REPEAT PROGRAMMING
6.3 RHYTHM: PAIR – SOLO – PAIR – SOLO
En este subcapítulo presentamos el modelo desarrollado por Kim y Lewis (1987), el cual ha sido adaptado al funcionamiento de la operación de fundición de la empresa Fundición, S. A. (ver capítulo 4).
Empezamos mostrando la figura 2.1, donde se presenta el diagrama usado por Kim y Lewis (1987) para representar el funcionamiento usual de una operación de fundición.
Materia prima comprada
Chatarra comprada 1 Chatarra comprada 2 Retorno 1 Retorno 2 HORNO Vertido Limpieza
(Se genera chatarra interna)
Un % de cada colada
se volverá retornos Piezas fundidas FeMn, FeSi, Mo, Coque...
Figura 2.1 Descripción del departamento de fundición Fuente: Kim y Lewis (1987: 737). Traducción y reproducción propias.
Principalmente, lo que se resalta son los flujos que se dan. Según Kim y Lewis, son tres los tipos de entrada al horno. En primer lugar, se encuentran las materias primas compradas, de las cuales puede existir una gran variedad. En segundo lugar, están las chatarras compradas
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de distintos grados de concentración de elementos. Como los autores indican, muchas plantas de fundición cuentan con distintos grados de chatarra, cada una con un costo y composición química diferente. Finalmente, un cierto porcentaje de material vertido de cada lote es devuelto a las instalaciones de la fundición para ser utilizado en un siguiente lote; a
este material se le puede llamar “chatarra interna”, o generada internamente (en inglés, in- house scrap), o también “retornos” (1987: 737).
Como vemos en el capítulo 3, seguimos una clasificación distinta para los tipos de entrada al horno: ingredientes cuya función principal es agregar estaño a la mezcla, ingredientes cuya función principal es favorecer las reacciones químicas durante la fundición y el ingrediente considerado como chatarra interna. La compra de determinados tipos de chatarra es aplicable, generalmente, en la producción de acero.
Estando de acuerdo con Kim y Lewis, en cualquier formulación matemática debe realizarse una serie de suposiciones. Las correspondientes a su modelo son las siguientes (1987: 737):
1. Todos los materiales de carga pueden o no ser utilizados al máximo de su disponibilidad; por lo tanto, un término de restricción debe aplicarse. El porcentaje del material disponible para el trabajo en un lote determinado se representa como un
factor de utilización de material, y se asume como conocido y lineal.
2. Los materiales de carga se pierden durante el proceso de fundición dado que una porción de ellos se vuelve gaseosa o queda atrapada en la escoria durante la fundición y refinación. Se asume que este porcentaje se conoce y se le llama ratio de recuperación.
3. Se asume que un cierto porcentaje de cada aleación regresa al área de fundición como retornos. Estos se asumen como disponibles luego de un periodo de tiempo determinado, el cual es llamado tiempo de retorno. El porcentaje de cada aleación que retorna es representado como el ratio de chatarra en la formulación. El tiempo de retorno también se incluye en el modelo y se asume como conocido.
4. Las chatarras internas de composición química similar se colocan juntas, y se utiliza la composición química promedio de cada agrupación para cada aleación.
5. Si la demanda es menor que la capacidad del horno, entonces se permite que el horno sea operado sin que necesariamente se esté utilizando al 100% de su capacidad.
6. Se cuenta con la programación maestra de producción, lo cual significa que las cantidades y tiempos en que se necesita cada aleación se conocen a lo largo del horizonte de planificación.
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7. La cantidad disponible de cada recurso utilizado se conoce a lo largo del horizonte de planificación. Se debe notar que estas cantidades pueden incrementarse o disminuirse a lo largo del horizonte de planificación.
Finalmente, antes de pasar a la sección matemática, Kim y Lewis aclaran que el modelo debe contener los conceptos siguientes (1987: 737):
1. El costo total de la operación debe ser minimizado.
2. Sobre las restricciones de demanda y capacidad, los materiales de carga utilizados deberían satisfacer la demanda; sin embargo, la cantidad de carga total no debería exceder la capacidad máxima del horno.
