simultáneo, el resultado sea ... I. .... 2 caras?
II. ... por lo menos una cara?
a) 41 ; 43 b)32 ; 21 c) 21 ; 43 d) 41 ; 31 e) 41 ; 41
02. Calcular la probabilidad de que al lanzar 3 monedas en simultáneo el resultado sea:
I. 2 caras y un sello. II. 3 resultados iguales.
a) 83 ; 81 b)87 ; 43
c) 81 ; 41 d)83 ; 41 e) 85 ; 31
03. Indicar la probabilidad de que al lanzar un dado legal, el resultado sea:
I. 6 puntos.
II. Puntaje no mayor que 5.
a) 12 ; 61 b) 61 ; 32
c) 61 ; 65 d) 65 ; 65
e) 65 ; 31
04. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar 2 dados legales el resultado sea ...
I. ... puntaje mayor que 8? II. ... 6 ó 7 puntos?
a) 185 ; 361 b) 185 ; 3611
c) 361 ; 187 d) 181 ; 365 e) 187 ; 365
05. Calcular la probabilidad de que al extraer una carta de una baraja (52 cartas, 13 de cada palo) esta sea: I. Corazón.
II. 9 de trébol.
a) 521 ; 521 b) 523 ; 521
c) 261 ; 529 d) 41 ; 523
e) 41 ; 521
06. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una carta de una baraja, el puntaje de ésta sea ...
I. ... mayor que 8?
II. ... un número primo mayor que 2?
a) 132 ; 521 b) 135 ; 134
c) 135 ; 135 d) 523 ; 132
e) 132 ; 525
07. Hallar la probabilidad de obtener un 1 al tirar una vez dos dados:
a) 361 b) 185 c) 3611
d) 1810 e) 181
08. Una urna contiene 3 bolas blancas y 5 negras. Se saca una bola, ¿cuál es la probabilidad de que sea negra?
a) 85 b) 41 c) 81
d) 83 e) 43
09. Si se lanza un dado, ¿cuál es la probabilidad de que no salga 6?
a) 61 b) 64 c) 65
d) 31 e) 51
10. Se escribe al azar un número de dos cifras. ¿Cuál es la probabilidad que dicho número sea múltiplo de 5?
a) 51 b) 52 c) 53
d) 95 e) 32
11. Al arrojar tres dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener un 3; un 4 y un 5?
a) 293 b) 121 c) 361
12. Se lanza un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un puntaje mayor que 2?
a) 21 b) 31 c) 32
d) 65 e) 41
13. Al lanzar 3 monedas al aire, ¿cuál es la probabilidad de que los tres resultados sean iguales?
a) 21 b) 31 c) 41
d) 81 e) 101
14. ¿Cuál es la probabilidad de que en una familia de tres hijos hayan dos niños y una niña?
a) 83 b) 161 c) 91
d) 181 e) 85
15. Se lanzan 2 dados legales. Determinar la probabilidad que el producto de los puntajes mostrados sea un múltiplo de 3.
a) 95 b) 49 c) 91
d) 367 e) 365
16. En una urna hay 25 bolas iguales, numeradas del 1 al 25. Una persona extrae una bola al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la bola extraída tenga un número que sea múltiplo de 5?
a) 51 b) 253 c) 254
d) 251 e) 52
17. Al efectuar el lanzamiento de dos dados en forma simultánea, determinar qué suma de puntos es más probable de obtener.
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
18. Se lanzan 2 m onedas y un dado. ¿Cuál es la probabilidad de que aparezcan dos caras y un número impar?
a) 0,500 b) 0,125 c) 0,250 d) 0,600 e) 0,111
19. Se lanzan cuatro monedas en forma simultánea. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un sello y 3 caras?
a) 41 b) 163 c) 81
d) 83 e) 161
20. En una baraja de 52 naipes, ¿cuál es la probabilidad de obtener una carta de corazones con un valor menor que 7 o un valor mayor que 10?
a) 512 b) 529 c) 1052 d) 261 e) 269
21. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado "cargado", el resultado sea un número primo? (Se carga el dado de tal manera que los números pares tienen el triple de posibilidades de presentarse que los números impares)
a) 61 b) 65 c) 125 d) 32 e) 127
22. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer a la vez 2 cartas de una baraja, éstas sean ...
I. ... ambas de diamantes? II. ... un trébol y un corazón?
a) 171 ; 10213 b) 261 ; 1025
c) 261 ; 1691 d) 171 ; 261
e) 172 ; 1022
23. En una caja se dispone de 18 bolas numeradas del 1 al 18, si se extraen dos bolas al azar:
I. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos números primos?
II. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos números impares?
a) 91 ; 92 b) 512 ; 514
c) 174 ; 171 d) 517 ; 174
24. De una baraja se sacan al azar 2 naipes, ¿cuál es la probabilidad de que los dos naipes sean ases?
a) 131 b) 522 c) 2211
d) 171 e) 511
25. Si se tiran ocho monedas, ¿cuál es la probabilidad de que una y solamente una presente cara?
a) 161 b) 181 c) 171
d) 321 e) 241
26. Un avión lanza una bomba sobre un terreno cuadrado, en el cual está inscrito un círculo, ¿cuál es la probabilidad de que la bomba caiga dentro del círculo?
a) 2 b) 41 c) 4 d) 23 e) 12
27. Hallar la probabilidad de obtener por lo menos un 1 al tirar una vez dos dados.
a) 3611 b) 361 c) 61
d) 365 e) 31
28. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer dos cartas de una baraja( 52 cartas, 13 de cada palo), éstas sean una corazón y la otra trébol?
a) 10213 b) 1351 c 41
d) 10013 e) 523
29. Se lanza en simultaneo una moneda y un dado legal, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado sea un número no mayor que 4 en el dado, acompañado de sello en la moneda?
a) 12 b) 31 c) 61
d) 32 e) 41
30. José, Erick, Bryan, Antonio, César, Rommel, Martha, Jessica y Juan se sientan alrededor de una mesa circular. Calcular la probabilidad de que Rommel y Jessica no se sienten juntos.
a) 43 b) 51 c) 85
d) 41 e) 21
31. Las letras de la palabra ARCOS se colocan al azar en una línea, ¿cuál es la probabilidad de que las 2 vocales queden juntas?
a) 32 b) 31 c) 61
d) 51 e) 52
32. Seis amigos harán cola para comprar pan, ¿cuál es la probabilidad de que Stéfano, que es uno de ellos, sea siempre el primero?
a) 61 b) 32 c) 31
d) 21 e) 65
33. En un baile de disfraces, se reúnen 10 matrimonios. Si se eligen 2 personas al azar, entonces la probabilidad de que las 2 personas sean marido y mujer es :
a) 101 b) 1001 c) 191
d) 2001 e) 501
34. Una caja contiene 30 bolas numeradas del 1 al 30, ¿cuál es la probabilidad de que, al sacar al azar una bola, resulte par o múltiplo de 5?
a) 107 b) 101 c) 103
d) 307 e) 53
35. En un cierto depósito, se tienen 5 bolas azules, tres bolas blancas y dos bolas negras. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bola al azar, ésta sea blanca o negra?
a) 51 b) 103 c) 52
d) 101 e) 21
36. ¿Cuál es la probabilidad de que, al sentarse 6 amigas en hilera, Carla; Jéssica y Graciela estén siempre juntas?
a) 52 b) 54 c) 61
37. En una bolsa se tienen 4 bolas rojas y 6 bolas azules. Se extrae al azar 3 bolas, una por una.
¿Cuál es la probabilidad de que la tercera bola sea roja?
a) 31 b) 41 c) 61
d) 43 e) 52
38. De una baraja de naipes, se extraen al azar 3 cartas, ¿cuál es la probabilidad de que las tres cartas sean del mismo palo?
a) 172 b) 1711 c) 2511
d) 252 e) 172225
39. En una reunión se encuentran presentes 30 hombres y 20 mujeres. Si se eligen a 2 personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que las personas elegidas sean varón y mujer?
a) 4925 b) 502 c) 2449
d) 1249 e) 5011
40. Nueve personas se sientan al azar en círculo. ¿Cuál es la probabilidad de que dos personas en particular queden contiguas?
a) 41 b) 81 c) 168!
d) 138! e) 1581
41. Una bolsa contiene 5 bolas blancas y 3 negras. Si sacamos 4 bolas sucesivamente y no son devueltas a la bolsa, ¿cuál es la probabilidad de que éstas sean alternadamente de diferentes colores?
a) 41 b) 61 c) 71
d) 81 e) 51
42. De una bolsa que contiene 6 bolas blancas, 4 negras y 2 rojas; se sacan 6 bolas al azar. Calcular la probabilidad de que 3 sean blancas, 2 negras y 1 roja.
a) 1320 b) 100231 c) 1315
d) 19910 e) 7720
43. Un grupo de estudio está conformado por 11 niños y 7 niñas. Si se escogen 4 estudiantes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que todos sean niños?
