Research Implications

Frente a la tercera tarea propuesta, las estudiantes identifican la cantidad de cada ingrediente ajustado a 5 porciones y posteriormente determinan la cantidad correspondiente a una porción (unitización) mediante el uso del algoritmo de la división. Este cálculo es organizado en una representación tabular, el cual posibilita ajustar la receta para la cantidad de porciones solicitada mediante la reiteración “n” veces de la porción individual. El doble emparejamiento de magnitudes partiendo de la relación unitaria y sus múltiplos (normación), permitió a las estudiantes de este grupo dar solución a la tarea.

La conversión de unidades de medida para las distintas magnitudes se comporta según el Sistema Internacional de Medidas (SIM), análogamente al sistema decimal que es aditivo y multiplicativo, dejando ver como se aplica la proporcionalidad a distintos contextos.

Tras haber identificado la cantidad de cada ingrediente ajustado a la receta para varias porciones, acuden a compensaciones correspondientes. Se vinculan procedimientos aditivos y multiplicativos para llegar a la unitización o encontrar la cuarta proporcional para una unidad compuesta (ver imagen 64).

Esquema (5.3.2) de matematización de la situación “Tangram” G. Danna, C.

Imagen N° 64. Representación tabular de la modificación de

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En la siguiente descripción se observa el razonamiento referenciado previamente para la determinación de la cantidad de harina necesaria para preparar 12 porciones de Brownie.

Los razonamientos evidenciados en el abordaje de la tarea por este grupo se caracterizan dentro del nivel de comprensión general, pues construyen una representación tabular y un modelo asociado a las compensaciones coordinadas, mediante los cuales hacen el doble emparejamiento de las magnitudes desde la solución de cuartas proporcionales, todo esto permite la construcción de la constante de proporcionalidad. Simultáneamente, las estudiantes verbalizan el razonamiento aplicado y lo contrastan con la unitización para validar el resultado (ver imagen 65).

Imagen N° 65. Representación de la estrategia para obtener la cantidad de ingredientes. Amy: Para la preparación de 10 porciones se necesitan 76 gramos de harina de trigo, entonces tomamos el 38 [gramos para 5 porciones] y lo dividimos en 5, para saber la cantidad para una porción, o sea 7,6 y este lo multiplicamos por dos (7,6*2= 15,2) y este resultado se lo sumamos a 76 gramos (que son de 10 porciones) para un total de 91,2 gramos para las 12 porciones.

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5.3.4 Planeando las vacaciones.

Tras la lectura de la situación, hay un reconocimiento acertado de la escala con la cual se construyó el mapa. La estrategia inicial es informal y consistente en trasladar la unidad (1,7 cm) mediante la abertura de los dedos, al notar la dificultad para conservar la medida, optimizaron la estrategia mediante el uso de la regla para medir cada 1,7 cm.

El nivel de comprensión sobre la conservación de la relación entre magnitudes es general, basando el razonamiento en establecer una cuarta proporcional a partir de la multiplicación y división de magnitudes, dando sentido al por qué de cada operación. El doble emparejamiento se da desde el reconocimiento de la relación entre magnitudes de distinta naturaleza (unidades en cm / unidad escala 1,7 cm / unidad 50 km) para luego aplicar la transformación de una magnitud a las demás.

La reinvención guiada desde la negociación y cooperación entre las estudiantes y la docente llevo a comprender la equivalencia entre las unidades de cada magnitud, tal cual se expresa en el siguiente episodio de la sesión.

Las estudiantes reconocen que la estrategia de medida genera resultados aproximados y que admite la estimación, por ejemplo, al enunciar que inicialmente 1,7 cm correspondía a un trayecto 50 km, por lo tanto 2 cm y 3 cm corresponderían aproximadamente a 60 y 85 km respectivamente. El anterior razonamiento evidencia la comprensión de la relación entre las magnitudes y su conservación, además, los cálculos realizados denotan el manejo de números decimales, superando la dificultad generalizada entorno al uso exclusivo de cantidades enteras.

