Practical Implications

La situación “Preparación de un Brownie” parte de un reconocimiento natural de las magnitudes y la forma como estas se relacionan. Se evidencia un lenguaje fluido al narrar los pasos de preparación de la receta y la manera de explicar el comportamiento proporcional de dos magnitudes, en particular, cuando una de ellas aumenta al doble. Este grupo debió considerar como punto de partida una receta de 5 porciones y luego determinar la cantidad de cada ingrediente requerido para 10, siendo una relación que se reconoció y trasladó a cada ingrediente, enunciando, por ejemplo: “vamos a hacer primero la de 10 porciones que es la más fácil, es sacarle el doble”. Para Godino y Batanero (2012) al partir de razonamientos aditivos y técnicas de recuento, se establece un antecedente de razonamientos multiplicativos y proporcionales. El nivel de comprensión identificado es referencial, pues parte de

~ 94 ~

comparaciones entre las magnitudes para establecer expresiones matemáticas asociadas a una cuarta proporcional o la relación parte-todo.

MEN (2006) señala que el dominio numérico en contextos de variación es parte esencial de la resolución de problemas de proporcionalidad, se evidencia esta habilidad en los procedimientos de las estudiantes cuando identifican la constante de proporcionalidad y la usan para hallar la magnitud faltante. En este orden de ideas, se recurre a distintas estrategias de cálculo, una de ellas se relaciona con el tratamiento de cantidades no enteras, que son asociadas a la composición de una cantidad entera y una decimal para ser operadas bajo esta misma distinción (Adición de cantidades enteras y adición de cantidades decimales).

Respecto al reconocimiento de la unidad y la relación entre magnitudes, se asume la cantidad de cada ingrediente en la receta para 5 porciones como unidad y sobre ella se establecen relaciones multiplicativas desde la duplicación. El doble emparejamiento de magnitudes se ve reflejado desde expresiones como “n veces la magnitud A implica tomar n veces la magnitud B”, esto representa dentro del pensamiento proporcional, la consideración de razones internas y el establecimiento de equivalencias entre comparaciones. El contexto de la situación, la representación tabular y la tarea propuesta incentivan la búsqueda de la unidad de manera simultánea para varias magnitudes (ingredientes), pues, una vez identificada la constante de proporcionalidad se usa como operador para hallar casos específicos como el doble, el triple, la mitad u otro múltiplo o submúltiplo de las magnitudes implicadas. Inicialmente, la medida de cada ingrediente en la receta de 5 porciones fue considerada como unidad, sin embargo, la representación tabular lleva a reconsiderar como unidad a la medida de cada ingrediente para una porción desde el reconocimiento de la quinta parte de cada cantidad inicial. A partir de la unidad “una porción” se encuentran tantas magnitudes como se requieran desde el planteamiento de cuartas proporcionales sucesivas.

Uno de los aspectos asociados al desarrollo del pensamiento proporcional se asocia al uso de contribuciones correspondientes que llevan a la comparación de

dos razones, este razonamiento se observa al operar con distintas unidades buscando la cantidad de porciones solicitadas desde la composición de valores previamente calculados, Imagen N° 54. Estrategia para la obtención de ingredientes de

~ 95 ~

por ejemplo, si tengo una receta para 5 porciones y quiero conseguir los ingredientes necesarios para 8 porciones, busco inicialmente la cantidad del ingrediente para una porción, la cuadruplico y dicho resultado se duplica (Ver imagen 54), en otras palabras, se desintegra el valor inicial pasando por 5A→(5A/5=1A)→(1A*4=4A) → (4A*2=8A).

Orientar el abordaje de la tarea desde la experimentación con los ingredientes, llevó a comprender las distintas magnitudes, formas, instrumentos y unidades de medida, siendo evidencia de comprensión sobre los atributos o propiedades de cada elemento o ingrediente y permitiendo aplicar razonamientos proporcionales o estrategias como la estimación. La experimentación y la determinación de las cantidades de cada ingrediente en la preparación “real” del

brownie, permite dar sentido a los cálculos realizados. Un ejemplo de lo anterior se observa al medir la leche, pues en la hoja calcularon la cantidad para 5 y 7 porciones, reconociendo la necesidad de medir 70 ml usando recipientes de 75 ml, 30 ml y 5 ml (ver imagen 55). Allí se recurre a contribuciones correspondientes, es decir, componer 70 ml a partir de 2 veces el recipiente de 30 ml y 2 veces el recipiente de 5ml; este razonamiento es análogo a descomponer 7 porciones en (3+3+1/2+1/2 porciones).