a) 1011 b) 10211 c) 131
d) 10101 e) 1021
44. Se lanza un dado "n" veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salga 2 al m enos una vez en los "n" lanzamientos? a) 65 b) n 6 1 c) n 6 5 c) n 6 1 1 e) n 6 5 1
45. Hallar la probabilidad de hacer una tirada de más de 15 en un tiro con 3 dados.
a) 12617 b) 10817 c) 5417
d) 21619 e) 10819
46. Dos jugadores A y B tiran 3 dados cada uno. Si A obtiene 8 puntos, ¿cuál es la probabilidad de que B obtenga un número mayor de puntos?
a) 271 b) 276 c) 277
d) 185 e) 2165
47. ¿Cuál es la probabilidad de que, al tirar al aire "n" veces una moneda, se obtenga "n" caras?
a) n 2 1 b) 8 2n c) 8 n n d) 2 n 1 e) 21n
48. Se lanza un dado "cargado", de tal manera que los números impares tienen el triple de posibilidades que los números pares.
¿Cuál es la probabilidad de que el resultado sea un número mayor que 5?
a) 61 b) 41 c) 121
d) 125 e) 65
49. Tamara selecciona al azar dos números diferentes del conjunto { 8; 9; 10} y luego los suma. Claudia selecciona al azar dos núm ero diferentes del conjunto
{ 3; 5; 6} y luego los multiplica.
¿Cuál es la probabilidad de que el resultado que obtiene Tamara sea mayor que el resultado que obtiene Claudia?
a) 91 b) 92 c) 97
d) 49 e) 95
50. Tres señoras van a dar a luz con toda seguridad en el mes de Febrero de un año bisiesto. ¿Cuál es la probabilidad de que la fecha de los nacimientos de los tres bebés sean distintos?
a) 676861 b) 765861 c) 861756
d) 861678 e) 871666
51. Una persona tira dos dados, uno de ellos es un cubo y el otro un tetraedro regular, tomando el número de la cara inferior cuando se trata del tetraedro, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los números obtenidos no sea menor que 5?
a) 43 b) 54 c) 53
d) 52 e) 12
52. En una urna, se introducen bolas marcadas con los números 1 , 2 y 3.
Se extrae una bola, se anota el número y se devuelve a la urna. El proceso se repite tres veces.
¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma total de 6 puntos?
a) 91 b) 31 c) 277
d) 2521 e) 2717
53. La probabilidad de que Erica ingrese a la UNI es 0,7 que ingrese a la Católica es 0,4. Si la probabilidad de que no ingrese a ninguna es 0,12, hallar la probabilidad de que ingrese a ambas a la vez.
a) 0,42 b) 0,22 c) 0,24 d) 0,48 e) 0,58
54. Una bolsa contiene 4 bolas blancas y 2 negras, otra bolsa contiene 3 bolas blancas y 5 negras. Se extrae una bola de cada bolsa.
Determinar la probabilidad de que ambas sean blancas. a) 12 b) 41 c) 32
d) 43 e) 31
55. En una caja hay 10 bolas de billar, de las cuales 4 son rojas. Se toma tres piezas al azar.
Determine la probabilidad de que por lo menos una resulte de color rojo.
a) 53 b) 32 c) 3910
d) 607 e) 65
56. De una bolsa que contiene 6 bolas blancas, 4 negras y 2 rojas, se sacan 6 bolas al azar.
Calcular la probabilidad de que 3 sean blancas, 2 negras y 1 roja.
a) 3316 b) 1423 c) 7720
d) 313 e) 234
57. Se escogen al azar 4 sillas entre 10, de las cuales 6 son defectuosas. H allar la probabilidad de que 2 exactamente sean defectuosas.
a) 52 b) 53 c) 75
d) 116 e) 73
58. Diez libros de los cuales 6 son de física y 4 de química, se colocan al azar en un estante.
Determine la probabilidad de que los libros de física queden juntos.
a) 211 b) 421 c) 49
d) 425 e) 3521
59. Una moneda cuyas caras están marcadas con los números 2 y 3, respectivamente, es tirada 5 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un total de 12?
a) 1625 b) 165 c) 45
d) 256 e) 65
60. Tres varones y dos chicas van al cine y encuentran una fila de 5 asientos juntos en una misma fila donde desean acomodarse.