Rápidamente, se observa la recurrencia a los modelos y razonamientos usados en las tareas anteriores, particularmente la unitización y solución de cuartas proporcionales. En este orden de ideas, se utiliza la unitización para modelar y determinar la conservación de la relación entre magnitudes, considerando la constante de proporcionalidad para hallar una de las Transcripción diálogo sobre el cálculo de la distancia G4: Danna: lo primero que hicimos fue sumar todos los cm que nos da, y eso fue 13,6 y luego eso lo multiplicamos por 50 para que nos de él total

Docente: eso funcionaria si ¿cada cm equivale a 50 km? Amy: no…(dudando), no es que por cada 1,7 son 50km Docente: listo, o sea ¿Cuántos 1,7 tienen aquí (señalando el 13,6)?

Danna: a lo podemos dividir y después si multiplicarlo y eso daría (empieza a hacerlo en la calculadora) da 8, y eso por 50 serían 400km

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magnitudes faltantes sea entera o no. Se observa en el siguiente fragmento del trabajo realizado en el grupo, como se

aplica un razonamiento proporcional para determinar la relación entre magnitudes de igual y distinta naturaleza.

Primero se busca la relación entre 1,7 cm y 3,3 cm, para determinar cuántas unidades de acuerdo a la escala hay entre dos lugares del mapa (3,3/1,7), lo cual implica que son aproximadamente dos unidades que equivalen a 100 km. Posteriormente, se busca la relación entre 1,7 cm (unidad en el mapa) y 50 km (unidad en el terreno), por medio del cociente entre ambos valores, para ello dividen 1,7 cm entre 50 km y viceversa, para interpretar a cuántos kilómetros equivale un cm y a cuántos cm equivale un km.

Los razonamientos expuestos anteriormente dejan ver una comprensión tanto de la relación proporcional entre las magnitudes, como la comprensión de las magnitudes mismas a partir de la exploración entre las equivalencias entre las magnitudes partiendo de la unidad. El doble emparejamiento de magnitudes permite un rápido cálculo de las cantidades cuando se duplica una determinada cantidad de veces la unidad. En la reiteración de los procedimientos para hallar las magnitudes faltantes en una cuarta proporcional, se observa el proceso de algoritmación que puede llevar al reconocimiento de la regla de tres como modelo para sintetizar los cálculos. De la misma manera como se evidenció en el abordaje de la anterior tarea, las estudiantes validan los resultados aplicando una segunda estrategia, consistente en realizar la compensación correspondiente.

Se observa desde el abordaje dado a la tarea un nivel de comprensión formal de la conservación de la relación entre magnitudes, pues las estudiantes abordan diversidad de situaciones asociadas a la tarea, relacionando las magnitudes (escala y distancia de trayectos; distancia y galones de combustible consumidos; distancia recorrida y tiempo usado para ello) y reconociendo la relación proporcional entre ellas como punto previo al uso de la unitización, compensación coordinada, doble emparejamiento y demás razonamientos o procedimientos construidos. Las estudiantes observan la correspondencia entre la cantidad de km y el tiempo demorado, para luego deducir ejemplos concretos que se basan en duplicar las magnitudes simultáneamente.

Danna: 1,7 cm es lo que mide 50 km

Amy: tenemos que saber 3,3 cm ¿Cuántos km son?

Danna: entonces tenemos que dividir en 1,7 dividió en 50 (inicia a realizar el algoritmo en una hoja)

Docente: ¿qué les representa ese 0,034?

Danna: lo que hace un km (escribiendo la expresión en la hoja 0,034= 1km), luego lo multiplicamos por las veces que este aquí (señalando el 1,7)

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La discusión sobre las estrategias para determinar el tiempo para un recorrido especifico, lleva a las estudiantes a hacer comparaciones internas y externas, es decir, encontrar la razón entre distancia y tiempo, pero también entre distancia y distancia para luego multiplicarla por la constante de proporcionalidad.

