Research Question One: To What Extent are Experiences of

Actividad

De forma consecuente al planteamiento de Freudenthal (1983) frente a la enseñanza de las matemáticas, debe priorizarse la enseñanza de la actividad misma por sobre la enseñanza del resultado de dicha actividad. En este orden de ideas, para conseguir que las estudiantes reconozcan la existencia y relación entre magnitudes y den sentido al objeto matemático “razón”, se parte de la experiencia en la construcción de un caderín desde objetos primarios que se pueden agrupar, organizar siguiendo un patrón, distribuir y comparar tomando como referencia acciones cotidianas como contar, dibujar, diseñar y proyectar el estilo de una prenda usada para bailar.

Con el abordaje de la tarea no se propone aprender algoritmos como la multiplicación, la división o la razón entre dos magnitudes, sino en el proceso de algoritmización, partiendo de razonamientos aditivos, multiplicativos y la comparación entre la cantidad de cuentas. De la misma manera se deja en segundo lugar las abstracciones y expresiones formales, pues la tarea invita a solucionar una situación, verbalizar la construcción del cada collar de cuentas, representarla gráficamente e identificar razonamientos, estrategias y procesos que se pueden replicar hasta generalizar la solución planteada. El abordaje de la tarea no desconoce aspectos propios del contexto como la consistencia de la tela, el refinamiento de las costuras, el concepto de estética y belleza y los roles propios asociados a la construcción del caderín como diseñadora, modelo o jurado, a quienes competen acciones puntuales como medir, describir o juzgar. Para las estudiantes relacionar los materiales fue una tarea sencilla, debido a que tenían como referencia el video introductorio, el caderín en físico y las imágenes, en tanto reconocieron que necesitaban: tela, piedras preciosas, pedazo de tela decorada, hilo, las medidas de la cadera, entre otras.

Para la EMR la matemática debe ser pensada como una actividad humana a la que todas las personas pueden acceder y la mejor forma de aprenderla es desde la experiencia, idea que concuerda con la disposición de los grupos cooperativos, mediante los cuales se definen roles y se invita a cada estudiante a aportar de manera distinta a la construcción del caderín. Así mismo, la exploración y manipulación del material concreto lleva a habilitar a cada estudiante frente al conteo de piezas y orientar el diseño desde la verbalización de los razonamientos y el refinamiento de estos mediante maneras de representar y sistematizar los cálculo, medidas o estimaciones. En la siguiente imagen se muestra el vínculo entre razonamientos cotidianos y nociones matemáticas.

Imagen N°10. Ejemplo de razonamientos cotidianos y nociones matemáticas.

“… la tela se aplana y le ponemos la cinta de enmascarar, después cogemos la aguja y el hilo y cogemos las perlas, una por una, ósea una dorada y dos negras y cogemos 6 doradas y después una moneda y así sucesivamente en toda la tela…”

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Principio de Realidad

El abordaje de la tarea “construcción del caderín” parte de un contexto no matemático al que se pueden asociar actividades y acciones como el diseño, organización de material, conteo, cálculo, dibujo, medida y estimación, las cuales pueden ser matematizadas desde subtareas como diseñar y contabilizar el material y presupuesto para construir una prenda usada en otra actividad humana como es bailar. Expresado esto, hay una conexión al mundo real, a lo realizable, imaginable o razonable para las estudiantes, como enuncia la EMR frente al principio de realidad.

Se pidió a las estudiantes que organizaran el portafolio, para que pudieran realizar el desfile y a la hora de ir los inversionistas pudieran dar cuenta de los materiales, del por qué era rentable invertir en ese caderín y no en otro, en qué se habían inspirado para el diseño, así como los razonamientos y pasos implementados en la construcción. Estas acciones ubican a las estudiantes en el rol de diseñadoras y las enfrentan a las tareas propias de estas profesionales. Antecediendo la experticia de una diseñadora, es funcional el uso del sentido común y poder interpretar, implementar procedimientos, estrategias de resolución o modelos matemáticos. Por ejemplo, en la siguiente transcripción de uno de los videos, se observa como llevan la necesidad de determinar un presupuesto para adquirir el material, a razonamientos aditivos y multiplicativos:

El desarrollo de las subtareas caracterización, orden de pedido, construcción y desfile del caderín evidenció la experimentación sobre acciones, materiales y contextos reales como factor de motivación, que se concretaron en la construcción de un portafolio y la presentación en el teatro, desencadenando una actitud positiva y participación, aun así, se dificulta organizar las ideas y refinar las representaciones de los razonamientos puestos en escena en el abordaje de la tarea.

