En los Lineamientos Curriculares de Matemáticas (MEN, 1998), se propone una estructura que tiene como propósito fundamental desarrollar pensamiento matemático en los estudiantes.
Para desarrollar dicho pensamiento se propone un currículo que no concibe los contenidos como eje central en la enseñanza. El currículo debe ser visto como un dispositivo que articula varios elementos: Procesos generales, Conocimientos Básicos y Contextos.
Los procesos generales se relacionan con el aprendizaje y tienen como ejes fundamentales, el razonamiento, la resolución y planteamiento de problemas, la comunicación, la modelación y la elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos. Para objeto de este trabajo se centra la atención en la resolución y planteamientos de problemas, puesto que aparece como un proceso de pensamiento de gran importancia que debe tener todo sujeto que aprende matemáticas, debido a que favorece un acercamiento de los estudiantes a las matemáticas, a través de situaciones
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problemáticas procedentes de la vida diaria, de las matemáticas y de las otras ciencias. Es un contexto de gran importancia para fomentar el aprendizaje activo, la inmersión de las matemáticas en la cultura, el desarrollo de procesos de pensamiento y para aportar significativamente al sentido y al uso de las matemáticas.
La resolución y planteamiento de problemas en las más recientes propuestas curriculares se plantea como un eje central en el currículo de matemáticas, es decir, es un objetivo principal en la enseñanza y por ende parte integradora de la actividad matemática, además promueve un contexto que permita que los conceptos y herramientas sean aprendidos. Su importancia se debe a la manera en cómo los estudiantes adquieren confianza, desarrollan una mente curiosa e insistente, aumentan su capacidad para comunicar y procesar el pensamiento con mayor fluidez en el uso de las matemáticas a medida que resuelven problemas.
Autores como George Polya y Allan Schoenfeld han contribuido en gran medida al reconocimiento de la resolución y planteamiento de problemas como base central en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.
Polya (1981) definió la noción de problema como: “Tener un problema significa buscar de forma consciente una acción apropiada para lograr un objetivo claramente concebido, pero no alcanzable de forma inmediata” (p.117).
Polya (1945) plantea la resolución de problemas basada en el método de los cuatro pasos:
1. Comprender el problema 2. Concebir un plan
3. Ejecutar el plan 4. Examinar la solución
Estas cuestiones para Polya permiten que el estudiante a futuro pueda resolver cualquier tipo de problemas, pues cuando se hace la visión retrospectiva del problema, se puede utilizar la solución y el método de solución, como una nueva herramienta a la hora de enfrentar cualquier
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reto. Cabe resaltar que lo anterior se cuestiona mucho hoy en día, debido a que el método de los cuatro pasos deja por fuera muchas cuestiones.
Estos cuatro pasos planteados anteriormente, van a permitir al estudiante resolver un problema a partir de representaciones heurísticas, así como la visualización de los procedimientos, y realizar una aproximación a una generalidad del concepto de razón de acuerdo a la situación didáctica propuesta. Polya (1981) define el término de heurística como “el estudio de medios y métodos de la resolución de problemas” (p.10).
Sin embargo, Schoenfeld considera insuficientes las estrategias planteadas por Polya para la resolución de problemas, manifiesta que son muy complejas y los estudiantes no las usan. Por lo anterior, Schoenfeld (1985), sostiene que, un estudiante no aprende a resolver problemas matemáticos, de manera mecánica y repetitiva, es decir, resolviendo cada vez más y más problemas y conociendo más y más estrategias, sino que es necesario que tenga un “control” en la actividad de la resolución de problemas. Si se toma una estrategia y se usa para intentar resolver un problema, hay que controlar lo que pasa e identificar cuando dicha estrategia ya no funciona como se esperaba.
Para Schoenfeld hay que tener en cuenta que en el proceso de resolver problemas actúan elementos tales como:
● El dominio del conocimiento: Son los recursos matemáticos con los que cuenta el estudiante a la hora de resolver un problema, como por ejemplo las definiciones, intuiciones, concepciones, entre otros.
● Estrategias heurísticas: Son reglas o planteamientos generales que ayudan a desarrollar el problema, como, por ejemplo, probar por medio del ensayo y error, hacer uso de diagramas, tablas o listas ordenadas y demás.
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● Estrategias metacognitivas: Hacen referencia al “control”, específicamente a planificar, seleccionar metas, submetas y examinar constantemente el proceso que desarrolla para resolver el problema.
● El sistema de creencias: Son las ideas o percepciones que los estudiantes tienen acerca de las matemáticas y su enseñanza. Además, determinan las técnicas y el esfuerzo que el estudiante emplea para llegar a su solución.
Investigaciones como las mencionadas anteriormente aportan de manera significativa al desarrollo de los contenidos matemáticos que deben ser aprendidos por los estudiantes. Para ello, es importante que los docentes conozcan lo que representa realmente un problema, sus características, etapas de resolución, al igual que las estrategias para su enseñanza, de manera que para el estudiante se vuelva un reto, que se interese realmente por llegar a su solución.