Al determinar el tiempo requerido para transitar 560 km, las estudiantes transforman la representación esquemática de la cuarta proporcional y la tabla donde realizan el doble emparejamiento recurriendo a distintas representaciones de la cantidad aproximación entera, medida decimal exacta o medida con una fracción mixta denotando la relación parte-todo, como se observa en el siguiente diálogo dado en el grupo:

La lectura de la situación lleva a las estudiantes a una mirada referencial y situacional de las magnitudes, lo cual permite comprender la relación entre ellas. Al analizar la velocidad, la distancia y el tiempo empleado para recorrer un trayecto, las estudiantes detallan por ejemplo la magnitud tiempo, descomponiendo la hora en 60 minutos y asignando a cada unidad la distancia correspondiente (1 km) permitiendo dar una respuesta sobre el tiempo total en términos de horas o de minutos.

En la socialización de los razonamientos y soluciones dadas a la subtarea relacionada con la cantidad de galones de combustible usados en el trayecto de Bogotá a Santa Marta se evidenció que el nivel de comprensión sobre la situación y la conservación de la relación entre magnitudes es distinto incluso para estudiantes del

mismo grupo. La representación tabular (ver imagen 66) permite organizar las distintas equivalencias entre magnitudes y consolidando las distintas estrategias construidas en el abordaje del conjunto de tareas. Dentro del grupo la estrategia de Danna desde un inicio fue buscar las

compensaciones correspondientes, mientras Juana buscaba la unidad para luego multiplicarla. Al finalizar las estudiantes contrastan y validan tanto el proceso como el resultado.

Transcripción diálogo sobre el cálculo de la cantidad de combustible G4:

Docente: ¿tienen otra estrategia para saber cuánto se demora en recorrer 560 km? Laura: dividir 560 en 60 que seria 9

Danna Castro: es 9 y 1/3 porque si uno tiene en cuenta solo el 9 serian 540, entonces faltarían 20km, entonces si sacamos un tercio de una hora

Imagen N° 66. Representación tabular para el establecimiento de

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Al determinar el combustible consumido en un recorrido de 900 km, Danna indica que se debe añadir el combustible para recorrer dos veces y media el trayecto de 370 km y luego restar la distancia excedente, como se describe en su verbalización: “Lo que podemos hacer ahora es casar la mitad de 370 que serían 185 km, o sea eso serian 4 galones. Y después se puede mirar cuanto serian 20 km y se le restaría (asumiendo que se podían sumar 740 km y 185 km para buscar completar los 900km que era la pregunta inicial)”

En paralelo, Juana propone buscar, cuántos km se recorren con un galón, que serían “dividir 370 en 8 y eso da 46 km” a partir de esta relación (1 galón y 46 km) y del doble emparejamiento es posible llegar al combustible usado para recorrer los 900 km, dividiendo este valor entre 46. María sugiere el doble emparejamiento desde los múltiplos de la unidad en cada magnitud como estrategias para dar solución a la subtarea al enunciar: “revisamos que con 8 galones se recorría 370, entonces con 16 serian 740 km y entonces con 24 serían 1110km” Lo cual es evidencia de la diversidad de estrategias de solución para una tarea, y como la discusión y validación en grupo cobra sentido en la constitución del objeto mental sobre la conservación de la relación entre magnitudes.

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6. CONCLUSIONES

A partir de la ejecución y retroalimentación del plan diseñado para dar cumplimiento a los propósitos de la presente investigación, se han reivindicado planteamientos teóricos de la EMR para orientar el abordaje del conjunto de tareas y las dinámicas de clase. En particular, se sostuvo, en términos de Freudenthal (1983), la intención de llevar la acción educativa a la constitución de objetos mentales de manera anticipada a la adquisición de conceptos, la matematización y algoritmación previo al aprendizaje de resultados y algoritmos, entre otros tantos aspectos que se explicitaran en el presente apartado. Cabe resaltar que al reconocer la matemática como una actividad humana y los demás principios de la EMR en la construcción de la propuesta, se ha logrado con el abordaje de las tareas, matematizar situaciones relacionadas con la identificación de la conservación de la relación entre magnitudes como consecuencia de comparar y analizar la covariación de magnitudes, todo esto, orientado desde el tránsito entre niveles de comprensión que llevaron a desarrollar el pensamiento proporcional y comprender aspectos fundamentales asociados a los conceptos de razón, proporción y magnitudes proporcionales.