3. Sobre las restricciones de disponibilidad de materiales, la cantidad total de cualquier material de carga utilizado no puede exceder la cantidad disponible de ese material. 4. Sobre las restricciones de balance químico, cada carga debe satisfacer la
composición química deseada para cada aleación.
Definición de variables
En las líneas siguientes se muestran las variables y parámetros de la formulación matemática de Kim y Lewis (1987: 738).
, , = Cantidad comprada de la materia prima usada para el lote en el día . (t)
: Índice de tipos de materia prima. = 1,2,…, ( indica el número total de tipos de materia prima comprados).
: Índice de lotes. = 1,2,…, ( indica el número total de lotes a ser producidos en el día ).
: Índice de días. = 1,2,…, ( indica el número total de días del horizonte de planificación).
, , = Cantidad comprada de chatarra usada para el lote en el día . (t)
: Índice de tipos de chatarra. = 1,2,…, ( indica el número total de tipos de chatarra comprados).
: Índice de lotes. = 1,2,…, . : Índice de días. = 1,2,…, .
, , = Cantidad de chatarra interna usada para el lote en el día . (t)
: Índice de tipos de chatarra interna que representan una composición química de una determinada aleación. Como un ejemplo específico, , , representaría los
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retornos de la aleación tipo 1, , , representaría los retornos de la aleación tipo 2, etc. = 1,2,…, ( indica el número total de tipos de aleación que tienen que ser producidos dentro del horizonte de planificación).
: Índice de lotes. = 1,2,…, . : Índice de días. = 1,2,…, .
Coeficientes de costo
= Costo de comprar la materia prima . ($/t) = Costo de comprar la chatarra . ($/t)
= Costo estimado de generar la chatarra interna . ($/t)
Constantes de lado derecho
, = Cantidad demandada para el lote en el día o capacidad para el lote en el día .
Esto significa que, si la demanda del lote es menor que la capacidad del horno, , representaría la cantidad demandada; de lo contrario, representaría la capacidad del horno, dado que la carga total no puede exceder la capacidad del horno. (t)
, = Cantidad comprada de materia prima disponible para el día . (t) , = Cantidad comprada de chatarra disponible para el día . (t)
, = Cantidad de chatarra interna disponible para el día . (t)
ℎ, , = Cantidad mínima requerida en % del componente químico ℎ para producir el lote
en el día .
ℎ, , = Cantidad máxima requerida en % del componente químico ℎ para producir el lote
en el día .
ℎ: Índice de componentes químicos requeridos por lote . ℎ= 1,2,…, .
Parámetros misceláneos
= Parámetro de tiempo de retorno –número de días después de la colada en que se podrían utilizar los retornos.
= Número de materiales de carga usados en el día .
Para el parámetro , Kim y Lewis (1987) utilizaron la notación . Sin embargo, para no generar confusión con el símbolo similar ya usado anteriormente, que denota el número total de lotes a ser producidos en el día , lo hemos cambiado por .
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Coeficientes variablesℎ, = Cantidad contenida en % del componente químico ℎ en la materia prima comprada . ℎ, = Cantidad contenida en % del componente químico ℎ en la chatarra comprada . ℎ, = Cantidad contenida en % del componente químico ℎ en la chatarra interna .
� = Porcentaje de cada tonelada vertida que será devuelto a la tienda de fundición como retornos para ser utilizados posteriormente como material de carga.
= Porcentaje utilizado de la materia prima comprada . = Porcentaje utilizado de la chatarra comprada .
= Porcentaje utilizado de chatarra interna .
ℎ = Ratio de recuperación (%) del elemento químico ℎ.
Función objetivo
Con el fin de minimizar el costo de la configuración de la carga, debe existir una ecuación que represente el costo de la carga. Esta ecuación, que sería la función objetivo, se define a continuación (Kim y Lewis 1987: 737-738).