Ahora bien, los Conocimientos Básicos son los procesos que desarrollan el pensamiento matemático y tienen en cuenta los sistemas propios de las matemáticas. Cabe resaltar que el énfasis no está puesto en los contenidos, por ejemplo, enseñar ecuaciones, sino para qué enseñar ecuaciones, es decir, el énfasis está en preguntarse para qué enseñar y no en preguntarse qué enseñar. Los procesos específicos se agrupan en cinco tipos de pensamientos básicos: el pensamiento numérico, el pensamiento espacial, el pensamiento métrico, el pensamiento aleatorio y el pensamiento variacional. Ahora bien, los sistemas se agrupan en: sistemas numéricos, sistemas geométricos, sistemas de medida, sistemas de datos y sistemas algebraicos y analíticos. De acuerdo a lo anterior, para efectos de este trabajo se centrará la mirada en el pensamiento variacional y los sistemas algebraicos y analíticos respectivamente.
El estudio de los fenómenos que cambian es fundamental para estudiar el concepto de variación, lo cual permite superar la enseñanza de contenidos. Su conocimiento supone reconocer e inferir cómo se relacionan las cantidades en un problema particular. Más aún, permite calcular y examinar cómo cambian estas cantidades. Por ejemplo, cambios en el volumen de un cuerpo, cambios de la temperatura durante el día y la noche, cambios en un cuerpo en caída libre, entre otros.
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En Vasco (2002) se afirma que:
El pensamiento variacional puede describirse aproximadamente como una manera de pensar dinámica, que intenta producir mentalmente sistemas que relacionen sus variables internas de tal manera que covaríen en forma semejante a los patrones de covariación de cantidades de la misma o distintas magnitudes en los subprocesos recortados de la realidad (p.111).
Cabe resaltar que el pensamiento variacional no se construye de forma aislada, por el contrario, requiere de los demás pensamientos para su desarrollo. El pensamiento espacial se hace necesario cuando en el problema planteado se establecen variables de tipo espaciales, y así mismo, cada uno de los pensamientos adquiere gran importancia para dar solución a un problema en particular.
Algunos de los conceptos, procedimientos y métodos que involucra la variación se presentan en los Lineamientos Curriculares de Matemáticas (MEN, 1998) de la siguiente manera:
● Continuo numérico, reales, en su interior los procesos infinitos, su tendencia, aproximaciones sucesivas, divisibilidad.
● La función como dependencia y modelos de función. ● Las magnitudes.
● El álgebra en su sentido simbólico, liberada de su significación geométrica, particularmente la noción y significado de la variable es determinante en este campo.
Particularmente, la variación está asociada a los sistemas de representación, como lo son las representaciones tabulares, los enunciados verbales, las representaciones pictóricas e icónicas, las fórmulas y las expresiones analíticas y las gráficas de tipo cartesiano. Además, las situaciones problemas se pueden modelar mediante la variación y el cambio.
Es necesario entender que los Conocimientos Básicos les apuntan a no estudiar los objetos de forma aislada, que es a lo que a menudo se centra la enseñanza, por eso se da una importancia significativa a los sistemas. Un ejemplo de lo anterior es el sistema de los polinomios, que tiene su dominio en el conjunto de los números reales, cuenta con operaciones y relaciones. Al
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momento de igualar un polinomio con otro se presenta una relación entre polinomios llamada ecuación, lo mismo sucede si se aplica una relación de mayor que, menor que entre dos polinomios, llamada inecuación, sin embargo, en la escuela se limitan a enseñar las ecuaciones y las inecuaciones como conceptos aislados unos de otros, lo que conlleva a que los estudiantes no le encuentran mucho sentido al aprendizaje del álgebra.
Por último, los contextos tienen relación con los ambientes que rodean al estudiante, como las condiciones sociales, económicas, culturales, creencias, entre otras y que le dan sentido a las matemáticas que aprende. Estos contextos deben propiciar situaciones problemas, ya sea de las mismas matemáticas, de la vida diaria o de las otras ciencias. Para producto de este trabajo se enfocará la mirada preferiblemente en los contextos de la vida diaria.
La resolución de problemas por medio de contextos de la vida diaria, debe permitir a los estudiantes que exploren, planteen preguntas y reflexionen sobre los posibles modelos a utilizar para llegar a su solución. Así mismo, dichos problemas deben tener lugar durante el aprendizaje y no después de él, ya que propicia que los estudiantes descubran y reinventen las matemáticas de una forma más asequible para ellos, es decir, hacen uso de un lenguaje que sea conocido y puedan relacionarlo posteriormente con un lenguaje más simbólico.
De lo anterior, los Lineamientos Curriculares de Matemáticas (MEN, 1998) aportan elementos claves para el desarrollo del presente trabajo, puesto que hacen énfasis en desarrollar pensamiento matemático en los estudiantes e invitan a cuestionar el para qué enseñar y no qué enseñar. Particularmente, en los Procesos Generales, Conocimientos Básicos y Contextos se centra la atención en la resolución y planteamientos de problemas, el pensamiento variacional y los sistemas algebraicos y analíticos, y los contextos de la vida diaria respectivamente.