VI. MAKING LEARNING MORE ATTRACTIVE
2. Performance and Progress in the field of making learning more attractive
Igual que todos los espacios tangentes eran can´onicamente isomorfos al espacio vectorial inicialE, tambi´en todos los espacios cotangentes son can´onicamente isomorfos al dualE∗ deE. Esto nos permite definir una
biyecci´on can´onica
T∗(U)−−→U × E∗, ωp (p, w),
dondeT∗(U) es la uni´on disjunta de los espacios cotangentes de puntos deU.
Definici´on.SeaU un abierto deE. Llamaremosfibrado cotangentedeU, al conjunto T∗(U) uni´on de todos los espacios cotangentesTx∗(E), para x ∈ U, dotado de la estructura diferenciable natural, correspondiente por la biyecci´on anterior, a la de U× E∗, que es un abierto del espacio
vectorial de dimensi´on 2n,E × E∗.
Para cada ω ∈ T∗(U) existir´a un ´unico x∈ U tal que ω ∈ Tx∗(E), podemos as´ı definir la aplicaci´onproyecci´on
π:T∗(U)−−→U,
tal queπ(ω) =x. De tal modo que las fibras de cadax∈U son π−1(x) =Tx∗(E).
1.6.
Uno formas
Definici´on. Para cada abierto U ⊂ E, denotaremos con Ω(U) el dual deD(U) respecto deC∞(U), y en general con Ω
k(U) el dual del m´odu-
lo de los campos tangentes Dk(U) respecto de Ck(U), es decir de las
aplicacionesCk(U)–lineales
ω:Dk(U)−−→ Ck(U),
que llamaremos 1–formasen U, dotadas de las operaciones de Ck(U)–
m´odulo,
(ω1+ω2)D=ω1D+ω2D, (f ω)D=f(ωD),
y para cadak, Ωk(U) forman un haz de m´odulos. Definici´on. Llamaremosdiferencial a la aplicaci´on
d: Ck+1(U)−−→Ω
k(U), df(D) =Df,
para cadaf ∈ Ck+1(U) yD∈ D
k(U) (ver (1.22).)
Definici´on. Diremos que una 1–forma ω ∈ Ωk(U) es exacta si existe
f ∈ Ck+1(U) tal que
ω=df.
Ejercicio 1.6.1 Demostrar que la diferencial es una derivaci´on.
Ejercicio 1.6.2 Demostrar que Ωk(U) es unCk(U)–m´odulo libre con basedxi,
para cada sistema de coordenadas linealesxi, y que para todaf∈ Ck+1(U)
df=X ∂f
∂xi dxi.
Nota 1.26 Observemos que para una variable, la f´ormula anterior dice df = df
dxdx.
Esto permite entender el sentido que puede tener la cancelaci´on de dife- renciales.
1.6. Uno formas 29
Nota 1.27 Debemos observar que enRn aunque la noci´on dedx1 tiene
sentido, puesx1 es una funci´on diferenciable, la de ∂/∂x1 no lo tiene,
pues para estar definida necesitamos dar a la vez todas las funciones coordenadasx1, . . . , xn.
Para verlo consideremos enR2las coordenadas (x, y) y otras coorde-
nadas (x, x+y). En cada caso la∂/∂xtiene un significado distinto, pues mientras en el primero∂(x+y)/∂x= 1, en el segundo∂(x+y)/∂x= 0.
Definici´on.Llamaremoscampo de vectores cotangentesde clasekenU a toda colecci´on
{ωx∈Tx∗(E) : x∈U},
para la que, dado D ∈ Dk(U) y sus vectores correspondientes Dx, la
aplicaci´on
x∈U −−→ωxDx∈R,
es de clasek.
Ejercicio 1.6.3 1.- Demostrar que en un espacio vectorialE, el concepto campo de vectores cotangentes de claseken el abiertoUes equivalente al de aplicaci´on de clasek,F:U → E∗
.
