The role of portfolio foreign investments in the development of emerging capital markets
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En el presente modelo matem´atico propuesto se ha incluido la sensibilidad a la insulina, con el fin de dar un acercamiento a un comportamiento general de los pacientes, ya que esta influye directa- mente en la regulaci´on del nivel de glucosa y se afecta especialmente por las actividades de cada persona.
La sensibilidad a la insulina es la cantidad de insulina que el cuerpo necesita para contrarrestar una cantidad de glucosa. Los pacientes con buena sensibilidad son aquellos que necesitan peque˜nas cantidades de insulina para secretar una cierta cantidad de glucosa. No obstante, la sensibilidad a la insulina se ve afectada a lo largo del d´ıa como resultado de las actividades diarias de cada perso- na. En pacientes con DM1, la sensibilidad a la insulina indica la cantidad de glucosa que puede ser disminuida con una unidad de insulina, permitiendo un r´apido control de las glucemias que est´an fuera de los niveles deseados.
A continuaci´on, se ilustra el modelo de utilizaci´on de glucosa propuesto en [7] y posteriormente se muestran las modificaciones realizadas sobre el mismo como propuesta de esta investigaci´on, para la inclusi´on de la sensibilidad a la insulina en el modelo matem´atico.
Utilizaci ´on de glucosa
La utilizaci´on total de glucosa es la suma entre la utilizaci´on independiente (Uii(t)) y dependiente
de insulina (Uid(t)).
U(t)=Uii(t)+Uid(t)
La utilizaci´on de glucosa independiente de la insulina (Uii) hace referencia a la glucosa consumida
por el cerebro y eritrocitos (Fcns), y se considera constante:
Uii =Fcns
Fcns=1mg/(Kg·min)
La utilizaci´on de glucosa dependiente de la insulina est´a relacionada con la cantidad de glucosa en los m´usculos y tejidos (G(t)) y la cantidad de insulina que pasa por el l´ıquido intersticial (X(t)), siguiendo la ecuaci´on de Michaelis-Menten. En la ecuaci´on 4-25 se trata de representar la acci´on de la insulina en el control de la glucosa, de manera que cuando esta entre en contacto con los tejidos y m´usculos estimule la absorci´on de glucosa.
48 4 Desarrollo de la investigaci´on Uid(t)= Vm(X(t))·Gt(t) Km(X(t))+Gt(t) (4-25) Vm(X(t))=Vm0+VmxX(t) (4-26) Km(X(t))=Km0+KmxX(t) (4-27) ˙ X(t)=−P2U·X(t)+P2U(I(t)−Ib) (4-28) Donde:
Vm:Primer par´ametro de Michaelis Menten.
Km:Segundo par´ametro de Michaelis Menten.
En la tabla4-7se muestra la descripci´on y el valor de cada uno de los par´ametros del modelo de
utilizaci´on de glucosa.
Par´ametro Descripci´on Valor Unidad
Vm0 Valor deVma valor nulo de X 2.50 mg/(Kg·min)
Vmx Tasa de incremento deVm 0.047 (mg/Kg/min)/(pmol/L)
Km0 Valor deKma valor nulo de X 225.59 mg/Kg
Kmx Tasa de incremento deKm 0 (mg/Kg)/(pmol/L)
P2U Ratio de acci´on de la insulina en el uso de la glucosa 0.0331 min−1
Tabla 4-7.: Par´ametros del modelo de utilizaci´on de glucosa.
En el modelo matem´atico propuesto, la sensibilidad a la insulina se relaciona con el par´ametro
Km0, ecuaci´onKm(X(t)). Si se incrementa su valor, disminuye el consumo dependiente de la insu-
lina (Uid(t)), ocasionando un aumento en el nivel de glucosa. Por consiguiente, existe una propor-
cionalidad inversa entre este par´ametro y el consumo dependiente de la insulina; a su vez existe una proporcionalidad directa entreKm0y el nivel de glucosa.
Para la implementaci´on de la sensibilidad a la insulina en el modelo matem´atico, se definen seis lapsos de tiempo, que constituyen el perfil de sensibilidad del paciente a lo largo de las 24 horas
del d´ıa (T sen); para cada uno de estos, se define la sensibilidad a la insulina, donde el menor
y el mayor valor representar´an el m´ınimo y el m´aximo de variaci´on posible respectivamente, en relaci´on al par´ametroKm0, el cual tender´a a variar con respecto a un porcentaje definido , superior
e inferior a su valor original. La siguiente ecuaci´on modela el cambio deKm0:
Km0(t)=minK+varS en(1)+ N X j=1 0 t<T senj varS en j+1−varS enj T senj+1−T sen j
·(t−T senj) T senj≤t≤T senj+1 varS enj+1−varS enj t>T senj+1
(4-29)
4.1 Modelo matem´atico del p´ancreas con diabetes tipo 1 49 Donde:
minK:Valor m´ınimo de variaci´on deKm0(mg/Kg).
varS enj:Valor de variaci´on de la sensibilidad en cada instante de tiempo definido (mg/Kg).
T senj:Tiempo de cada variaci´on de sensibilidad (min).
La figura4-17ilustra el comportamiento del par´ametroKm0en el tiempo, donde, en la primera ho-
ra, al no definirse un perfil de sensibilidad, el par´ametro conserva su valor original. Cabe resaltar
que el cambio en el valor de Km0no es inmediato, esto representar´ıa un comportamiento abrupto
en las din´amicas de utilizaci´on de glucosa, raz´on por la cual, para pasar de un valor de sensibilidad a otro, hay un crecimiento o decrecimiento constante en el tiempo.
Figura 4-17.: Variaci´on del valorKm0en el tiempo.
De acuerdo a lo anterior, se desarroll´o la siguiente simulaci´on en la que se determinaron 3 ingestas de alimento compuestas por carbohidratos, grasas y prote´ınas a lo largo de un d´ıa. Se propone contrastar los dos tipos de administraci´on de insulina, MDI e ISCI, de manera que se var´ıa la sen- sibilidad a la misma, como consecuencia de las actividades propias del paciente, y se analiza c´omo se afecta el nivel de glucosa de acuerdo a esta variaci´on. En la tabla 4-8se presenta el perfil de sensibilidad definido por el paciente en determinadas horas del d´ıa, a partir de estos, se altera el par´ametroKm0en un porcentaje de variaci´on del 20% para cada tipo de terapia. En la figura4-18
se presenta el resultado de la simulaci´on; las gr´aficas ilustran el control de los niveles de glucosa producto de los dos tipos de terapia insul´ınica, permitiendo comparar el comportamiento de los niveles de az´ucar en la sangre en el paciente cuando se var´ıa la sensibilidad y cuando esta perma- nece normal; con esto, es posible evidenciar lapsos de tiempo en los cuales como producto de la variaci´on de la sensibilidad, se hace necesario incrementar o disminuir la cantidad de infusi´on de
50 4 Desarrollo de la investigaci´on insulina.
mg/dl por UI Tiempo (horas)
180 0:00 200 4:00 160 6:00 200 10:00 210 12:00 170 17:00
Tabla 4-8.: Sensibilidad del paciente en el d´ıa.
Figura 4-18.: Contraste entre las terapias de infusi´on de insulina, a partir de la variaci´on de sensi- bilidad a la misma.