Definici´on.Llamaremosfibrado tangente del abiertoU deE, a la uni´on T(U) de todos los espaciosTa(E), paraa∈U, con la estructura topol´ogi-
ca y diferenciable definida por la siguiente biyecci´on can´onica T(U)−−→U× E, va (a, v),
dondeva∈Ta(E) es la derivada direccional enarelativa al vectorv∈ E.
Llamaremosaplicaci´on proyecci´on can´onica enU a la aplicaci´on π:T(U)−−→U , π(vp) =p,
sivp∈Tp(E).
1.4.
Campos tangentes
1.4.1.
Campos tangentes
Definici´on. Por un campo de vectores en un abierto U de un espacio vectorialE entenderemos una aplicaci´on
F: U −−→ E.
Diremos que el campo es de claseksi F es de clasek.
Figura 1.3. Campo de vectores La interpretaci´on de una aplica-
ci´on F como un campo de vecto- res queda patente en la figura (1.3), donde hemos representado en cada punto (x, y) del plano real el vector F(x, y) = (cosxy,sen (x−y)). Aun- que esta definici´on es muy visual y sugerente, tiene el problema de no ser muy manejable y la desventaja de necesitar la estructura vectorial deE
para que tenga sentido. Por ello recordando que un vectorv=F(p)∈ E en un puntop∈U define una derivaci´onvp∈Tp(E), damos la siguiente
definici´on equivalente, aunque s´olo como justificaci´on para una posterior definici´on mejor.
Definici´on. Llamaremos campo de vectores tangentes , de clase k, en U, a un conjunto de vectores
{Dp ∈Tp(E) : p∈U},
que satisfacen la siguiente condici´on: Para cada f ∈ C∞(U), la funci´on
p∈U −−→Dpf ∈R, est´a en Ck(U).
Observemos que dar un campo de vectores tangentes {Dp}p∈U es
equivalente a dar una secci´on deπ:T(U)−→U σ:U −−→T(U), σ(p) =Dp.
Ejercicio 1.4.1 a) Demostrar que existe una biyecci´on entre campos de vecto- resF :U −→ E de claseky campos de vectores tangentes{Dp∈Tp(E) :p∈ U}de clasek, que verifica:
i) Si aFle corresponde{Dp}y aG{Ep}, entonces aF+Gle corresponde
{Dp+Ep}.
ii) Si aF le corresponde{Dp}yf∈ Ck(U), entonces af F le corresponde
{f(p)Dp}.
b) Demostrar que{Dp∈Tp(E) : p∈U}es un campo de vectores tangentes
de clase k si y s´olo si la aplicaci´onσ:U −→T(U),σ(p) =Dpes una secci´on
deπ, de clase k.
Definici´on. Llamaremos campo tangente de clase ken el abiertoU de E a todaderivaci´on
D:C∞(U)−−→ Ck(U),
es decir toda aplicaci´on que verifique las siguientes condiciones: 1.-D(tf+rg) =tDf+rDg,
2.-Dt= 0,
3.- Regla de Leibnitz:D(f g) =f(Dg) +g(Df), paraf, g∈ C∞(U) yt, r∈
R.
Definici´on.Dado un campo tangenteDde clasek, llamaremosintegral primera deDa toda funci´onf ∈ Ck+1(U) tal que
1.4. Campos tangentes 19
Nota 1.19 Denotaremos conDk(U) el conjunto de los campos tangentes
a U de clase k, y por comodidad para k = ∞ escribiremos D(U) = D∞(U). Observemos que tenemos las inclusiones
D(U)⊂ Dk(U)⊂ D0(U),
por lo que a menudo hablaremos de los campos continuos, por ser los mas generales. No obstante en el siguiente tema introduciremos los campos localmente lipchicianos, que denotaremos conDL(U) y que est´an entre
los de clase 1 y los continuos y que ser´an los que consideremos para estudiar el problema de unicidad de soluci´on de una ecuaci´on diferencial.
