PAIR PROGRAMMING
5.3 PROGRAMMING TASK DEMANDS
En el Cap´ıtulo 3 establecimos f´ormulas para tabular el s´ımbolo de Hilbert de un par de n´umeros p-´adicos con p = 2,3,· · · ,∞. No hicimos menci´on a Q por el simple hecho de que ´este resulta ser un subcuerpo de Qp en todos los casos. Sin embargo, cabe recordar que a ∈ Q∗ tiene una representaci´on distinta en cada uno de los Qp (ver Cap´ıtulos 2 y 3
de [2]). En consecuencia, para el c´alculo del s´ımbolo de Hilbert de dos racionales no nulos, debemos expresar ambos n´umeros como expansiones p-´adicas para luego aplicar las f´ormulas que ya estudiamos. Paraa, b∈Q∗, se denota por (a, b)p al s´ımbolo de Hilbert de las expansiones p-´adicas de
a y b. En este cap´ıtulo nos concentraremos en importantes propiedades que giran en torno al s´ımbolo de Hilbert de dos n´umeros racionales.
Empezamos probando la conocida f´ormula producto de Hilbert. Antes una observaci´on.
Observaci´on 5.1 Dados a, b ∈ Q, existen c, d ∈ Z que cumplen m = ac2, n = bd2 ∈ Z. Por las propiedades del s´ımbolo de Hilbert se cumple
(a, b)p = (m, n)p. Es m´as, podemos descomponerm ynen factores primos
cual m = (−1)rm
1· · ·mk y n = (−1)sn1· · ·nl. Por la bimultiplicidad del
s´ımbolo de Hilbert se tiene entonces (a, b)p = Y i=1,···,k j=1,···,l (ai, bj)p Y i=1,···,k (ai,(−1)s)p Y j=1,···,l ((−1)r, b j)p((−1)r,(−1)s)p
Para s o r pares los productos Y
i=1,···,k (ai,(−1)s)p, Y j=1,···,l ((−1)r, bj)p y ((−1)r,(−1)s)
p son trivialmente iguales a 1. De esta manera el c´alculo
de (a, b)p se reduce a analizar s´ımbolos de Hilbert del tipo (q, t)p, donde
q, tson iguales a un primo o a −1.
Teorema 5.2 (F´ormula producto).Dadosa, b∈Q∗ se cumple(a, b)
p =
1 para casi todos los p= 2,3,· · · ,∞, adem´as de Y
p=2,3,···,∞
Prueba. Por la observaci´on anterior solo es necesario analizar la situaci´on cuandoa, b sean primos o iguales a −1.
Caso 1: a = b = −1. Es claro que se tiene (a, b)∞ = −1. Si p = 2 se cumple−1 = 1 + 1·2 + 1·22+ 1·23· · · con lo que se tiene −1≡3 (m´od
4) y −1≡7 (m´od 8). Por ende se consigue
(−1,−1)2 = (−1)ǫ(−1)ǫ(−1)+0ω(−1)+0ω(−1) = (−1)1 =−1.
Sip >2 se tiene que−1 = (p−1) + (p−1)p+ (p−1)p2+· · · es unidadp- ´adica. De nuevo, por la Observaci´on 3.3 es obvia la igualdad (−1,−1)p = 1.
De aqu´ı es evidente que se cumple Y p=2,3,···∞ (−1,−1)p = (−1,−1)2(−1,−1)∞ Y p=3,5,··· (−1,−1)p =−1·−1·1 = 1.
Caso 2: a=−1 yb = 2. Este caso es trivial pues la terna (1,1,1) siempre resuelvex2+y2−2z2 = 0.
Caso 3: a = −1 y b = q con q 6= 2. Si p = ∞ es que obvio que se tiene (−1, q)∞= 1 pues qes positivo. Si p= 2 se tiene que qes unidad 2-´adica, por ende se cumple
(−1, q)2 = (−1)ǫ(−1)ǫ(q) = (−1)ǫ(q).
Si p 6= q,2 resulta que q es unidad p-´adica y se tiene (−1, q)p = 1. Si
p=q se tiene (−1, q)q =
−1
q
= (−1)ǫ(q). Ahora resulta evidente que el producto Y
p=2,3,···,∞
(a, b)p es igual a 1.
