En la sección anterior se describió cómo es que los datos del informe de sensibilidad permiten encon- trar el intervalo de optimización para un coeficiente individual en la función objetivo cuando ese coeficiente es el único que cambia respecto de su valor original. Estos mismos datos (el aumento permitido y la disminución permitida en cada coeficiente) también se pueden utilizar para analizar el efecto de cambios simultáneos en estos coeficientes. A continuación se muestra cómo:
Regla del 100 por ciento para cambios simultáneos en los coeficientes de la función objetivo: si se hacen
cambios simultáneos en los coeficientes de la función objetivo, calcule para cada cambio el porcentaje del cambio permitido (aumento o disminución) para que ese coeficiente permanezca dentro de su intervalo permitido. Si la suma de los cambios del porcentaje no excede de 100 por ciento, la solución óptima original definitivamente seguirá siendo óptima. (Si la suma excede de 100 por ciento, entonces no podemos estar seguros de ello.)
Esta regla no aclara qué sucede si la suma de los cambios porcentuales sí excede de 100 por ciento. La consecuencia depende de las direcciones de los cambios en los coeficientes. Exceder de 100 por ciento puede o no puede modificar la solución óptima, pero en tanto no se supere el 100 por ciento, la solución óptima original definitivamente seguirá siendo la óptima.
Recuerde que podemos utilizar con seguridad todo el aumento o toda la disminución permiti- dos en un solo coeficiente de la función objetivo sólo si ninguno de los otros coeficientes se ha modi-
24 B C D E F G H 25 26 27 28 29 $400 $300 (2,6) $100 $200 $300 $400 $500 $500 $600 (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (4,3) (2,6) (2,6) (4,3) (4,3) (2,6) (2,6) (2,6) (4,3) (2,6) (2,6) (2,6) (2,6) Ganancia unitaria
para las puertas
Unidades producidas (puertas, ventanas) Ganancia unitaria para las ventanas
25
C
= "("& PuertasProducidas &". "& VentanasProducidas &")"
Nombre del rango PuertasProducidas VentanasProducidas Celda C12 D12 FIGURA 5.13
Una aplicación en dos dimensiones de la Tabla del Solver que muestra el efecto que tiene en la solución óptima cambiar sistemáticamente las estimaciones de las ganancias unitarias de las puertas y las ventanas para el problema de Wyndor.
Una suma ≤ 100 por ciento garantiza que la solución óptima original siga siéndolo.
El análisis de qué pasa si muestra que no hay nece- sidad de afinar las estima- ciones de Wyndor de las ganancias unitarias para las puertas y las ventanas.
5.4 Efecto de cambios simultáneos en los coeficientes de la función objetivo 155
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ficado. Con cambios simultáneos en los coeficientes, nos centramos en el porcentaje del aumento o de la disminución permitidos que se estén utilizando para cada coeficiente.
Como ejemplo, considere de nuevo el problema de Wyndor, junto con la información que se proporciona en el informe de sensibilidad de la figura 5.7. Suponga que las condiciones han cam- biado después del estudio inicial y que la ganancia unitaria para las puertas (PD) ha aumentado de
300 a 450 dólares, mientras que la ganancia unitaria para las ventanas (PW) ha disminuido de 500 a 400 dólares. Los cálculos para la regla del 100 por ciento son entonces los siguientes:
Como la suma de los porcentajes no excede de 100 por ciento, la solución óptima original (D, W) = (2, 6) definitivamente todavía es óptima, como encontramos antes en la figura 5.9.
Ahora suponga que las condiciones se han modificado todavía más, por lo que PD ha aumen- tado de 300 a 600 pesos, mientras que PW ha disminuido de 500 a 300 dólares. Los cálculos para la
regla del 100 por ciento ahora son
Como la suma de los porcentajes ahora excede de 100 por ciento, la regla del 100 por ciento afirma que ya no podemos garantizar que (D, W) = (2, 6) siga siendo óptima. En realidad, anteriormente encontramos, tanto en la figura 5.10 como en la 5.13, que la solución óptima se ha modificado a (D, W) = (4, 3).