Determinar cuál es la probabilidad de que las chicas no se sienten juntas.
a) 52 b) 53 c) 85
Claves Claves
a d c b e c b a d b c c c a a a c b a b c a d c d c a a b a e a b e e d e e c a c e b e a c a c d c a c b b e c e b b b 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60.Capítulo
FRACCIONES
18
INTRODUCCIÓN H ISTÓRICA
El primer conocimiento acerca de las fracciones se produce hacia el año 2000 a. de C. en Egipto. Los griegos, quince siglos después, elaboraron con acierto las teorías anteriores de egipcios y babilonios e hicieron de ellas una verdadera ciencia.
EL NÚMERO RACIONAL
Según sabemos, las operaciones de suma, resta y multiplicación eran internas en el conjunto de los números enteros. Es decir, el resultado de sumar, restar o multiplicar dos números enteros es siempre un número entero. En cambio, esto no ocurría con la división pues, por ejemplo, el resultado de la división 8 : 3 no es un número entero. Necesitamos por tanto un conjunto mayor de números donde también tenga cabida la división. Este conjunto va a ser el de los números racionales a cuya definición llegaremos en un momento.
Para medir suele ser necesario fraccionar la unidad. De aquí, surge la idea de número fraccionario: la mitad, la tercera parte ... de la unidad. Las fracciones son las expresiones numéricas de los números fraccionarios.
Son números fraccionarios:
100 29 ; 1000 1 ; 9 4 ; 5 3 ; 2 1
En todas estas fracciones, el numerador (el número que aparece sobre la línea de fracción) es menor que el denominador (el que está debajo) y, por tanto, son partes de la unidad.
Todo entero es racional y por tanto los números fraccioanrios complementan a los enteros dando lugar, entre todos, al
conjunto de los números racionales. Se le representa por la letra Q y es:
; a b, Z y b 0 b a Q
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FRACCIONES
Dividimos una unidad cualquiera en 8 partes iguales y luego tomamos 5 partes. El rectángulo mostrado representa a dicha unidad. Así tenemos:
1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 El todo < > 8 partes iguales
Tomamos 5 partes
EJERCICIOS 01. ¿Cuál de las siguientes fracciones es la mayor?
I. 32 II. 12 III. 43
02. ¿Cuánto le falta a
5
2 para ser igual a 8 5 ?
03. ¿Cuántos cuartos hay en 16?
04. ¿Cuál es la fracción que equidista de 31 y 52?
05. ¿Qué parte de 97 es 73?
06. ¿Cuánto le sobra a 54 para ser igual a 72 ?
07. En un salón de clase, hay 80 alumnos entre hombres y mujeres. Se sabe, además, que 53 del total son mujeres y de ellas, 20 tienen ojos azules y el resto negros. Además, la cuarta parte de los varones tienen ojos azules y el resto negros.
a) ¿Qué parte del salón tiene ojos azules?
b) ¿Qué parte de las mujeres con ojos azules represen- tan los hombres con ojos azules?
¡No olvidar! Sea "D" mi dinero. D 25 19 D 8 3 D 5 2 tengo Ahora Gana D 25 19 D 8 3 D 5 2 Queda Gasta
08. Emilia va al mercado con cierta cantidad de dinero y gasta 72 de su dinero. Si aún le queda 50 soles, ¿cuánto llevó al mercado?
09. María tiene 120 soles y compra una licuadora gastando
5 3
de su dinero; luego compra una plancha gastando
3 2
del resto. ¿Cuánto dinero le quedó después de comprar la plancha?
REDUCCIÓN A LA UNIDAD DE TIEMPO
10. Sebastián hace una obra en 4 días y Alessandro hace la misma obra en 6 días, ¿en qué tiempo terminarán la obra si trabajan juntos?
11. Alex y Rommel hacen una obra. Si Alex, trabajando solo demora 6 días, ¿en qué tiempo harán juntos la obra, si Rommel es el doble de eficiente que Alex?
12.Geraldine hace una obra en 8 días y Diana la misma obra en 10 días. Geraldine empieza la obra y 2 días después recibe la ayuda de Diana, terminando juntas la obra. ¿En qué tiempo se concluyó toda la obra?
MEZCLA
13. Se mezclan 18 litros de vino puro con 12 litros de agua. Se extrae de estas mezcla 10 litros y se reemplaza lo extraído por agua; luego se extrae 5 litros de la nueva mezcla y también se reemplaza por agua. ¿En qué relación están al final el vino y el agua?
14. De un barril lleno de vino (100 litros en total), se extrae en sucesión 41; 51 ; 41; 51 y cada vez que se extrae se va reemplazando por agua.