Se reconoce como el número fraccionario cobra sentido para las estudiantes y las operaciones no resultan un algoritmo, sino un proceso preciso para continuar con la tarea que en este caso es determinar la cantidad exacta al alterar el número de porciones sin desconocer la covariación de las magnitudes.

Esquema (5.2.3) de matematización de la situación “Preparación de brownie” G. Tatiana, T. Imagen N° 55. Utilización

de instrumentos de medición.

~ 96 ~

5.2.4 Planeando las vacaciones.

La cuarta tarea “Planeando mis vacaciones” sugiere un abordaje mediado por la lectura e interpretación de un mapa geográfico de Colombia, del cual se debe observar y analizar las distancias y topografía representada para dar así solución a las preguntas orientadoras planteadas en el instrumento. Para las estudiantes el mapa fue una representación cotidiana y comprensible, más no sencilla de leer, dada la presencia de convenciones, variación de alturas, recorridos no lineales, etc. Tras la identificación de los puntos de partida y llegada (Bogotá – Santa Marta), se evidencia un proceso de reconocimiento de trayectorias y posibles variaciones presentes en el mapa, el abordaje muestra un nivel de comprensión situacional centrado en el reconocimiento de aspectos relevantes de la situación y luego basados en el sentido común, aplican procesos de estimación para dividir el trayecto en tres sectores “aparentemente” iguales, las estudiantes señalan: “sí tenemos que ir de Bogotá a Santa Marta y tenemos que hacer tres paradas, miremos más o menos a donde podría ser, entonces por aquí, más o menos [Señalando el mapa]… Medellín y después … y luego llegamos a Santa Marta”. Para llegar a esta afirmación se asume una noción de distancia lineal entre dos puntos en el mapa, evidenciando el reconocimiento de las magnitudes (Distancia, tiempo) y estableciendo comparaciones entre ellas, inicialmente de manera informal, desde lo perceptible visualmente y anclado al material concreto (Mapa).

Partiendo de una lectura más detallada, las estudiantes logran identificar la cuadricula y la presencia de una convención asociada a la escala 1,7 cm: 50 km, frente a lo cual hubo una interpretación oportuna de su significado: “por cada 1,7 cm del mapa se representan 50 km de trayecto real”. Se inicia un proceso de medida entre

dos lugares del mapa, detallando que en la regla debían identificar cada cuanto se completaba 1,7 cm para contar de 50 en 50 km, en este proceso se llega a un conflicto respecto al uso del material para la medida, lo cual se soluciona haciendo marcas sobre la regla y tomando como unidad 1,7 cm hasta construir una recta numérica con los múltiplos de dicha unidad. Solucionado el

problema de la unidad de medida, surge un nuevo conflicto centrado en el tipo de trayecto (caracterizado como no lineal), el cual muestra un recorrido entre dos lugares no alineados

Imagen N° 56. Proceso de medida desde la construcción de unidad.

~ 97 ~

en un carretera y con presencia de muchas irregularidades y curvas que prolongan el recorrido real de un automóvil que transite por la vía, dificultando así un proceso de medida o estimación; tras la discusión dada en el grupo, surge como estrategia un proceso de medida dinámico que consta de encajar la regla sobre la ruta, marcado en el mapa hasta lograr una estimación más cercana a la realidad como se observa en la imagen 56.

Una vez identificadas las magnitudes, adaptado un instrumento y comprendida la complejidad de la medición de distancias por el comportamiento del trayecto, las estudiantes establecen relaciones basadas en la unitización, normación y equivalencia de relaciones entre magnitudes. Godino y Batanero (2012) señalan que estos procesos son fundamentales en la comprensión de la razón y la proporción y se asocian a la habilidad para establecer una unidad de referencia, reinterpretar la situación en términos de esta hacia la composición progresiva de unidades.

Se observa entonces aspectos asociados al nivel de comprensión general, pues se reconoce la unitización y la utiliza para determinar la conservación de la relación entre magnitudes distancia en el mapa y distancia real, así mismo se identifica un cambio de unidad (1,7 cm: 50 km) para operar con ella sin desconocer la constante de proporcionalidad. Todo esto aplicable a la necesidad de hallar una de las magnitudes faltantes. Así mismo, las estudiantes representan de manera verbal, simbólica o tabular que evidencian el doble emparejamiento de las magnitudes y la conservación de la relación entre ellas: (1,7 cm →50 km; 3,4 cm→100 km, …). Una medida de “x” cm en el plano, se debe interpretar como nm (n veces la reiteración de 1,7 cm) y dependiendo de esa cantidad de veces, se reinterpreta a cuantos kilómetros equivale, multiplicando “n” por la constante 50 km (50*n km).