Caso 4: a = s y b = r con s, r primos. Si p = ∞ es obvio que se tiene (s, r)∞ = 1. Sip= 2 tenemos cuatro casos posibles. Si s=r= 2 se tiene
(2,2)2 = (−1)ǫ(1)ǫ(1)+ω(1)+ω(1) = (−1)0 = 1.
(2, r)2 = (−1)ǫ(1)ǫ(r)+ω(r)+0ω(1) = (−1)ω(r).
As´ı tambi´en, sir= 2 y s6= 2 se cumple igualmente (s,2)2 = (−1)ω(s). Por
´
ultimo, si s, r 6= 2 resulta que ambos son unidades p-´adicas y por ende se tiene
(s, r)2 = (−1)ǫ(s)ǫ(r).
Si p >2 tenemos diez casos a tratar. Si s =r = 2 resulta que ambos son unidades p-´adicas y por ende se tiene (2,2)p = 1. Si s= 2 y r 6= 2, p,
tambi´en es claro que ´estas son unidadesp-´adicas y as´ı tenemos (2, r)p = 1.
Sis = 2 yr =p se tiene (2, r)r = (−1)1·0·ǫ(r) 2 r 1 1 r 0 = 2 r .
Luego, por el Ejemplo 2.3, sabemos que se cumple (2, r)r = (−1)ω(r). Si
r = 2 y s 6= 2, p, ambos son unidades y se cumple (s,2)p = 1. Si r = 2 y
s = p, por lo ya visto antes, se tiene (s,2)s = (−1)ω(s). Si s = r 6= 2, p,
ambos son unidades p-´adicas y por ende (s, r)p = 1. Sis =r =p se tiene
(p, p)p = (−1)ǫ(1) 1 p 1 p = 1.
Sis 6=r =p se tiene que s es unidad p-´adica y por ende cumple
(s, r)r =
s r
.
De igual forma, si r 6= s = p se cumple (s, r)s =
r s
. Por ´ultimo si s, r 6= p,2, ambos son unidades y se cumple (s, r)p = 1. Es claro que el
Y p=2,3,···∞ (a, b)p = (−1)ω(r)(−1)ω(s)(−1)ǫ(s)ǫ(r)(−1)ω(r)(−1)ω(s) r s s r = (−1)ǫ(s)ǫ(r)r s s r .
Finalmente, por ley de reciprocidad cuadr´atica se cumple r s s r = (−1)ǫ(s)ǫ(r) y en consecuencia se tiene Y p=2,3,···,∞ (a, b)p = 1.
Si bien hasta ahora hemos resuelto el problema de hallar el s´ımbolo de Hilbert de dos n´umeros, es posible plantear un problema novedoso: resolver la “ecuaci´on”(a, x)p = (−1)s con p primo, x, a∈ Q∗ y s ∈Z/2Z.
Ilustramos con un ejemplo.
Ejemplo 5.3. Hallaremos x que resuelva la ecuaci´on (250, x)5 = −1.
Ponemos x = 5ml, con l unidad 5-´adica. Como se tiene 250 = 2· 53,
ω(5) = 1 yǫ(5) = 0, usamos la f´ormula del Teorema 3.1 para obtener
(250, x)5 = (−1)3mǫ(5) 2 5 m l 5 3 = (−1)mω(5) l 5 = (−1)m l 5 .
De esta manera, con m= 1 y l= 1, se resuelve la ecuaci´on. Es obvio que x= 5 puede ser elegido.
Sin embargo, es posible encontrar otros x que resuelvan la ecuaci´on planteada en el ejemplo anterior. Surge entonces otra interrogante: dado un “sistema”de ecuaciones, ¿ser´a posible encontrar al menos un x que lo resuelva? Vamos a ilustrar la situaci´on con dos ejemplos.
Ejemplo 5.4 (un “sistema” de ecuaciones). Vamos a hallar x que resuelva el sistema
(8, x)3 =−1
(15, x)5 = 1.
Es claro que se cumple (8, x)3 = (2, x)3. Ponemos x = 3mv con v unidad
3-´adica. Al ser 2 una unidad 3-´adica se tiene
(2, x)3 = (2,3mv) = 2 3 m . Y como se cumple 2 3 = (−1)ω(3) = −1, tenemos (2, x) 3 = (−1)m.