La experimentación género que los diseños y materiales dispuestos en la construcción del caderín fueran cambiando de manera permanente (ver imagen 11), incluso buscando optimizar la apariencia de las prendas, y con ello, los razonamientos, medidas y cálculos realizados. Entre los aspectos que enlazan la actividad matemática con la realidad, sobresalen, el manejo de dinero simbólico, elaboración de presupuesto, vestir una prenda sobre medidas, organizar (desde relaciones matemáticas), contar y estructurar.

Transcripción de video. Grupo Juana, F. En la construcción de la orden de pedido: [ …Multiplicaron 3 por 1350, seguido a esto sumaron 350 que era el valor de cuentas doradas y 750 del valor de las cuentas plateadas, es decir, sumaron todas las

cantidades dadas por la docente, para un total de 5.150 de allí deciden comprar “más monedas que es lo que más necesitamos” …].

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Imagen N°11. Ejemplo de diseño y construcción de caderines de los distintos grupos.

Principio de Reinvención

La reinvención guiada de acuerdo con Freudenthal (2001), refiere a la interacción en el aula, la cual conjuga los roles y responsabilidades del docente y el alumno, permite caracterizar la construcción del caderín como un juego de roles en el que se vivencia el trabajo cooperativo y se dinamizan acciones como diseñar, rediseñar, solicitar material, entregar material, juzgar la construcción, estética, estructura y consistencia de los diseños, etc. En escenarios como la elaboración de una orden de pedido, para que la docente a cambio de dinero simbólico entregue cantidades de material, se observa la negociación, intervención, discusión, cooperación

y evaluación entre la docente y las estudiantes. En el siguiente fragmento de una de las sesiones de clase, se observa como la docente y las estudiantes de uno de los grupos en medio de la discusión, negocian y cooperan para determinar las cuentas de cada tipo que el grupo requiere para construir su caderín. Simultáneamente se evidencia una secuencia de preguntas que buscan sistematizar los razonamientos y resignificar los conceptos, operaciones y estrategias matemáticas recurrentes al abordar la situación. La docente actuó como mediadora de las producciones individuales y grupales manifestado en opiniones distintas,

socialización de razonamientos y un interés común, como es obtener el material suficiente.

Fragmento de transcripción: sesión 3; Orden de pedido; grupo Danna, C. Danna, B: “7 paquetes de monedas que serían 9.450; aquí serían las 8 cuentas doradas que valen 6.000 y 10 cuentas plateadas que valdrían 3.500, que si sumamos todo darían 18.950” D6 (señalando la orden de pedido).

Danna, C: Por cada tira vamos a utilizar 3 cuentas plateadas y 2 cuentas doradas.

Docente: 3 cuentas plateadas o sea ¿para las 30 tiras cuántas plateadas necesitan?

Laura: 3

Danna, B: no… 90, porque 30*3 = 90 (señalando la operación desarrollada en la hoja)

Docente: ¿ósea con 10 paquetes van a poder cubrir esas 90?

Danna, C: como así ¿Cuántas cuentas vienen en el paquete de doradas?

Docente: 15, es decir, ¿Cuántas monedas consiguen con estos 7 paquetes?

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Principio de Niveles

Los niveles de comprensión permiten caracterizar dentro de la EMR el proceso de matematización horizontal y matematización vertical. Se exponen a continuación los razonamientos asociados a cada uno de ellos.

Nivel Situacional: los primeros abordajes a la tarea evidenciaron la recurrencia de conocimientos informales, su sentido común y su experiencia, que no se distanciaron del contexto mismo de la construcción del caderín, pues operaban sobre la manipulación del material, careciendo de representaciones o expresiones numéricas que explicaran el diseño y la distribución de las cuentas. Prevalecen acciones como el conteo y el dibujo del caderín sin esclarecer la relación entre las magnitudes (tipos de cuentas).

Nivel Referencial: Aparecen los modelos gráficos y las descripciones, conceptos y procedimientos que esquematizan el problema, esto a partir de la verbalización de la apariencia, medidas y cantidades requeridas para construir el caderín. En la imagen N°12 y el siguiente fragmento, se observa la representación que modela el orden y cantidad en el que se configura cada tira a partir de cuentas y el cálculo realizado para determinar el total de monedas, haciendo una transición del conteo uno a uno, hacia un razonamiento

multiplicativo.

Danna expresa: “entonces serian 12 * 30 (para lograr encontrar la cantidad de monedas) porque cada tira tiene 12 cuentas y como son 30 tiras en todo el caderín”.