Minimizar
∑ ∑ ∑ (materia prima Costo de
comprada ) (
Cantidad de materia prima comprada usada
para el lote en el día )
= � = = + ∑ ∑ ∑ ( Costo de chatarra comprada ) ( Cantidad de chatarra comprada usada para el lote en el día )
= � = = + ∑ ∑ ∑ (Costo dechatarra interna ) ( Cantidad de chatarra interna usada para el lote en el día )
= �
= �
=
Utilizando la definición de variables, tendríamos lo siguiente.
Minimizar ∑ ∑ ∑ ( , , = � = = + ∑ ∑ ∑ ( , , = � = = + ∑ ∑ ∑ ( , , = � = � =
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Restricciones de demanda y capacidad
Kim y Lewis otorgan una explicación previa de este grupo de restricciones antes de presentar la formulación matemática respectiva. Así, indican que, en cualquier día dado, hay un límite superior para la capacidad física de los hornos. Si la cantidad requerida de metal fundido es más grande o igual que la capacidad del horno, entonces el horno debería ser cargado al tope de su capacidad para poder obtener una mejor eficiencia y también minimizar el desgaste del horno por dentro. En cambio, si la cantidad demandada es más pequeña que la capacidad del horno, el lado derecho de la restricción deberá ser igual a la demanda para el lote en el día
. La formulación se muestra a continuación (1987: 739).
∑ Cantidad de materia prima comprada para el lote en el día ) = + ∑ Cantidad de chatarra comprada para el lote
en el día
) = + ∑ Cantidad de chatarra interna para el lote en el día ) � == (Cantidad demandada demetal fundido para el lote en el día ) o (
Capacidad del horno para
el lote )
Para todos los lotes y días.
Utilizando la definición de variables, tendríamos lo siguiente.
∑ , , = + ∑ , , = + ∑ , , � = = , , para todo ,
Restricciones de disponibilidad de recursos
Según Kim y Lewis, este grupo de restricciones está destinado a colocar un límite superior al total de recursos disponibles en la tienda de fundición. Como se había mencionado anteriormente, los materiales de carga se clasifican en tres tipos básicos: materias primas compradas, chatarras compradas y chatarras internas. Por lo tanto, deben establecerse restricciones para cada uno de estos tipos por separado. Las formulaciones matemáticas, así como algunas notas adicionales, se muestran a continuación (1987: 739).
Restricciones de disponibilidad de material para la materia prima comprada
∑ (prima comprada usadaCantidad de materia para el lote en el día )
�
=
( Cantidad de materiaprima comprada disponible para el día ) (
Factor de utilización de material)
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Utilizando la definición de variables, tendríamos lo siguiente.
∑ , ,
�
=
( , , para todo ,
Se debe notar que la llegada de nuevos envíos en cualquier día dentro del horizonte de planificación puede ser considerada tan solo añadiendo la cantidad en camino al lado derecho de la restricción.
Restricciones de disponibilidad de material para la chatarra comprada
∑ ( Cantidad de chatarracomprada usada para el lote en el día )
�
=
( Cantidad de chatarracomprada disponible para el día ) (
Factor de utilización de material)
Para todas las chatarras compradas y días.
Utilizando la definición de variables, tendríamos lo siguiente.
∑ , ,
�
=
( , , para todo ,
Al igual que en el caso anterior, se debe notar que las llegadas de nuevos envíos de chatarra comprada puede también agregarse a la parte derecha de las restricciones a lo largo del horizonte de planificación para representar la política de compra de estos recursos.
Restricciones de disponibilidad de material para la chatarra interna
∑ ( Cantidad de chatarrainterna usada para el lote en el día )
�
=
( Cantidad de chatarrainterna disponible para el día ) (
Factor de utilización de material)
Para todas las chatarras internas y días.
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∑ ∑ , , ′ � = ( , ′ ′= , para todo , Donde , ′ = ∑ ( ,� � ′−� �= , para todo ′>R , ′ = , para todo ′La chatarra generada internamente estará disponible solo después de un cierto periodo de tiempo, el cual puede ir desde uno a varios días dependiendo del tamaño de la colada, las condiciones de la planta y el estilo en que se realizan las operaciones de fundición. Se debe notar que diferentes tiempos de retorno pueden incluirse en el modelo para lotes diferentes mediante la especificación de un valor de distinto para cada lote11.