Vemos que basta con elegir m impar para resolver la ecuaci´on. Ahora, ponemosx= 5nl con l unidad 5-´adica. Como se cumple ǫ(5) = 0, se tiene
(15, x)5 = (5·3,5nl) = 3 5 n l 5 .
Puesto que 3 no es residuo cuadr´atico m´odulo 5, resulta
(15, x)7 = (−1)n l 5 .
En resumen, vemos que basta con tener n impar y que l no sea residuo cuadr´atico m´odulo 5 para poder resolver la ecuaci´on. Por ejemplo x = 60 = 4 ·3 · 5 resuelve el sistema pues 12 ≡ 2 (m´od 5) no es residuo cuadr´atico m´odulo 5.
Ejemplo 5.5 (una ecuaci´on que barre los primos). Busquemos un x que resuelva la ecuaci´on (p−1, x)p = 1 para p = 2,3,· · ·. Esto l´ogi-
camente representa un conjunto infinito de ecuaciones (pero que est´a en concordancia con el Teorema 5.2). El caso p = 2 es obvio pues la terna (1,1,0) resuelve la ecuaci´on a2 −b2−xc2 = 0. Si p >2 resulta que p−1
es siempre unidadp-´adica, y as´ı basta quex sea unidadp-´adica para todo p >2 (por ejemplo x= 4) y quedar´a liquidado el asunto.
Notemos que se puede reemplazar los valores±1 del lado derecho de las ecuaciones por s´ımbolos de Hilbert. La ecuaci´on del ejemplo anterior
pudo escribirse como (p−1, x)p = (−1,2)p. A continuaci´on presentamos
un ´ultimo ejemplo sobre el particular.
Ejemplo 5.6 (un sistema que barre los primos). Vamos a estudiar el sistema infinito
(2, x)p = (−1,3)p,
(1, x)p = (3,4)p,
con p = 2,3,· · · ,∞. Para (−1,3)p es claro que se tiene (−1,3)∞ = 1,
(−1,3)2 = (−1,3)3 = −1 y (−1,3)p = 1 para p = 5,7,· · ·. Si p =∞, es
clara la igualdad (2, x)∞= 1. Si p= 2 ponemos x= 2mv y se tiene
(2, x)2 = (−1)ǫ(1)ǫ(v)+mω(1)+ω(v) =−1ω(v).
Por consiguiente, se necesita tener v ≡ ±5 (m´od 8). Sip= 3, resulta que 2 es unidad y si ponemosx= 3nuse consigue (2, x)
3 = 2 3 n . Como 2 no es resto cuadr´atico m´odulo 3 se tiene de inmediato (2, x)3 = (−1)n; por lo
que se necesita quen sea impar. Sip= 5,7,· · ·, resulta de nuevo que 2 es unidad p-´adica y al poner x=pnpw tenemos (2, x)
p = 2 p np , por lo que necesitamosnp par cuando 2 no sea residuo cuadr´atico m´odulo p. Por otro
lado, es claro que se tiene (3,4)p = 1 pues 4 es cuadrado perfecto. Es obvio
tambi´en que se tiene (1, x) = 1. As´ı, cualquier xsatisface (1, x)p = (3,4)p.
En suma, el valor x = 3 (que es unidad p-´adica para p > 3) resuelve el sistema.
Vamos a probar un teorema que brinda condiciones bajo las cuales se puede garantizar la existencia de una soluci´on para sistemas como el dado en el Ejemplo 5.6. Previamente enunciamos dos lemas auxiliares y probaremos uno de ellos.
Lema 5.7 (Teorema de Dirichlet sobre primos en series aritm´eti- cas). Sean a, m enteros positivos no nulos y primos entre s´ı. Entonces, existen infinitos primos p que satisfacen p≡a (m´od m).
Prueba. El tratar de probar este resultado elemental nos apartar´ıa de las metas establecidas. El lector interesado puede consultar Apostol [1], Serre [7] o la tesis de Jorge Dioses [4]
Observaci´on 5.8.Para introducir el segundo lema se requiere cierto tra- bajo preparatorio. Consideramos el sistema (ai, x) = (mi, ni) conai ∈Z∗,
mi, ni ∈Q∗,i= 1,2,· · · , kyp= 2,3,· · ·,∞. Vale la pena aclarar que este
sistema es similar al del Ejemplo 5.6, salvo que en este caso trabajaremos no solo con dos, sino conkecuaciones. El Teorema 5.2 asegura que se cum- ple (mi, ni)p = 1 para casi todos losp= 2,3,· · · ,∞. Por consiguiente, hay
solo un n´umero finito de primos para los que se satisface (mi, ni) = −1.