Nivel General: Acá se vinculan los razonamientos que no están condicionados al contexto y al material requerido para construir el caderín. Así, por ejemplo, las estudiantes operan sobre la representación y aplican razonamientos multiplicativos para determinar la cantidad de cuentas requeridas para el diseño; al momento de modificar algún aspecto del diseño no requieren volver sobre el dibujo, sino que manipulan las cantidades y adaptan los procedimientos y algoritmos a las nuevas condiciones (ver imagen 13).

Las relaciones identificadas en los primeros abordajes son generalizadas desde expresiones como “basta con contar el número de filas y multiplicarlo por el número de monedas que va a tener cada uno”, “si hay 24 monedas, se divide entre dos (monedas que tiene cada tira) y se multiplica por las 7 cuentas doradas que debe tener cada fila”.

Imagen 12. Representación de cuentas para una tira.

Imagen N°13. Estrategia implementada para la obtención de la cantidad de cuentas.

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Otro de los razonamientos llevados a un nivel de generalización, asocio el cálculo del precio de las cuentas que inicialmente fue entregado por paquete; ante esta subtarea, las estudiantes lograron identificar y modelar la búsqueda del precio unitario y duplicarlo tantas veces como fuese necesario, según las cantidades que el diseño requería.

Nivel formal: En la siguiente imagen se ilustra la transición de los razonamientos y procedimientos aplicados en la determinación de cantidades, relaciones y precios asociados al material para la construcción del caderín, hacia razonamientos generalizables. Pasar del valor por paquete de cuentas, al valor unitario y del valor unitario al valor total del material recurriendo a una cuarta proporcional, la unitización y la identificación de la constante de proporcionalidad para sustentar la conservación de la relación entre magnitudes (unidad/precio unitario; paquete/precio por paquete; cantidad “x” de cuentas/precio unitario por “x”)

Principio de Interconexión

La EMR asocia al proceso de matematización, el principio de interconexión relacionado con el vínculo emergente en el abordaje de las tareas entre contenidos, comprensiones y herramientas matemáticas; adicionalmente, considerando el planteamiento de Duval (1993) se incluyen las diversas representaciones de la situación.

En el caso de la “construcción del caderín” fue necesario recurrir a nociones, conceptos y procedimientos matemáticos relacionados con los sistemas numéricos, sistemas geométricos y variacionales.

Se asocian, por ejemplo, procesos, instrumentos y unidades de medida (ver imagen N°15) para determinar la forma y tamaño del diseño del caderín; los datos emergentes de este proceso inciden posteriormente en el cálculo de la cantidad de cuentas y monedas requeridas por tira y por prenda mediante razonamientos aditivos y multiplicativos. Por otra parte, la representación gráfica y tabular de la situación deja ver la covariación (que se puede sistematizar desde la ejecución de algoritmos) y la relación entre cantidades de cuentas de distinto tipo.

El lenguaje a asociado a la descripción tanto visual como procedimental de la construcción del caderín, conlleva nociones geométricas de colinealidad, forma poligonal, noción de área del rectángulo, comportamiento creciente o secuencial de

la longitud de las tiras, relación parte – todo y parte - parte entre cuentas, color, forma y tamaño de las piezas, entre otros conocimientos matemáticos que tienen sentido global e interrelacionado.

Imagen N° 14. Procedimientos para la obtención de cuentas y precios. Un paso

para razonamientos generalizables.

Imagen N°15. Utilización del metro para la toma de medidas.

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4.2 TAREA: TANGRAM

El abordaje de la situación parte de la manipulación del material concreto “Tangram” (ver anexo B), y del estudio de las propiedades, medidas y relaciones existentes entre magnitudes tales como longitud y superficie (y conservación de estas). Según Freudenthal (citado en Bressan, s.f) los contextos también pueden ser aquellos

puramente matemáticos, en tanto sean significativos. Tras este reconocimiento de las piezas del rompecabezas, se indaga por la comparación (razón) entre sus medidas y establecimiento de relaciones parte-todo acudiendo a su representación como razón, porcentaje u operador (doble, triple, cuádruple, etc.).

4.2.1 Planeación de la tarea.

a. Establecimiento de relaciones entre las fichas: se inicia la tarea con la solicitud de describir y caracterizar las piezas del tangram chino, partiendo de la comparación y superposición entre ellas y respecto al cuadrado original. Se sugieren preguntas orientadoras como: ¿Cuántas figuras se necesita de cada clase para recubrir todo el tangram?, ¿Qué parte del tangram representa cada figura?

b. Establecimiento de porcentajes: a partir de la imagen N°17 que asocia el porcentaje a una de las piezas del tangram (dado que representa la cuarta parte del cuadrado), se solicita determinar el respectivo valor que le corresponde a las demás piezas, partiendo de identificar la conmensurabilidad existente entre ellas.

c. Conversión de medidas para la ampliación del tangram: Posteriormente se ha sugerido la ampliación del rompecabezas, colocando como condición la modificación de una de sus medidas (conversión de 6 a 10 centímetros) y la modificación condicionada de las demás medidas de las piezas, conservando la forma del rompecabezas; para ello, se reconocen las propiedades y relaciones entre las medidas de las figuras como paso para deducir las respectivas medidas, hasta considerar lo que varía y lo que es constante. Ya construida una segunda versión del Imagen N°16. Tangram Chino,

con las medidas laterales.