Como resultado de la investigación, se da cumplimiento a los objetivos planteados, pues se logró documentar los niveles de comprensión alcanzados por las estudiantes de grado 5° desde el abordaje de las tareas a) Construcción del caderín, b) Tangram, c) Preparación de un brownie, d) Planeando las vacaciones y e) Proporcionalidad en diversos contextos. La caracterización de los procedimientos, razonamientos y representaciones construidos por las estudiantes se da a partir de un modelo anticipado de comprensión esquematizado en los cuatro niveles propuestos por la EMR, el cual considera un marco de referencia entorno al desarrollo del pensamiento proporcional y se compone de un conjunto de descriptores que caracterizan la matematización dada en los grupos cooperativos y de forma individual sobre la conservación de la relación entre magnitudes. Así mismo, se da una mirada a los procesos que han posibilitado el tránsito entre niveles de comprensión sobre el objeto mental, resaltando el rol cumplido por la resolución de problemas; modelación de procesos y fenómenos de la realidad; comunicación; razonamiento; comparación y ejercitación de procedimientos y algoritmos. Se resaltarán aspectos de las tareas, reportando el grado de cumplimiento de los objetivos y caracterizando las comprensiones logradas alrededor del pensamiento proporcional. Al finalizar, se encontrarán consideraciones y reflexiones.

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La construcción de la propuesta a partir de 5 tareas se ha fundamentado en los principios de la EMR, mediante rejillas que consideran aspectos teóricos y evidencias de cómo dichos principios se materializaron en el abordaje de cada situación. Se presenta el proceso de matematización de las situaciones y abordaje de las tareas por los 10 grupos de estudiantes, mostrando el tránsito por los niveles de comprensión, de acuerdo a los procesos y razonamientos utilizados para resolverlas. A partir de tres grupos representativos se ilustra la identificación de las magnitudes, la relación entre ellas, la cuantificación de la relación y esquemas más elaborados como la unitización, la normación y las compensaciones coordinadas realizadas para solucionar situaciones de proporcionalidad. El diseño metodológico propuesto ha permitido hacer una reconstrucción permanente de las tareas, en tanto a las adaptaciones de tiempo, formato de los instrumentos o modificación de tareas, por ejemplo, al incluir el tangram de Brousseau en la segunda situación. El carácter cíclico de la I-A se ha evidenciado al transitar de la planeación de la propuesta a la ejecución de cada tarea y la observación de las producciones de las estudiantes, las dinámicas de clase y la matematización realizada sobre las situaciones. Posterior a la sistematización de cada observación se dio un proceso de reflexión que permite resignificar la estructura de cada tarea, aspectos metodológicos, los referentes teóricos y hacer los respectivos ajustes a las tareas siguientes.

Matematización de las situaciones: abordaje de las tareas.

En la tabla se ilustra la caracterización hecha a cada una de las tareas de acuerdo al abordaje dado por los tres grupos que representan las estudiantes de grado uinto, para ello se ubican las producciones realizadas de acuerdo a los niveles de comprensión sobre “la conservación de la relación entre

magnitudes” y los criterios que hacen parte del modelo anticipado de comprensión

expuesto en el capítulo III. Uno de

los aspectos

Esquema de matematización de las situaciones

G. Est. Caderín Tangram Brownie Vacaciones Contextos

1 Ana, M. Situacional Referencial Situacional Referencial Situacional Situacional Referencial General Nicol, P. General María, O. Referencial Isabella, P. Situacional 4 Tatiana, T. Situacional Referencial Referencial y general. Referencial y General. Referencial y General Formal Formal Laura, Z. General Laura, O. Referencial Sara, S. Referencial 5 Danna, C. Situacional Referencial Referencial y general. Referencial y Formal General y Formal Formal Valeria, B. General Danna, G. General Amy, C. Situacional

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comunes es la construcción de distintas representaciones que esquematizan la verbalización de los procedimientos y soluciones propuestas por las estudiantes. La representación más recurrente es la tabular, la cual organiza y modela la relación entre magnitudes, pero se soporta en representaciones gráficas y pictóricas, tales como el emparejamiento de puntos para ilustrar la conformación de grupos de baile o la representación de una secuencia para ilustrar la relación parte-todo y parte-parte entre las piezas del caderín.