En vista de ello, nombramos N al conjunto de primos p = 2,3,· · ·,∞ que cumplen (mi, ni)p = −1 para cierto i. Por otro lado, la Observaci´on
5.1 afirma que el c´alculo del s´ımbolo de Hilbert de dos enteros se reduce al an´alisis en sus divisores primos o −1, por lo que es deseable identificar tales divisores primos. En concordancia con esto, nombramos D al con- junto de primos impares positivos que son factores de alg´un ai. Es claro
que ambosN y D son subconjuntos finitos de p= 2,3,· · · ,∞ . El primo p= 2 no debe preocuparnos pues siempre merece un an´alisis aparte.
En el siguiente lema utilizaremos la notaci´on anterior.
Lema 5.9.SiN∩(D∪{2,∞}) =∅y existexp ∈Q∗p que cumple(ai, xp)p =
(mi, ni)p para todo p= 2,3,· · · ,∞, entonces existe un primo q tal que el
valor x=aq, con a =Y
t∈N
t, resuelve el sistema.
Prueba. Empezamos identificando un candidato aq. Ponemosm= 8Y
l∈D
l. Como N ∩(D∪ {2,∞}) =∅ es claro que m y a = Y
t∈N
t son primos entre s´ı. Con ello, por el teorema de Dirichlet, existen infinitos primos q que satisfacenq ≡a (m´odm). Como el conjunto N∪D∪ {2} es finito, existe un primo q que cumple el teorema de Dirichlet y no est´a enN∪D∪ {2}. Afirmamos que esteq es el valor buscado, puesx=aq resuelve el sistema. Ahora pasamos a verificar que efectivamentexresuelve el sistema. Por la definici´on de N y D, as´ı como por la hip´otesis N ∩(D∪ {2,∞}) =∅, lo que debemos comprobar se reduce a cinco condiciones.
1. Si p=∞ se tiene (ai, x)∞= 1,
2. si p= 2 se tiene (ai, x)2 = 1,
3. si p∈D se tiene (ai, x)p = 1,
4. si p /∈N ∪D∪ {2,∞, q} se tiene (ai, x)p = 1,
5. si p∈N ∪ {q}se tiene (ai, x)p = (mi, ni)p.
Caso 1. Si p=∞ es claro que se cumple (ai, x)∞= 1 pues x es positivo.
Caso 2. Sea p= 2, como se tiene 2 ∈/ N, es claro que a es unidad 2-´adica. Es m´as, comoq6= 2, se tiene quex=aqtambi´en es unidad 2-´adica. Como se tienex=aq≡a2 (m´odm) y 8 divide am, se satisfacex≡a2 (m´od 8).
Es m´as, como a es impar, se cumple a2 ≡ 1 (m´od 8). As´ı tenemos x ≡1
(m´od 8) con lo que x resulta ser cuadrado en Q∗2; de aqu´ı es claro que se cumple (ai, x)2 = 1.
Caso 3. Sea ahora p >2 con p∈D. Como se tienep /∈ N, es claro que a es unidadp-´adica. Es m´as, comoq /∈D, el valorx=qatambi´en es unidad p-´adica. Comop divide a m, se cumple x≡ a2 (m´od p). Precisamente, al
serxun resto cuadr´atico m´odulo p se tiene quex es un cuadrado deQ∗
p y
por ende se cumple (ai, x)p = 1.
Caso 4. Cuando se tiene p /∈ D∪N ∪ {2,∞, q}, tanto ai como a son
unidades p-´adicas (pues los divisores de ai est´an en D∪ {2} y a es el
producto de elementos de N). Es m´as, al ser aunidad p-´adica, xtambi´en lo es. Para y=pnpu
p ∈Q∗p, por f´ormula tenemos
(ai, y)p = ai p np .
Si ponemos y=x, se tiene np = 0 y por ende se cumple (ai, y)p = 1.
