de cálculo que ya han sido fijadas para los números reales.

La cosa, por consiguiente, está así: Pienso un determinado número real y lo mantengo fijo durante la demostración. Mas esto cambia mucho si se trata de números racionales, pues en tal caso hay que ver si la fórmula todavía sirve mientras van variando los números racionales, por lo que la demostración tendría carácter de inducción. Pero en lo que vamos tratando no se presenta la cuestión de si vale la fórmula para “todos los números reales”, pues no dejamos que varíen los números reales.

No demostramos: Tómese como se tome la serie rlt r2, . . .rn. . es esto lo que vale.

La demostración para números reales no debe tomarse en modo alguno como demostración para números racionales. Sólo en este último caso es posible llevar a cabo la demostración a través de la inducción, lo que aparenta como si la demostra­ ción se pudiera aplicar a algo que está fuera de su ámbito.

Esto naturalmente es absurdo, puesto que la demostración debe contener todo lo que indica.

La demostración para todos los números reales no es una forma abreviada de algo que se pudiera demostrar también más prolijamente. Lo extra que entre todavía en la demostración de los números racionales no es un analogón • de la inducción. Si

No permitimos que los números reales variables recorran to­ dos los valores —esto es, todas las leyes—.

Solamente nos atenemos a las reglas de cálculo, de manera exclusiva.

Si una fórmula vale para un número natural, no sé por ello todavía si vale también para otro, y tengo que demostrarlo. Variable n de los números naturales:

Demostración

F (n) ---> Fórmula básica --- > Inducción

Variable p de los números reales: Demostración

F (p) ---> Fórmula básica---► Reglas de cálculo para números reales

Si demuestro que la fórmula vale para los números reales, es porque he deducido todo de las reglas de cálculo estableci­ das para los números reales. Demuestro por inducción la fórm u­ la para números reales, y luego muestro que cabe emplearla con los números racionales, y esto en base a las reglas de cálcu­ lo que he establecido para los números reales; pero no demues­ tro que la fórmula valga para “todos los números reales“, precisamente porque las reglas de cálculo para los números rea- íes no tienen la forma de la inducción.

“Luego, la proposición vale para todos los números.” De nue­ vo, hay que decir: No existe tal “luego”. La demostración lo La demostración de los números reales no está en deuda con nadie.

Supongamos, por ejemplo, que he demostrado la fórmula ara . an = am+ n para los valores racionales de m, n, y esto por inducción, y que ahora quisiera demostrarla para los valores de los números reales. ¿Cómo procederé? A todas vistas, no es posible llevar a cabo la demostración por inducción.

La idea de que vale la proposición de “todos los números reales“, los conozca o no, está equivocada; en realidad sola­ mente puedo hablar de un número real cuando lo tengo, y sólo puedo darle a la proposición un significado si conozco el número real.

No se puede pensar: La proposición vale para todos los nú­ meros racionales, y a continuación mostrar que también vale para todos los números reales. Cuanto se añada no es una de­ mostración adjunta.

Cuanto se añada a la demostración no es como una segunda parte de ella, comparable a la inducción. Esta segunda parte tiene otro carácter muy distinto: Es una interpretación.

Si, pues, se establece una fórmula para números reales, hay en ella una prueba y una interpretación.

I-a fórmula se ha de entender así: Si se me da un número