Imagen N° 17. Tangram chino

para la obtención de

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rompecabezas, la comparación con el modelo original permite observar que entre las piezas del rompecabezas se mantiene la relación o proporción.

4.2.2 Actividad en el aula de clase.

Con el abordaje de la tarea se buscaba que las estudiantes llegaran a establecer comparaciones entre las figuras del tangram tomando como referencia la medida de los lados y la superficie, así como comparaciones parte-todo respecto al cuadrado formado con todas las piezas. La tarea estaba programada para ser abordada durante 5 horas, sin embargo, en la ejecución se destinaron 8 horas, pues se incorporó el estudio del tangram de Brousseau para manejar dos situaciones análogas que facilitarán la identificación de las relaciones entre los lados de las figuras, pues con el tangram chino solamente se tenían las medidas exteriores.

El abordaje de las primeras tareas relacionadas con la comparación de las superficies y la determinación del porcentaje que cada pieza representa respecto al cuadrado grande facilitó el desenvolvimiento de las estudiantes por la manipulación del material concreto y la recurrencia de relaciones doble, mitad y cuarta parte. La estrategia aplicada en la mayoría de los grupos consistía en superponer cada pieza sobre las demás, encontrar la pieza que cabía una cantidad exacta de veces en las demás y medirlas en términos de esa unidad, tras haber puesto la medida común, se señaló equivalencias y relaciones entre las piezas.

Al establecer relaciones entre los lados de las piezas del tangram de Brousseau (ver imagen 18), se solicitaba ampliar el lado que medía 4 unidades a 5 unidades y ajustar las demás piezas. Mientras unos grupos evidenciaron dificultad para aplicar las conversiones por ampliación de las piezas, ya que su estrategia vinculaba adicionar una unidad a cada lado, sin embargo al preguntarse por las propiedades del cuadrado lograban descartarla, los otros replicaron las estrategias implementadas en la tarea de “construcción del caderín”, a saber, reconocer la relación entre los lados 2, 4 y 5 unidades desde la comparación por parejas de

dichos lados para definir que 4 es el doble de 2 y que 5 se obtenía (por unitización) sacando la mitad de 2 y multiplicando el resultado por 5 o (por compensación coordinada) añadiendo el 4 y la mitad de 2.

Se esperaba que, con la socialización de estrategias sobre la obtención de las nuevas medidas del rompecabezas, los demás grupos pudieran entender y replicar el proceso, sin embargo,

Imagen N°18. Tangram de Brosseau para la

ampliación proporcional.

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en el taller individual (con una nueva medida para conversión), solo las estudiantes que lo lograron en la primera experimentación pudieron completar exitosamente el reto. Mientras un grupo de estudiantes lograba desarrollar la tarea replicando las estrategias socializadas por aquellos grupos que ya lo habían conseguido, estos últimos afrontaron una variación del problema, modificando la medida de 4 a 11 cm, lo cual les permitía buscar generalidades en sus procesos y razonamientos.

Se realizó una entrevista por grupo, partiendo de preguntas asociadas a las relaciones entre las figuras del tangram original y el que se había ampliado, con ello, las estudiantes identificaron los aspectos, medidas y relaciones que se conservaban y los que no; sin embargo, por el tiempo no fue posible pasar por todos los grupos limitando que todas las estudiantes llegaran a las mismas conclusiones o el mismo aprovechamiento de la actividad. Disponer material concreto para el trabajo en parejas permitió una mayor fluidez en la comparación de figuras, pues mientras una estudiante encontraba una relación, para su compañera era fácil validarla o refutarla.

La actividad tuvo que ser aplazada durante dos semanas, debido a las dinámicas del colegio, pues correspondía el cierre de trimestre y con ello, la semana de repaso, desarrollo de planes de apoyo de cada desempeño, recuperaciones y entrega de boletines; lo cual implicó destinar tiempo adicional para retomarla y contextualizar el trabajo ya desarrollado.

Para profundizar en la caracterización de la tarea desde los principios de la EMR se dispone en el anexo G la rejilla correspondiente.

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