Caso 5. Sip∈N es claro que se tiene x=pup y que se cumple (ai, x)p =
ai
p
para p = 2,3,· · · ,∞. Es m´as, se tiene (ai, xp)p = ai p np . Al tenerse p ∈N existe i con el que se satisface (mi, ni)p = −1, por lo que se exige
que np no sea par. De este modo se cumple (ai, xp)p =
ai p y se logra (ai, x)p = ai p = (ai, xp)p = (mi, ni)p
para todo p ∈ N. Por ´ultimo, sea p = q. Por la f´ormula producto se satisface (mi, ni)q Y p6=q (mi, ni)p = 1, (ai, x)q Y p6=q (ai, x)p = 1.
Por lo ya demostrado, se cumple Y p6=q (mi, ni)p = Y p6=q (ai, x)p.
Es claro entonces que se satisface (mi, ni)q = (ai, x)q.
Observaci´on 5.10. La prueba del lema muestra que la familia (mi, ni)p
puede ser reemplazada por cualquier otra familia de valores bi,p = ±1
siempre y cuando se satisfaga la f´ormula producto Y
p
bi,p = 1 para to-
do i = 1,· · · , k (notemos que en la prueba anterior, ´esta fue la ´unica propiedad de la familia (mi, ni)p que se utiliz´o).
Teorema 5.11. Sea el sistema (ai, x)p = (mi, ni)p con ai, mi, ni ∈ Q∗
y p = 2,3,· · · ,∞. Para que exista x ∈ Q∗ que resuelva el sistema es necesario y suficiente que exista xp ∈ Q∗p que cumpla (ai, xp)p = (mi, ni)p
para p= 2,3,· · ·,∞.
Prueba. Lo que dice el teorema es claro: para que exista una soluci´on en Q∗ (campo global), el sistema debe poder resolverse en cada uno de sus
lugares (R y los p-´adicos). Es una idea similar a la del teorema de Hasse Minkowsky. L´ogicamente basta probar la implicaci´on de regreso.
Una observaci´on inicial es importante: como se satisface ai = bi/ci
para ciertos bi, ci, se tiene (ai, x)p = (di, x)p con di =aic2i ∈Z∗. Con esto,
el sistema (ai, x)p = (di, x)p = (mi, ni)p resulta ser el mismo del Lema
5.9. Sin embargo, a´un no podemos hacer uso de este resultado pues la condici´on N ∩(D∪ {2,∞}) = ∅ no se satisface necesariamente. Lo que haremos ser´a buscar un sistema auxiliar sobre el que s´ı se pueda aplicar el lema.
Por hip´otesis existe xp ∈ Q∗p que cumple (ai, xp)p = (mi, ni)p. Aho-
ra, como D∪ {2,∞} es finito, el Teorema 4.5 asegura que Q∗ es denso
en Y
p∈D∪{2,∞}
Q∗p y por consiguiente se interseca con cualquier abierto de Y
p∈D∪{2,∞}
Q∗p. Por otro lado, el Corolario 4.3 asegura que xpQ∗p2 es abierto
en Q∗ p y por consiguiente Y p∈D∪{2,∞} xpQ∗p2 es abierto en Y p∈D∪{2,∞} Q∗p. As´ı,
por el Corolario 4.3 existe un racional no nulo r que cumple r ∈ xpQ∗p2
para p ∈ D∪ {2,∞}. Si ponemos yp = r/xp resulta que yp es cuadrado
perfecto y por tanto cumple (di, yp)p = 1. De esta manera se tiene
(di, r)p = (di, ypxp)p = (di, yp)p(di, xp)p = (mi, ni)p,
para todo p∈D∪ {2,∞}. Deteng´amonos en el producto (mi, ni)p(di, r)p,
ahora para unparbitrario. Es evidente que se tiene (mi, ni)p(di, r)p =±1.
Es m´as, sip∈D∪{2,∞}, este producto resulta ser 1. Adem´as por f´ormula producto se tiene Y p (mi, ni)p(di, r)p = Y p (mi, ni)p Y p (di, r)p = 1,
para cada i = 1,· · · , k. De esta manera, por la Observaci´on 5.10, ya tenemos el candidato a sistema auxiliar que buscamos, el cu´al ser´a
Ahora comprobamos que este nuevo sistema satisface las condiciones del Lema 5.9. Primero, como se tiene (mi, ni)p(di, r)p = 1 para p ∈ D ∪
{2,∞}, los subconjuntosN y Dde este nuevo sistema satisfacenN∩(D∪ {2,∞}) =∅. Adem´as, el valorx′
p =xprcumple (di, x′p)p = (mi, ni)p(di, r)p
para todo p= 2,3,· · · ,∞. En consecuencia se puede aplicar el Lema 5.9 (m´as bien la Observaci´on 5.10) al sistema auxiliar y aseguramos as´ı la existencia de un racional z que satisface (di, z)p = (mi, ni)p(di, r)p para
todop= 2,3,· · · ,∞. Si ponemos x=zr se tiene
(di, x)p = (di, r)p(di, z)p = (di, r)p(mi, ni)p(di, r)p = (mi, ni)p.