2.- Demostrar que existe una biyecci´on entre las 1–formasω∈Ωk(U) y los
campos de vectores cotangentes enU de clasek, para la que se tiene: (ω1+ω2)x=ω1x+ω2x,
(f ω)x=f(x)ωx,
(df)x=dxf
paraω, ω1, ω2∈Ωk(U),x∈U yf∈ Ck(U).
Ejercicio 1.6.4 Demostrar queω∈Ω(U) si y s´olo siσ:p∈U →ωp∈T∗(U)
es una secci´on deπ.
Teorema 1.28 El fibrado cotangente tiene una 1–forma can´onica λlla- mada uno–forma de Liouville.
Demostraci´on.Para cadap∈U yω∈Tp∗(E) definimosλw=π∗ω,
es decir que para cadaDw∈Tw[T∗(U)],
Dado un sistema de coordenadas linealesxi enE y sus dualeszi enE∗,
consideremos el sistema de coordenadas (xi, zi) enT∗(U)'U× E∗, para
las que, siωp se corresponde con (p, ω), entonces
xi(ωp) =xi(p), zi(ωp) =zi(ω) =ωp(∂ip),
y en este sistema de coordenadas se tiene que λ=
n X
i=1 zidxi,
lo que prueba su diferenciabilidad.
Ahora veremos una propiedad caracter´ıstica de las funciones y de las 1–formas, pero de la que los campos tangentes carecen.
Teorema 1.29 SeaF:U ⊂ E1→V ⊂ E2, de clasek+ 1. Entonces para
cada γ∈Ωk(V) existe ω=F∗(γ)∈Ωk(U), definida en cada x∈U de
la forma
ωx=F∗γF(x).
Adem´asF∗: Ωk(V)→Ωk(U)es un morfismo de m´odulos, que conserva
la diferencial. Es decir tiene las siguientes propiedades, parag∈ Ck(V)
yγi∈Ωk(V):
F∗(γ1+γ2) =F∗γ1+F∗γ2, F∗[gγ] = [F∗g][F∗γ], F∗(dg) =d(F∗g).
Demostraci´on. Dado un sistema de coordenadas linealesyi enE2,
existengi∈ Ck(V) tales que
γ=Xgjdyj,
entonces si llamamosFj =yj◦F, tendremos que para cadax∈U
ωx=F∗[γF(x)]
=Xgj[F(x)]F∗(dF(x)yj)
=Xgj[F(x)]dxFj,
y si consideramos un campo de vectores tangentesDx, correspondientes
a un campoD∈ D(U), la funci´on que a cadax∈U le hace corresponder ωxDx=
X
gj[F(x)]DFj(x),
1.6. Uno formas 31
1.6.1.
Campos gradiente.
Figura 1.8. Gradiente dex2+y2
Por ´ultimo si en un espacio vec- torialEtenemos un producto interior <·,·>, entoncesEyE∗se identifican
can´onicamente por el isomorfismo E −−→ E∗ , v < v,·> . y en todos los espacios tangentes Tp(E) tenemos definido un produc-
to interior, pues todos son can´onica- mente isomorfos aE. Esto nos permi-
te identificarTp(E) yTp∗(E), para cadap∈ E, mediante el isomorfismo
(1.6) Tp(E)−−→Tp∗(E), Dp < Dp,·>,
y tambi´en nos permite definir para cada dos campos D, E ∈ Dk(U), la
funci´on< D, E >, que en cadaxvale< Dx, Ex>, la cual es de clasek,
pues si en E elegimos una base ortonormal ei, entonces la base dualxi
tambi´en es ortonormal y por tanto tambi´en lo son las bases
∂
∂xi
x
∈Tx(E), dxxi ∈Tx∗(E)),
y se tiene que paraD=P
fi∂xi,E=Pgi∂xi, < D, E >= n X i=1 figi.
Por tanto podemos definir el isomorfismo de m´odulos γ:Dk(U)→Ωk(U),
D γD,
γD(E) =< D, E > .