Estos resultados sugieren cómo encontrar justamente dónde la solución óptima se modifica, mientras aumente PD y PW disminuya de esta manera. Como 100 por ciento se encuentra a medio camino entre 662/
3 y 1331/3 por ciento, la suma de los cambios porcentuales será igual a 100 por
ciento cuando los valores de PD y de PW se encuentren a medio camino entre sus valores en los casos
que se mencionan arriba. En particular, PD= 525 dólares se encuentra a medio camino entre 450 y
600 dólares y PW= 350 dólares se encuentra a medio camino entre 400 y 300 dólares. Los cálculos correspondientes para la regla del 100 por ciento son
Aunque la suma de los porcentajes es igual a 100 por ciento, el hecho de que no exceda de 100 por ciento garantiza que (D, W) = (2, 6) sea todavía óptimo. En la figura 5.14 se muestra gráfica- mente que tanto (2, 6) como (4, 3) son ahora soluciones óptimas, así como todos los puntos sobre el segmento de línea que conecta estos dos puntos. Sin embargo, si tanto PD como PW se modificaran
PD: $300 → $450
PW: $500 → $400
Suma 662
3%
Porcentaje de disminución permitida 100a500 400
300 b % 33
1 3%
Porcentaje de aumento permitido 100a450 300
450 b % 33 1 3% PD: $300 → $600 PW: $500 → $300 Suma 1331 3%
Porcentaje de disminución permitida 100a500 300
300 b % 66
2 3%
Porcentaje de aumento permitido 100a600 300
450 b % 66 2 3% PD: $300 → $525 PW: $500 → $350 Suma 100%
Porcentaje de disminución permitida 100a500 350
300 b % 50%
Porcentaje de aumento permitido 100a525 300
450 b % 50%
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aún más respecto de sus valores originales (de tal manera que la suma de sus porcentajes excede de 100 por ciento), la línea de la función objetivo se rotaría tanto hacia la vertical, que (D, W) = (4, 3) se convertiría en la única solución óptima.
Al mismo tiempo recuerde que cuando la suma de los porcentajes de los cambios permitidos excede de 100 por ciento, esto no significa automáticamente que la solución óptima se modificará. Por ejemplo, suponga que las estimaciones de ambas ganancias unitarias se dividen a la mitad. Los cálculos resultantes para la regla del 100 por ciento son
Aunque esta suma excede de 100 por ciento, la figura 5.15 muestra que la solución óptima original sigue siéndolo. En realidad, la línea de la función objetivo tiene la misma pendiente que la función objetivo original (la línea sólida de la figura 5.8). Esto sucede siempre que se realicen cambios propor-
cionales en todas las ganancias unitarias, los que automáticamente conducirán a la misma solución
óptima.
Comparaciones
Ahora usted ha observado los tres enfoques para la investigación de qué pasa si se presentan cam- bios simultáneos en los coeficientes de la función objetivo: 1) intentar los cambios directamente en una hoja de cálculo, 2) utilizar una Tabla del Solver de dos sentidos y 3) aplicar la regla del 100 por ciento.
PD: $300 → $150
PW: $500 → $250
Suma 133%
Porcentaje de disminución permitida 100a500 250
300 b % 83%
Porcentaje de disminución permitida 100a300 150
300 b % 50% W D 10 8 6 4 2 2 4 6 8 Tasa de producción para las puertas
Tasa de producción para las ventanas
0
(4, 3) (2, 6)
La línea de la función objetivo ahora es Ganancia = 3 150 dólares = 525P + 350V ya que PD = 525 dólares y PW = 350 dólares
Todo el segmento de la línea es óptimo
Región factible FIGURA 5.14
Cuando las estimaciones de las ganancias unitarias para las puertas y las ventanas cambian a
PD= 525 dólares y a PW = 350 dólares, que se ubican en el límite de lo que está permitido por la regla del 100 por ciento, el método gráfico muestra que (D, W) = (2, 6) todavía es una solución óptima, pero ahora cualquier otro punto sobre el segmento de línea entre esta solución y (4, 3) también es óptimo.
Aquí se da un ejemplo en el que la solución óptima original lo sigue siendo aunque la suma exceda al 100 por ciento.
5.4 Efecto de cambios simultáneos en los coeficientes de la función objetivo 157
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El enfoque de la hoja de cálculo es un buen lugar para comenzar, especialmente para aquellos que tienen menos experiencia en la elaboración de modelos, porque es sencillo y rápido. Si a usted sólo le interesa verificar un conjunto específico de cambios en los coeficientes, de inmediato puede ver qué sucede después de hacer los cambios en la hoja de cálculo.
Con frecuencia habrá muchas posibilidades para lo que resultarán ser los valores verdaderos de los coeficientes, debido a incertidumbres en las estimaciones originales de estos coeficientes. La Tabla del Solver es útil para verificar en forma sistemática diversos cambios posibles en uno o dos coeficientes de la función objetivo. Si se intentan posibilidades representativas en la hoja de cálculo quizá se obtenga toda la información que se necesita. Es posible que la solución óptima para el modelo original siga siéndolo en casi todas estas posibilidades, por lo que esta solución puede utili- zarse con confianza. También puede ser que resulte evidente la necesidad de afinar las estimaciones originales antes de seleccionar una solución.
Cuando el enfoque de la hoja de cálculo y/o la Tabla del Solver no dan conclusiones claras, la regla del 100 por ciento puede complementar este enfoque con provecho, de las siguientes maneras: • La regla del 100 por ciento se puede utilizar para determinar cuán grandes deben ser los cam-
bios en la función objetivo antes de que la solución óptima original deje de serlo.