Cap´ıtulo 6
Formas cuadr´aticas sobre
Q
p
Este apartado es el complemento del Cap´ıtulo 5 de [2] y por tanto nos remitimos a ´el a lo largo de esta secci´on.
Proposici´on 6.1. Toda forma cuadr´atica regular de 3 o m´as variables sobre Q representa a 0 sobre Qp salvo para un n´umero finito de primos
p= 2,3,· · · ,∞.
Prueba. Sea f una forma cuadr´atica regular de n ≥3 variables. Si multi- plicamos f por cierto enteroa conseguimos una formaaf con coeficientes enteros. SeaD el conjunto de todos los divisores primos de los coeficientes de af. Sea p primo con p /∈ D. Reducimos af m´odulo p y tenemos una forma regular en Fp que, por el Corolario 1.4, posee un cero no trivial.
Luego se puede aplicar el Corolario 1.6 y resulta que f representa a 0 en Qp para todo p salvo, posiblemente, aquellos que pertenecen al conjunto
finito D junto con p= 2.
A partir de este punto y en lo que resta del cap´ıtulo trabajaremos con formas cuadr´aticas regulares sobreQ∗p/Q∗2
p conp= 2,3,· · · (no considera-
mos el caso real, salvo que se indique lo contrario). El siguiente resultado es el Lema 5.13 de [2], cuya prueba qued´o pendiente hasta contar con las herramientas necesarias para este fin.
Proposici´on 6.2. Sea f(x1,· · · , x4) = a1x21 + · · · + a4x24 una forma
cuadr´atica regular. Entonces f representa a cero ´unica y exclusivamen- te en los siguientes dos casos: bien d6= [1] o bien d= [1] y ǫ= (−1,−1).
Prueba. El Lema 7.1 (cuya prueba trivial se desarrolla en el pr´oximo cap´ıtulo) asegura que f representa a cero si y solo existe a ∈ Q∗p que es representado simult´aneamente por las formas
Por el Corolario 5.11 de [2] esto se cumple si y solo si existe a ∈ Q∗p/Q∗2 p
sujeto a las igualdades
(a,−a1a2) = (a1, a2) y (a,−a3a4) = (−a3,−a4).
Supongamos que no existeaque satisface lo anterior. Sean M yN el con- junto de valoresx∈Q∗p/Q∗2
p que satisfacen respectivamente las ecuaciones
(x,−a1a2) = (a1, a2) y (x,−a3a4) = (−a3,−a4). Es claro que M y N son
no vac´ıos, pues los valoresx=a1 y x=−a3 resuelven la primera y segun-
da ecuaci´on respectivamente. Es m´as, la condici´on de no existencia deaes equivalente a tener M ∩N =∅. Entonces, por la Proposici´on 3.8, esto se da si y solo si se cumple tanto a1a2 =a3a4 como (a1, a2) =−(−a3,−a4).
De la primera condici´on extraemos a1a2a3a4 = [1]. Por otro lado tenemos
ǫf = (a1, a2)(a1, a3)(a1, a4)(a2, a3)(a2, a4)(a3, a4)
= (a1, a2)(a3, a4)(a1, a3a4)(a2, a3a4)
= (a1, a2)(a3, a4)(a3a4, a1a2)
= (a1, a2)(a3, a4)(a3a4, a3a4).
Luego, como se cumple la relaci´on (a, a) = (−1, a), se consigue
ǫf = (a1, a2)(a3, a4)(−1, a3a4)
= (a1, a2)(a3, a4)(−1, a3)(−1, a4)
= (a1, a2)(−a3, a4)(−1, a3)
= (a1, a2)(−a3, a4)(−1,−a3)(−1,−1)
= (a1, a2)(−a3,−a4)(−1,−1).