Definici´on. Dado en E un producto interior, llamaremos gradiente de una funci´onf ∈ Ck+1(U), al campo gradf =D∈ D
k(U) tal que
γD=df,
es decir el campoD que en cada puntop∈U define el vectorDpcorres-
Ejercicio 1.6.5 Consideremos un producto interior<·,·>enE, una base orto- normaleiy el sistema de coordenadas linealesxicorrespondientes a esta base.
Demostrar que: 1.- Para todaf∈ Ck+1 (U) gradf=X ∂f ∂xi ∂ ∂xi ∈ Dk(U).
2.- Demostrar que el campoD= gradf, es un campo perpendicular a las superficies de nivel def. (Ver Fig.1.8)
3.- Demostrar que si U ⊂ R2, entonces el campo gradf define en cada
puntoxel vectorDxel cual indica la direcci´on y sentido de m´axima pendiente
de la gr´afica defen el punto (x, f(x)).
1.7.
Sistemas de coordenadas
Proposici´on 1.30 Las funciones v1, . . . , vn ∈ Ck(U) son un sistema de
coordenadas locales de claseken x∈U si y s´olo si lasdxvi son base de
Tx∗(E).
Demostraci´on. Por el teorema de la funci´on inversa sabemos que (vi) es un sistema de coordenadas locales enx∈U si y s´olo si, dado un
sistema de coordenadas linealesxi, se tiene que
det∂vi ∂xj
6= 0, y esto equivale a que los vectores cotangentes
dxvi= n X j=1 ∂vi ∂xj (x)dxxj, sean base.
Nota 1.31 Observemos que de este resultado se sigue que si las diferen- ciales de un n´umero finito de funciones diferenciables, son independientes en un punto, tambi´en lo son en un entorno del punto, pues pueden ex- tenderse a una base.
1.7. Sistemas de coordenadas 33
Consideremos un difeomorfismo de clasek+ 1
F = (v1, . . . , vn) :U ⊂ E →F(U) =V ⊂Rn, entonces las 1–formas
dv1, . . . , dvn,
son base de Ωk(U), pues dado un sistema de coordenadas linealesxi en
E, tendremos que dvi= n X j=1 ∂vi ∂xj dxj.
Definici´on. En los t´erminos anteriores denotaremos con ∂
∂v1
, . . . , ∂ ∂vn
∈ Dk(U),
la base dual de lasdvi. Si E es dedimensi´on 1, yv es una coordenada
deU ⊂ E, escribiremos
df dv =
∂f ∂v.
Ejercicio 1.7.1 En los t´erminos anteriores demostrar que: 1) Paray1, . . . , yn
las proyecciones deRn, y para cadap∈U, se tiene que
F∗ ∂ ∂vi p = ∂ ∂yi F(p) . 2) Sif=g(v1, . . . , vn), entonces ∂f ∂vi = ∂g ∂yi (v1, . . . , vn). 3) Para cadaf∈ C1 (U), df= n X i=1 ∂f ∂vi dvi. 4) Para cadaω∈Ωk(U), ω= n X i=1 ω ∂ ∂vi dvi.
5) Para cada campoD∈ Dk(U)
D= n X i=1 Dvi ∂ ∂vi .
Ejercicio 1.7.2 Demostrar que si (u1, . . . , un) y (v1, . . . , vm) son sistemas de
coordenadas de claseken abiertosU ⊂ E1yV ⊂ E2respectivamente, entonces
(w1, . . . , wn+m) tales que para (p, q)∈U×V
wi(p, q) =ui(p), parai= 1, . . . , n, wn+j(p, q) =vj(q), paraj= 1, . . . , m,
son un sistema de coordenadas de clasekenU×V.
Ejercicio 1.7.3 Demostrar que las funciones
ρ=px2+y2, θ= arc cosx/px2+y2∈(0, π) siy >0, arc cosx/px2+y2∈(π,2π) siy <0, arcsiny/px2+y2∈(π/2,3π/2) six <0.
forman un sistema de coordenadas —llamadas polares— de clase ∞ en el abierto
R2− {(x,0)∈R2: x >0}.
