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minar si una proposición es tautológica, contradictoria o contingente. Por esta característica, nos brindan un método para establecer la validez de los razonamientos, dado que permiten determinar si el condicional asociado a un razonamiento es tautológico, contradictorio o contingente. El condicio- nal asociado de un razonamiento es el condicional que tiene como ante-

cedente la conjunción de las premisas y como consecuente, la conclusión. A continuación, se presentan algunos ejemplos de formas de razona- mientos y sus condicionales asociados.

Forma del razo-

namiento Condicional asociado

p → q p q [( p → q ) . p ] → q p → q q → r p → r [( p → q ) . ( q → r )] → ( p → r ) p v q ~p q [( p v q ) . ~p ] → q p → ~q ~ q → r p r {[( p → ~q ) . (~ q → r)] . p } → r

Recuerden que para escribir la conjunción de tres premisas, “(A . B) . C” es equivalente a “A . (B . C)”. Por esta razón, en este ejemplo, el condicional asociado también se puede expresar así:

{( p → ~q ) . [ (~ q → r) . p]} → r

Una vez establecido el condicional asociado se realiza su tabla de ver- dad. Si el condicional asociado resulta ser una tautología, entonces el razonamiento es válido. Analicemos por qué. Como presentamos, en la tabla de verdad del condicional, el único caso en el que es falso es aquel en el que el antecedente es verdadero y el consecuente falso. En el con- dicional asociado a un razonamiento, el antecedente es la conjunción de las premisas y el consecuente es la conclusión. Si la tabla de verdad del condicional asociado da por resultado una tautología, esto significa que el condicional no es falso en ningún caso. O sea que no hay ningún caso en esa tabla en el que el antecedente del condicional asociado sea verdadero y el consecuente falso. Esto quiere decir que no hay ningún caso en el que todas las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Y recuerden que, como explicamos en el apartado 1, esta es precisa- mente una propiedad de los razonamientos válidos. Por eso siempre que el condicional asociado sea tautológico, el razonamiento es válido.

En cualquier otro caso, es decir, si el condicional asociado es contingente o contradictorio, el razonamiento es inválido. ¿Por qué? Porque para que haya algún caso en el que el condicional asociado sea falso, la conjunción de las premisas tiene que ser verdadera (o sea que todas las premisas tie- nen que ser verdaderas) y la conclusión tiene que ser falsa.

Los cuatro ejemplos que figuran en el cuadro anterior son formas de razo- namientos válidas. Los condicionales asociados son todos tautológicos. En síntesis, si el condicional asociado a un razonamiento es tautológico, ese razonamiento es válido. En cambio, si el condicional asociado es contradictorio o contingente, ese razonamiento es inválido.

Actividad 5

Tomen cada una de las formas de razonamiento a las que arribaron en la actividad 3 y apliquen el método del condicional asociado para evaluar si son válidas o no. A modo de ejemplo, les ofrecemos estas consignas resueltas para los dos primeros enunciados de la actividad 3.

1. Si el sistema ptolemaico es correcto, entonces Júpiter no tiene satélites. Júpiter tiene satélites. Por lo tanto, el sistema ptolemaico no es correcto. Como presentamos en la actividad 3, el razonamiento encolumnado es: Si el sistema ptolemaico es correcto,

entonces Júpiter no tiene satélites. Premisa 1 Júpiter tiene satélites. Premisa 2

El sistema ptolemaico no es correcto. Conclusión Diccionario:

p: el sistema ptolemaico es correcto q: Júpiter tiene satélites

Forma lógica: p → ~ q q

a. El condicional asociado a este razonamiento es: [(p → ~ q) . q] → ~ p

Antecedente: conjunción Consecuente: conclusión de las premisas

La tabla de verdad de este condicional tendrá 4 filas, ya que hay dos proposiciones simples:

p q [(p → ~ q) . q] → ~ p

v v v v v v

f v f v v f

v f v f f v

f f f f f f

Para poder resolver el condicional, primero debemos resolver el antecedente y el consecuente. En el antecedente la conectiva principal es una conjunción, que co- necta al condicional entre paréntesis y a “q”. Entonces, para poder resolver el an- tecedente, primero debemos resolver el condicional que está entre paréntesis. Este condicional, tiene en su consecuente una negación.