Restricciones de balance químico
Según Kim y Lewis, el propósito de este grupo de restricciones es asegurar que se obtenga la composición química apropiada para todos los lotes producidos dentro del horizonte de planificación dado. En este tipo de restricciones pueden existir límites tanto superiores como inferiores para cada elemento de la composición química deseada para un lote. La formulación se muestra a continuación (1987: 740).
∑ (químico ℎ en la materia% del componente
prima comprada ) (
Cantidad de materia prima comprada usada
para el lote en el día )
Ratio de recuperación del componente
químico ℎ
=
+ ∑ ( % del componentequímico ℎ en la
chatarra comprada ) (
Cantidad de chatarra comprada usada
para el lote en el día )
Ratio de recuperación del componente
químico ℎ
=
+ ∑ (% del componentequímico ℎ en la
chatarra interna ) (
Cantidad de chatarra interna usada
para el lote en el día )
Ratio de recuperación del componente
químico ℎ
� =
% máximo requerido del componente químico ℎ
para producir el lote en el día ( Cantidad del lote a producir el día )
Para todos los componentes químicos, lotes y días.
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∑ (químico ℎ en la materia% del componente
prima comprada ) (
Cantidad de materia prima comprada usada
para el lote en el día )
Ratio de recuperación del componente
químico ℎ
=
+ ∑ ( % del componentequímico ℎ en la
chatarra comprada ) (
Cantidad de chatarra comprada usada
para el lote en el día )
Ratio de recuperación del componente
químico ℎ
=
+ ∑ (% del componentequímico ℎ en la
chatarra interna ) (
Cantidad de chatarra interna usada
para el lote en el día )
Ratio de recuperación del componente
químico ℎ
� =
% mínimo requerido del componente químico ℎ
para producir el lote en el día ( Cantidad del lote a producir el día )
Para todos los componentes químicos, lotes y días.
Utilizando la definición de variables, tendríamos lo siguiente.
∑ ℎ ( ℎ, ( , , = + ∑ ℎ ( ℎ, ( , , = + ∑ ℎ ( ℎ, ( , , � = ( ℎ, , ( , , para todo ℎ, , b ∑ ℎ ( ℎ, ( , , = + ∑ ℎ ( ℎ, ( , , = + ∑ ℎ ( ℎ, ( , , � = ( ℎ, , ( , , para todo ℎ, , c
Cabe notar dos errores12:
En la representación matemática original de Kim y Lewis para las restricciones de balance químico (1987: 740), en los lados derechos de las ecuaciones de restricción no se había multiplicado la variable , a ℎ, , ni a ℎ, , , tal y como se muestra en las últimas ecuaciones presentadas, (b) y (c) , y como se señala que debe hacerse en la formulación literal que los mismos autores realizaron, la cual hemos colocado encima de (b) y (c) –como hemos hecho también en los otros grupos de ecuaciones, siguiendo el formato del artículo de Kim y Lewis (1987)–.
También, en la representación matemática (1987: 740), existe un error en el uso de las variables ℎ, , y ℎ, , . Si la variable ℎ, , es la “mínima cantidad requerida
en porcentaje del componente químico ℎ para producir el lote del día ” (1987:
12 Estos errores son solo del texto del artículo. Es decir, descartamos la posibilidad de que los autores
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738, traducción propia), entonces el símbolo de desigualdad que la acompaña
debería ser “ ” ( ℎ, , ), tal y como se expresa en la formulación literal. Lo
mismo sucede con la variable ℎ, , : el símbolo de desigualdad correcto en la
representación matemática debería ser “ ” ( ℎ, , ), dado que ℎ, , es la
“máxima cantidad requerida en porcentaje del componente químico ℎ para producir el lote del día ” (1987: 738 traducción propia). Este error también fue corregido en (b) y (c).
Así, el modelo matemático base que adaptamos a una realidad específica en el capítulo 4 del presente trabajo de investigación queda explicado.