En Dk(U) definimos la suma de dos campos D, E ∈ Dk(U) y el
producto de una funci´ong∈ Ck(U) por un campoD, de la forma,
(D+E)f = Df+Ef, (gD)f = g(Df), para todaf ∈ C∞(U). Tales operaciones dotan aD
k(U) de una estruc-
tura dem´odulo sobre laR–´algebra Ck(U), pues se tienen las siguientes propiedades,
f(D+E) = f D+f E, (f+g)D = f D+gD,
(f g)D = f(gD), 1D = D.
y para cadak,Dk(U) forman un haz de m´odulos.
A continuaci´on veremos que dar un campo tangente de clasekenU consiste en elegir de forma diferenciable (de clasek), un vector tangente en cada punto deU.
Proposici´on 1.20 Existe una biyecci´on entre campos tangentes de clase ky campos de vectores tangentes de clase k, para la que se tiene:
a) Si D, E∈ Dk(U)y p∈U, entonces (D+E)p=Dp+Ep.
b) Si f ∈ Ck(U), entonces(f D)
p=f(p)Dp.
Demostraci´on. Dada laD definimos losDp de la forma.
Rec´ıprocamente dado un vectorDp∈Tp(E), en cadap∈U, definimos
el campo tangenteD∈ Dk(U) de la forma
Df(p) =Dpf.
Dado un sistema de coordenadas linealesxi enE, es f´acil demostrar
que los operadores diferenciales ∂ ∂xi :C∞(U)−−→ C∞(U), ∂f ∂xi (p) = l´ım t→0 f(p+tei)−f(p) t ,
para cadap∈U y cadaf ∈ C∞(U), son derivaciones ∂/∂x
i∈ D(U).
Si no hay confusi´on usaremos la notaci´on∂i=∂/∂xi.
A continuaci´on veremos que Dk(U) es un m´odulo libre sobreCk(U)
con base las∂i.
Teorema 1.21 Dado un sistema de coordenadas linealesxi en E yD ∈
Dk(U), existen ´unicas funcionesfi∈ Ck(U)tales que
D= n X i=1 fi ∂ ∂xi ,
Demostraci´on.- Que la expresi´on es ´unica es inmediato aplic´an- dosela a lasxi. Para ver que existe basta demostrar queD=P(Dxi)∂i,
pues Dxi ∈ Ck(U). Lo cual es una consecuencia inmediata de (1.15) y (1.20).
Definici´on. DadosU ⊂W abiertos de E y D ∈ Dk(W), definimos la
restricci´on del campo D a U como el campo deD(U), correspondiente por(1.20)a
{Dp ∈Tp(E) : p∈U},
o equivalentemente por el ejercicio (1.2.1), a la restricci´on a U de la aplicaci´on de clasek,F:W → E, correspondiente aD.
Es f´acil demostrar que sixi es un sistema de coordenadas lineales en
E, entonces la restricci´on del campo D= n X i=1 Dxi ∂ ∂xi ,
1.4. Campos tangentes 21 aU es la derivaci´on n X i=1 fi ∂ ∂xi , parafi=Dxi|U, la restricci´on a U deDxi.
Nota 1.22 Obs´ervese que toda derivaci´on deDk(U) es autom´aticamente
continua, por(1.21), respecto de la topolog´ıa definida en(1.10). Obs´ervese tambi´en que toda derivaci´on
D: Ck+1(U)−−→ Ck(U),
define una derivaci´on de Dk(U), pues C∞(U) ⊂ Ck+1(U), es decir del
tipoPf
i∂i —dado un sistema de coordenadas lineales xi—, con lasfi
de clase k. Rec´ıprocamente toda derivaci´on Pf
i∂i ∈ Dk(U), con las
fi ∈ C∞(U), se extiende —no de un ´unico modo—, a una derivaci´on
del tipo (1.22). Ahora bien si exigimos que la extensi´on sea continua — respecto de la topolog´ıa definida en(1.10)—, tendremos que s´ı es ´unica y esPf
i∂i. Demu´estrese eso como ejercicio.
Definici´on. Dada F:V ⊂ E2 →U ⊂ E1 de clase k+ 1, y dos campos
tangentesD∈ Dk(V) yE∈ Dk(U) diremos queF lleva D aE, si para
cadax∈V
F∗Dx=EF(x).
Figura 1.4.F lleva el campoDal campoE
Si E1 =E2, U∪V ⊂W abierto y D ∈ Dk(W) diremos queF deja
invariante aDsiF lleva DenD, es decir si para cadax∈V F∗Dx=DF(x).