A. El abordaje dado por las estudiantes del grupo de Ana, M., se ha caracterizado por una matematización centrada en reconocer aspectos relevantes de las situaciones específicas partiendo del uso de sentido común y la experiencia previa, llegando a la identificación y comparación de magnitudes sin distanciarse del contexto de la situación. Ha sido recurrente el uso de lenguaje natural y representaciones gráficas que modelan la manipulación sobre el material concreto. El grupo logra un progreso hacia el nivel de comprensión referencial debido al refinamiento de las representaciones y procedimientos realizados, al punto de involucrar expresiones y propiedades aritméticas para la solución de una cuarta proporcional basada en relaciones (doble, triple o mitad de) y la recurrencia a la unitización y normación para la solución de la tarea específica. La transición del nivel situacional al referencial se da por el esfuerzo evidenciado por sofisticar el procedimiento aritmético y comunicar de manera clara la relación entre las magnitudes que intervienen, dado que el análisis sobre la situación se centra en la identificación de aspectos cualitativos y relaciones cuantitativas implicadas. En la tarea “construcción del caderín” se identifican las regularidades en el recuento de los tipos de cuentas (plateadas, Monedas, etc.), dada la conservación en la cardinalidad de los grupos y representado desde el modelo de suma reiterada o multiplicación, permite establecer relaciones desde comparaciones entre las magnitudes para casos específicos de duplicación “enésima” de magnitudes de igual o distinta naturaleza, todo esto como un antecedente natural de la representación de una cuarta proporcional. Sin embargo, con mayor frecuencia surgen los razonamientos aditivos para explicar que cada tira está compuesta por subgrupos de elementos añadidos y que las magnitudes crecen simultáneamente. Para soportar este esquema, realizan representaciones gráficas que discriminan los tipos de cuentas sin enunciar la covariación proporcional entre las magnitudes, dejando ver una dependencia al contexto y al material usado.

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En la solución de la tarea “Tangram” se evidencia nuevamente la dependencia de los razonamientos hacia la manipulación del material concreto y la revisión de las características perceptibles de las fichas del tangram. Las estudiantes comparan por superposición las piezas, pero muestran dificultad para cuantificar o modelar la relación entre la superficie de las piezas, pese a la intervención de la docente quien intenta orientar a las estudiantes a la comparación y composición proporcional de los lados de cada pieza, las estudiantes llegan a construir un tangram ampliado buscando conservar la forma sin detallar la variación en las medidas.

Solo hasta la solución de la tarea “Preparación de un Brownie” se evidencia la transición clara al nivel referencial en el que se establecen y modelan relaciones acudiendo a expresiones aritméticas y algoritmos (para casos específicos como ser el doble o triple de), mediante los cuales se llega a las cantidades adecuadas de cada ingrediente, el progreso está asociado a la construcción, uso y optimización de la representación tabular, como medio para determinar las cantidades exactas.

Finalmente, en las tareas “Planeando las vacaciones” y “Proporcionalidad en diversos contextos” se evidencia el reconocimiento de la conservación de la relación entre magnitudes (distancia real, distancia a escala, tiempo de recorrido) y la modelación de la situación mediante la incorporación de razonamientos y procedimientos basados en la división y multiplicación de cantidades, hasta llegar a la unitización. No hay un tránsito a los demás niveles de comprensión, pues el tratamiento las magnitudes se limita a relaciones de duplicación o partición por mitad de estas; adicionalmente usan cantidades enteras y se dificulta replicar los razonamientos a otras situaciones.

B. El abordaje dado por las estudiantes del grupo de Tatiana, T., se ha caracterizado por una matematización centrada en reconocer la relación entre magnitudes y su conservación, representar de distintas maneras dicha relación y establecer razonamientos y procedimientos para dar solución a las situaciones, encontrando los valores desconocidos en una cuarta proporcional. La transición del nivel situacional al referencial surge desde un rápido reconocimiento de los aspectos relevantes de la situación y la identificación de la