Ejercicio 1.7.4 i) En los t´erminos del ejercicio anterior calcular:
∂x2 ∂ρ, ∂θ ∂x, ∂[log (θ)·y] ∂θ , ∂xy ∂θ .
ii) Escribir en las coordenadas polares los campos
x∂ ∂x+y ∂ ∂y, −y ∂ ∂x+x ∂ ∂y,
y dar una integral primera de cada uno.
iii) Escribir en coordenadas (x, y) los campos:
∂ ∂θ, ∂ ∂ρ, ρ ∂ ∂θ, ρ ∂ ∂ρ+θ ∂ ∂θ.
iv) Escribir en coordenadas polares las 1–formas
dx, dy, xdx+ydy, 1
ydx− x y2dy.
v) Escribir en coordenadas (x, y) las 1–formas
1.8. Ecuaciones diferenciales 35
Ejercicio 1.7.5 a) Encontrar dos integrales primeras del campo deR3
D=−y ∂ ∂x+x ∂ ∂y+ (1 +z 2 ) ∂ ∂z.
b) Encontrar una integral primera com´un a los campos deR3
D=−y ∂ ∂x+x ∂ ∂y, E= 2xz ∂ ∂x+ 2yz ∂ ∂y+ (x 2 +y2−1−z2)∂ ∂z.
1.8.
Ecuaciones diferenciales
Definici´on. Llamaremos curva parametrizada en el abierto U de E a toda aplicaci´on de clase 1, definida en un intervalo real
X:I⊂R−−→U.
Figura 1.9. Curva integral deD
Definici´on. DadoD∈ Dk(U) yp∈
U, diremos que una curva parametri- zada X : I −→ U es una soluci´on de la ecuaci´on diferencial ordinaria (EDO)aut´onoma definida porD, o unacurva integral deD, si para cada t∈I X∗ ∂ ∂t t =DX(t).
Seaxi un sistema de coordenadas enE yD=Pfi(x1, . . . , xn)∂i. Si
denotamos con
Xi(t) =xi[X(t)],
paraX una curva integral deD, tendremos que Xi0(t) =fi[X1(t), . . . , Xn(t)].
Ejercicio 1.8.1 Demostrar que toda integral primera f de un campo D es constante en cada curva integralX deD, es decir quef◦X=cte.
Ejercicio 1.8.2 Encontrar la curva integral —en forma impl´ıcita—, del campo deR3 D=−y ∂ ∂x+x ∂ ∂y+ (1 +z 2 ) ∂ ∂z,
que pasa por (1,0,0).
1.8.1.
Cambio de coordenadas.
Dado un sistema de ecuaciones diferenciales en un sistema de coor- denadasxi
Xi0(t) =fi[X1(t), . . . , Xn(t)],
y dado otro sistema de coordenadasv1, . . . , vn, podemos escribir el sis-
tema de ecuaciones en este sistema de coordenadas observando que si D= n X i=1 fi(x1, . . . , xn) ∂ ∂xi = n X i=1 (Dvi) ∂ ∂vi = n X i=1 n X j=1 fj(x1, . . . , xn) ∂vi ∂xj ∂ ∂vi = n X i=1 n X j=1 hij(v1, . . . , vn) ∂ ∂vi ,
entonces las componentes deX en el sistema de coordenadas vi, Yi =
vi◦X, satisfacen el sistema de ecuaciones
Yi0(t) =
n X
j=1
hij[Y1(t), . . . , Yn(t)].
Ejercicio 1.8.3 Obtener la expresi´on anterior aplicando la regla de la cadena aYi0= (vi◦X)0.
Ejercicio 1.8.4 Escribir los sistemas de ecuaciones diferenciales
( x0=−y y0=x x0= x y2 y0=1 y
1.8. Ecuaciones diferenciales 37