Finalmente, usando la relaci´on (a1, a2) = −(−a3,−a4) se concluye ǫf =
−(−1,−1).
Observaci´on 6.3.De la proposici´on anterior se desprende que las ´unicas formas cuadr´aticas de cuatro variables que no representan 0 son aquellas
cuyo discriminante es 1 enQ∗p/Q∗2
p y cuyo invariante de Hasse resulta ser
−(−1,−1).
Sea la forma cuadr´atica
f(x1,· · · , x4) = x21−ax22−bx23+abx24.
Es claro que se tiene df =−a· −b·ab= (ab)2 ≡ 1∈Q∗p/Q∗p2. Es m´as, se
cumple tambi´en
ǫf = (1,−a)(1,−b)(1, ab)(−a,−b)(−a, ab)(−b, ab).
Y como se satisface (1,−a) = (1,−b) = (1, ab) = 1, logramos ǫf = (−1,−b)(a,−b)(ab, ab)
ǫf = (−1,−1)(−1, b)(a,−1)(a, b)(ab, ab)
ǫf = (−1,−1)(a, b)(−1, ab)(ab, ab)
ǫf = (−1,−1)(a, b)(−ab, ab)
ǫf = (−1,−1)(a, b).
Entonces, si elegimosa, b de tal forma que se tenga (a, b) = −1,f resulta ser una forma cuadr´atica de 4 variables que no representa a 0. Se prueba que es la ´unica salvo equivalencia.
A continuaci´on verificaremos que todas las formas cuadr´aticas de 5 variables representan 0. El resultado se desprender´a del siguiente lema.
Lema 6.4. Todas las formas cuadr´aticas regulares de dos o m´as variables representan al menos 2 clases distintas de Q∗p/Q∗2
p .
Prueba. Es suficiente hacer la prueba para formas de dos variables. El Corolario 5.11 de [2] afirma que una formaf de dos variables representa a a∈Q∗p/Q∗2
p si y solo si se cumple la relaci´on (a,−d) =ǫf. Observemos que
con d=−1 se fuerza a tener ǫf = 1. Si p= 2, la Observaci´on 3.7 asegura
que la ecuaci´on (x,1) = 1 posee 8 soluciones si d = −1. Si d 6= −1, la ecuaci´on (x,−d) =ǫf posee 4 soluciones independientemente del valor de
ǫf. Si p6= 2, de nuevo por la Observaci´on 3.7, aseguramos que la ecuaci´on
(x,1) = 1 posee 4 soluciones sid=−1. Sid6=−1, la ecuaci´on (x,−d) =ǫf
posee 2 soluciones independientemente del valor de ǫf.
Proposici´on 6.5. Todas las formas cuadr´aticas de 5 o m´as variables en
Qp (con p6=∞) representan a cero.
Prueba. Probaremos el resultado para una formaf de 5 variables, el caso general se desprende trivialmente. El Lema 6.3 asegura que f representa al menos a un par elementos de Q∗p/Q∗2
p . Como son dos, uno de ellos,
digamos a, ser´a distinto de df. De este modo sabemos que f representa
a a 6=df. La Proposici´on 4.6 de [2] garantiza la existencia de una forma
g de 4 variables tal que f es equivalente a az2 +g. De esta manera se
tiene df =a·dg. Al tenerse a 6=d, se cumple dg 6= 1. De esta manera, la
Proposici´on 6.2 garantiza quegrepresenta a 0. Al a˜nadirz = 0 obtenemos que f tambi´en representa a cero.
Corolario 6.6Seaf(x1,· · · , xn) =a1x21+· · ·+anx2nuna forma cuadr´atica
de 4 o m´as variables. Si a ∈Q∗p/Q∗2
p , entonces f representa a a.
Demostraci´on. La forma cuadr´aticaf′(x
1,· · · , x4, z) =f−az2 representa
a 0 ´unica y exclusivamente si f representa a a. Comof′ es de 5 variables se tiene el resultado pedido.
Observaci´on 6.7 La Proposici´on 6.5 falla para formas cuadr´aticas sobre Q∞. La formaf(x1,· · · , x5) =x21+· · ·+x25 no representa a−1 enQ∗∞/Q∗∞2. Es ´este el argumento que falla en la prueba de la Proposici´on 6.5.