El abordaje dado a la tarea permite observar las dificultades o retos que van encontrando las estudiantes y cómo al solucionarlas hacen una reconstrucción de la situación para lograr comprender las magnitudes, la relación entre ellas y la misma representación. Así, al momento de concluir cuales iban a ser las tres paradas en el trayecto Bogotá-Santa Marta, deciden evaluar si los lugares previamente señalados correspondían a distancias similares; esta inquietud, lleva a hacer una nueva lectura de la situación pasando por acciones asociadas a los tres niveles de comprensión ya transitados (nivel situacional, referencial y general). El proceso de estimación se basa en el sentido común de las estudiantes, pues identifican que las comparaciones entre magnitudes internas (distancias en el mapa) tienen un

~ 98 ~

comportamiento equivalente a la comparación entre medidas reales. Por ejemplo, el doble de cm en el mapa se refleja en el doble de km en el recorrido real. Siendo un proceso inicialmente desligado al uso de cantidades exactas por el contexto implicado, pero dicho razonamiento se va resignificando hasta llegar a requerir el perfeccionamiento del proceso de medida y el uso de cantidades racionales.

El comportamiento irregular del trayecto en el mapa por la presencia de curvas llevó a las estudiantes a subdividir la unidad (1,7 cm) y luego determinar la distancia entre dos lugares desde la recomposición de la unidad desde razonamientos aditivos, considerando distancias menores a la unidad y luego sumarlas para determinar una medida total en términos de la unidad construida. Así mismo, este procedimiento se desarrolla análogamente, estableciendo la medida en cm del trayecto, para luego aplicar la conversión a la unidad 1,7cm desde el algoritmo de la división, esto permite no solo el uso de cantidades no enteras, sino que permite una comprensión del Sistema de Medida y los submúltiplos del metro, por medio de los cuales se puede lograr un mayor acercamiento a la medida exacta de una distancia. Partiendo de la unitización, el reconocimiento de la escala y el proceso de normación, se puede establecer una representación tabular que generaliza la relación entre las magnitudes internas y externas; Ceballos (2012) denomina este proceso como establecimiento de una proporción. Luego con ayuda de la representación tabular y el reconocimiento de la constante de proporcionalidad, logran identificar la igualdad de comparaciones encontrando el cuarto dato faltante sin reconocer la razón o cociente entre ellas. (1 “U” es 1,7 cm y equivale a 50 km, entonces 15 cm corresponde a 8,5 “U” y representan 425 km, porque: [15/1,7=8,5→8,5*50 km= 425 km] esta representación hecha por las estudiantes refleja como el algoritmo usado para hallar la cuarta proporcional surge como una manera de sistematizar el razonamiento.

~ 99 ~

Las estudiantes establecen representaciones verbales y tabulares que concuerdan con sus razonamientos, usan convenciones como se observa en la imagen, donde descomponen un trayecto en sectores, señalando la medida parcial como la composición entre cantidades racionales a las cuales no le añaden la unidad usada (cm) y cantidades de menor longitud, expresadas con la unidad mm. Luego recomponen el trayecto como la suma de las medidas de cada sector (ver imagen 57), operando de manera separa cm y mm. Lo anterior, refleja el uso de representaciones y la transformación entre ellas (Tabla-Algoritmo-expresión verbal- segmento marcado en el mapa) como medio para dar solución a la tarea y facilitar estrategias como el cambio, transito o transformación de unidades (cm/mm → U [1,7 cm] →km) Este último razonamiento señalado, da cuenta de la identificación de la constante de proporcionalidad, en situaciones donde no necesariamente corresponde a una cantidad entera, lo cual es evidencia de un razonamiento proporcional, según lo plantea Ceballos (2012), pues además permiten consolidar estrategias asociadas a esquemas de coordinación, compensación y conservación para pasar de razonamientos aditivos a multiplicativos y avanzar al desarrollo del pensamiento proporcional en un nivel de comprensión formal en el que ya es posible encontrar una dato faltante desde un modelo y operar sobre él, desde las propiedades de la proporcionalidad.

Esquema (5.2.4) de matematización de la situación “Planeando las vacaciones” G. Tatiana, T.

~ 100 ~