Proposici´on 1.23 SeaF:U ⊂ E1→V ⊂ E2, de clasek+ 1,D∈ Dk(U)
yE∈ Dk(V). Entonces son equivalentes:
i)F llevaD enE. ii) F∗D=F∗E.
iii)D◦F∗=F∗◦E.
Demostraci´on.H´agase como ejercicio.
1.4.2.
Campo tangente a soporte.
Consideremos una aplicaci´on de clase infinito F :V ⊂ E2−−→U ⊂ E1.
Definici´on. Llamaremoscampo tangente a U con soporte en V relativo aF, de clasek, a las derivaciones
DF:C∞(U)−−→ Ck(V),
con la regla deLeibnitz
DF(f g) =DFf·F∗g+F∗f·DFg. Denotaremos con DF
k(U) el C
k(V)–m´odulo de estos campos con las
operaciones
(DF+EF)f =DFf +EFf, (g·DF)f =g·DFf.
Nota 1.24 Si F es de claser, podemos definir los campos a soporte de clasek≤rcomo las derivaciones
DF:C∞(U)→ Ck(V).
Definici´on. Dada la aplicaci´on F de clase∞, definimos los morfismos de m´odulos
F∗:D(V)−−→ DF(U), (F∗D)f =D(F∗f), F∗:D(U)−−→ DF(U), (F∗D)f =F∗(Df),
Nota 1.25 Lo mismo siFes de clasek+1 considerando todos los campos de claser≤k.
1.4. Campos tangentes 23
Ejercicio 1.4.2 Demostrar que entre los conjuntos de vectores
{DFp ∈TF(p)(E1) : p∈V},
con la propiedad de que para cadaf∈ C∞
(U), la funci´on
p∈V −−→DFpf∈R,
est´a enC∞(V) y el espacioDF
(U), existe una biyecci´on verificando las siguien- tes condiciones:
i) SiDF, EF ∈ DF
(U), entonces para cadap∈V
(DF+EF)p=DFp +E F p.
ii) Sif∈ C∞
(V), entonces para cadap∈V
(f·DF)p=f(p)·DFp.
Ejercicio 1.4.3 SeaF:V ⊂ E2→U ⊂ E1, diferenciable. Demostrar que
i) Para cadaD∈ D(V) yp∈V
(F∗D)p=F∗Dp.
ii) Para cada campoD∈ D(U) yp∈V
[F∗D]p=DF(p),
y queDF(U) es un m´odulo libre con base F∗ ∂ ∂xi ,
para cada sistema de coordenadas linealesxi enU.
iii) Que {DF
p ∈TF(p)(E1) : p ∈V}, satisface las condiciones de (a) —y
por tanto define un campo a soporteDF ∈ DF
(U)— si y s´olo si
σ:V −−→T(U), σ(p) =DFp,
es una aplicaci´on de clase∞, tal queπ◦σ=F.
1.4.3.
Campo a soporte universal.
Consideremos enE un sistema de coordenadas linealesxiy enU× E
las coordenadas (xi, zi) naturales, es decir
ahora pas´emoslas aT(U) por la biyecci´on T(U)→U× E,
vp→(p, v),
xi(vp) =xi(p),
zi(vp) =xi(v) =vpxi,
Es decir que vp ∈ T(U) tiene coordenadas (p1, . . . , pn, v1, . . . , vn) si
y s´olo sip=π(vp) tiene coordenadas (p1, . . . , pn) y
vp= n X i=1 vi ∂ ∂xi p
Definici´on.Llamaremoscampo a soporte universal en U al campo tan- gente aU con soporte enT(U),E∈ Dπ(U), que por el ejercicio (1.4.3)
queda determinado por la aplicaci´on identidad
σ:T(U)−−→T(U), σ(Dp) =Dp,
es decir que para cadav∈T(U) verifica Ev=v.
Adem´as en las coordenadas (xi, zi) deT(U), vemos por el ejercicio
(1.4.3), que E= n X i=1 zi·π∗ ∂ ∂xi , pues para cadaDp∈T(U)
Exi(Dp) =Dp(xi) =zi(Dp).