• Cuando el modelo tiene un gran número de variables de decisión, como es común en los proble- mas reales, quizá no sea práctico utilizar el enfoque de hojas de cálculo para intentar en forma sistemática una diversidad de cambios simultáneos en muchos o en todos los coeficientes de la función objetivo dado el gran número de posibilidades representativas. La Tabla del Solver sólo se puede utilizar para verificar sistemáticamente los cambios posibles en dos coeficientes al mismo tiempo (cuando mucho). No obstante, al dividir el aumento permitido, o la dismi- nución permitida de cada coeficiente entre el número de variables de decisión, la regla del 100 por ciento indica de inmediato cuánto puede modificarse cada coeficiente con seguridad y sin invalidar la solución óptima actual.
• Después de terminar el estudio, si las condiciones cambian en el futuro de tal manera que pro- vocan que algunos o todos los coeficientes de la función objetivo se modifiquen, la regla del 100 por ciento rápidamente señala si la solución óptima original debe continuar como tal. Si la res- puesta es afirmativa, no es necesario dedicarle tiempo a reconstruir el modelo de hoja de cálculo (corregido). El tiempo que se ahorre puede ser mucho en los modelos grandes.
W D 8 6 4 2 2 4 6 8 Tasa de producción para las puertas
Tasa de producción para las ventanas
0 (2, 6) Región factible Ganancia = 1 800 dólares = 150P + 250V Solución óptima FIGURA 5.15
Cuando las estimaciones de las ganancias unitarias para las puertas y las ventanas cambian a PD= 150 dólares y PW= 250 dólares (la mitad de sus valores originales), el método gráfico muestra que la solución óptima todavía es (D, W) = (2, 6), a pesar de que la regla del 100 por ciento afirma que la solución óptima puede cambiar.
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1. En la regla del 100 por ciento para cambios simultáneos en los coeficientes de la función objetivo, ¿cuáles son los cambios porcentuales que se están considerando?
2. En esta regla del 100 por ciento, si la suma de los cambios porcentuales no excede de 100 por ciento, ¿qué dice esto respecto a la solución óptima original?
3. En esta regla del 100 por ciento, si la suma de los cambios porcentuales excede de 100 por ciento, ¿esto significa que la solución óptima original ya no lo es?
5.5 CAMBIOS INDIVIDUALES EN UNA RESTRICCIÓN
Ahora estudiaremos los coeficientes de la función objetivo a efecto de modificar las restricciones. Los cambios pueden ocurrir en los coeficientes de los lados derechos de las restricciones, o en los valores de los lados derechos.
Quizá nos interese el efecto de tales cambios por la misma razón que nos interesa este efecto en los coeficientes de la función objetivo, es decir, que estos parámetros del modelo son sólo estimacio-
nes de cantidades que no se pueden determinar con precisión en este momento, por lo que queremos
determinar qué pasa si estas estimaciones no son exactas.
No obstante, una razón más común para este interés es la que se presentó al terminar la sección 5.1, es decir, que los lados derechos de las restricciones pueden muy bien representar decisiones de
política administrativa y no que las cantidades están fuera del control de la administración. Por lo
tanto, una vez que se ha resuelto el modelo, la administración querrá analizar el efecto de analizar estas decisiones de políticas en diversas formas para ver si las puede mejorar. El análisis de qué pasa si permite contar con una orientación valiosa para la administración respecto a determinar el efecto de modificar tales decisiones de políticas. (Recuerde que éste se mencionó como el tercer beneficio del análisis de qué pasa si en la sección 5.1.)
En esta sección se describe cómo desempeñar un análisis de qué pasa si cuando se modifica sólo un lugar (un coeficiente o un lado derecho) de una restricción. En la sección que sigue se analizarán los cambios simultáneos en las restricciones.
El procedimiento para determinar el efecto de un solo cambio en una restricción es el mismo, sin importar si el cambio es en un coeficiente en el lado izquierdo o en el valor del lado derecho. (La única excepción es que el informe de sensibilidad de Excel proporciona información sobre cambios en el lado derecho, pero no sobre los del lado izquierdo.) En consecuencia, ilustraremos el procedi- miento haciendo cambios en el lado derecho.
En particular volveremos al estudio de caso de Wyndor para abordar la tercera pregunta de qué pasa si que hizo la administración de la empresa en la sección 5.2.
Pregunta 3: ¿Qué sucede si se hace un cambio en el número de horas de tiempo de producción por semana que se liberan para los nuevos productos de Wyndor en una de las plantas?
El número de horas disponibles en cada planta es el valor de lado derecho para la restricción corres- pondiente, por lo que queremos investigar el efecto de modificar este lado derecho para una de las plantas. Con la solución óptima original (D, W) = (2, 6), sólo se usan 2 de las 4 horas disponibles en la planta 1, por lo que cambiar este número de horas disponibles (excepto en caso de una dismi- nución muy grande) no tendría efecto alguno en la solución óptima o en la utilidad total resultante de los dos nuevos productos. Sin embargo, no está claro qué sucedería si se modificara el número de horas disponibles en la planta 2 o en la planta 3. Comencemos con la planta 2.