Patterns for Task-parallel Programming on NUMA Architectures

• La expresión metajuego hace referencia (lo mismo que me tama temá­ ticas) a la jerarquía de lenguajes, según la cual una expresión puede tener otra que la explique. Si digo “caballo” es trisílabo, trisílabo es un meta- lenguaje de “caballo”; la sintaxis es un mctalenguaje de la proposición. Wittgenstcin indica que no se ha ido más allá (metá, del griego, más allá) del primer nivel de las matemáticas, al afirmar la posibilidad de la con­ tradicción en los axiomas, pues se podría resolver al mismo nivel con otra nueva regla. Para él las matemáticas son convencionales e inventadas. IT.l

Pero se ha de decir que esas antinomias no tienen que vel­ en absoluto con las matemáticas; no existe conexión entre las dos cosas. Las antinomias, se ha de saber, no han surgido del cálculo, sino del lenguaje ordinario que toma las palabras en dos sentidos. La solución de las antinomias está en sustituir las expresiones confusas por otras precisas (al tiempo que se atien­ da al significado propio de las palabras). Las antinomias des­ aparecerán por el análisis, pero no por la demostración.

Si debido a alguna confusión salieran contradicciones en ma­ temáticas, no se podrían aclarar con una demostración. La de­ mostración no demuestra más de lo que demuestra, pero no puede levantar neblinas. Lo que aquí se precisa es un análisis y no una demostración. La demostración no puede disipar la niebla.

Esto enseña que no se puede dar la demostración de la in- contradictoriedad (en tanto se consideren las contradicciones de las matemáticas del tipo de las contradicciones del común) y que la demostración no puede brindar lo que se pide de ella. Si no veo claro cuál es la esencia de las matemáticas, no ha­ brá demostración que me ayude. Si, por el contrario, entiendo cuál es la esencia de las matemáticas, no se me acudirá la cues­ tión sobre la incontradictoriedad. [?]

Fl descubrimiento de S h effer72

rEn qué sentido fue propiamente un descubrimiento que en lógica se pase con una sola constante?

En realidad, ¿qué ha descubierto Sheffer? *

Imaginémonos que, por una casualidad, Frege hubiera escri­ to sus leyes fundamentales de la lógica según el esquema:

y hubiera creído que, de todas formas, necesitaba dos constan­ tes, pero que llegara otro, viera lo que Frege no había visto, y

Transactions of the American Malhemalical Sociely, 14 (1913), pági­ nas 481-8. De las dos interpretaciones posibles de una constante lógica, toma aquí Wittgenstein la forma-o, preferida por Nicod (Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 19, 1917-20, págs. 32-41), aunque él en el TLP había utilizado la forma-y.

* El lógico americano H. M. Sheffer, demostró en 1913 que todas las funciones de verdad de una proposición se podían formar de la negación simultánea (llamada también conjunta) no-p y no-q (__,p,__ q) . El signo de negación conjunta, por él introducido, es “ í ”. [T.]

dijera: Podemos valernos de una sola constante. ¿Qué habría descubierto en verdad? Habría visto el nuevo sistema dentro del antiguo. Luego, todo se reduce al ver: Mientras no se vea un sistema, no se le tiene. Frege, pues, no lo hubiera tenido, aunque todo lo hubiera escrito en la multiplicidad del nuevo sistema. No se puede buscar el nuevo sistema desde el punto de vista del antiguo, y por lo mismo no se puede demostrar por la transformación.

Parece que se puede decir: En lógica podemos bastarnos con tres constantes y aun con dos, ¿no podríamos pasar con una sola? Se diría que es una pregunta regular, pero no lo es, ya que no dispongo de método alguno para buscar el sistema. Véase, asimismo: No se pueden contar las constantes lógicas como puedo contar tres manzanas, pues las manzanas constitu­ yen objetos que caen bajo un concepto, mientras que las cons­ tantes lógicas son una estructura. Lo que aquí llamo una cons­ tante lógica tiene una estructura que es diversa de la de dos constantes lógicas. Lo que puedo contar son signos, y en las cons­ tantes éstos no importan.

No puede haber demostración alguna que me diga que pue­ de bastarme una constante lógica.

Si, pues, alguien preguntara: ¿Se puede pasar con una sola constante?, o si se quisiera demostrar que es suficiente una sola constante, carecería de sentido.

Este ejemplo aclara lo que quiero decir cuando afirmo que no puede haber demostración sobre la incontradictoriedad de las matemáticas y que si la hubiera no serviría para ningún asunto sobre principios.

[[Las reglas del juego y las configuraciones de éste]] Russel tenía la idea de que sus cinco prim itive proposi­ tio n s72* podían ser al propio tiempo las configuraciones fun­ damentales y las reglas del proceder en matemáticas. Pero se equivocó, lo que se vio, además, porque él mismo empleó otras reglas (¡en palabras!).

Por tanto, debemos distinguir las configuraciones básicas, del cálculo (las posiciones de salida del juego), y las reglas que permiten que podamos pasar de una configuración a otra.

Esto lo aclaró ya Frege en su crítica de las teorías de Heine

72a para las cinco verdaderas “primitive propositions”, véase Principia Mathematica I, Cambridge, 1910, págs. 96-7,*1.2-# 1.6.

y Thomae: “¡Es sorprendente! ¿Qué diría quienquiera que pre­ guntara por las reglas del ajedrez y por toda respuesta se le mostrara un grupo de piezas sobre el tablero? Probablemente diría que no podía hallar regla alguna, pues no vería sentido en las figuras y su combinación.” (Grundgesetze der Arithme- tik, II, parágrafo 106, pág. 113.)

Si tomo el cálculo como cálculo, las configuraciones del jue­ go no me pueden manifestar contradicción alguna (a menos que arbitrariamente tome una figura, la llame “contradicción*' y la excluya del juego. Pero aun en este caso, solamente demos­ traría que estoy jugando un juego diferente).[ 1]

La idea de la contradicción —en esto estoy firme— es la con- tradicción (lógica)* y ésta solamente puede aparecer en el juego entre verdadero y falso; por tanto, solamente donde ha­ cemos aserciones.

Esto es: La contradicción solamente puede presentarse en las reglas del juego. Por ejemplo, puedo tener una regla que me diga: El peón blanco tiene que jugar contra el negro.

Si el negro está al lado, falla la regla. Así, pues, hay un caso

1] Por medio de permisiones y prohibiciones sólo puedo deter­ minar un juego, pero nunca el juego.™ Lo que Hilbert quiere mostrar con su demostración es que los axiomas de la aritmé­ tica poseen las propiedades del juego, pero esto es imposible. Hilbert quería casi demostrar que la contradicción (lógica) es inadmisible.