De modo que lo primero que vamos a resolver es esa negación:

p q [(p → ~ q) . q] → ~ p

v v v f v v v

f v f f v v f

v f v v f f v

f f f v f f f

Invertimos el valor de verdad de q en cada fila.

Cada vez que resolvemos una conectiva, podemos ir tachando los valores de las columnas que ya no va a ser necesario consultar. En este caso:

p q [(p → ~ q) . q] → ~ p

v v v f v v v

f v f f v v f

v f v v f f v

Una vez resuelta la negación, podemos resolver el condicional que está entre parén- tesis, tomando como valores del antecedente los de p y como valores del consecuen- te los del resultado de la negación, indicados con flechas:

p q [(p → ~ q) . q] → ~ p

v v v f f v v v

f v f v f v v f

v f v v v f f v

f f f v v f f f

Valores del consecuente del condicional. Resultado del condicional entre paréntesis.

Valores del antecedente del condicional.

Ahora, podemos resolver la conjunción entre corchetes, teniendo en cuenta, en cada fila, el resultado del condicional y el valor de q, señalados con flechas:

p q [(p → ~ q) . q] → ~ p

v v v f f v f v v

f v f v f v v v f

v f v v v f f f v

f f f v v f f f f

El resultado de la conjunción muestra el valor del antecedente del condicional

principal para cada fila.

Con los valores de la conjunción, queda resuelto el antecedente. Para poder resol- ver el condicional principal, falta resolver la negación del consecuente:

p q [(p → ~ q) . q] → ~ p

v v v f f v f v f v

f v f v f v v v v f

v f v v v f f f f v

f f f v v f f f v f

Por último, resolvemos el condicional principal, tomando como valor del anteceden- te el resultado del corchete y como valor del consecuente el resultado de “~ p”:

p q [(p → ~ q) . q] → ~ p

v v v f f v f v V f v

f v f v f v v v V v f

v f v v v f f f V f v

f f f v v f f f V v f

Valores del antecedente del condicional principal.

El resultado de la tabla muestra que el condicional es verdadero para todos los casos. Se trata de una tautología. Valores del consecuente del condicional principal.

Esta forma de razonamiento es válida, ya que su tabla de verdad muestra una tautología. 2. Si Antonio se va de vacaciones, entonces Gerardo trabaja horas extras o el proyecto se atrasa. Antonio se va de vacaciones pero el proyecto no se atrasa. De modo que Gerardo trabaja horas extras.

Como presentamos en la actividad 3, este razonamiento encolumnado quedaría: Si Antonio se va de vacaciones,

entonces Gerardo trabaja horas extras

o el proyecto se atrasa. Premisa 1 Antonio se va de vacaciones pero

el proyecto no se atrasa. Premisa 2 Gerardo trabaja horas extras. Conclusión Diccionario:

p: Antonio se va de vacaciones q: Gerardo trabaja horas extras r: el proyecto se atrasa Forma lógica:

p → (q v r) p . ~ r q

a. El condicional asociado a este razonamiento es: {[p → (q v r)] . (p . ~ r )} → q

La tabla de verdad, en este caso, tendrá 8 filas, ya que hay 3 proposiciones simples: p q r {[p → (q v r)] . (p . ~ r)} → q v v v v v v v v v f v v f v v f v v v f v v f v v v f f f v f f v f v f v v f v v f v f v f v f f v f f f v v f f v f f v f f f f f f f f f f f

Para poder resolver el condicional principal, debemos primero resolver el antece- dente que se encuentra entre llaves. La conectiva principal es una conjunción, que conecta al condicional entre corchetes “[p → (q v r)]” y la conjunción entre parén- tesis “(p . ~ r )”. Resolvamos la primera parte de la conjunción. Para poder resolver el condicional entre corchetes, se debe primero resolver su consecuente: (q v r).

p q r {[p → (q v r)] . (p . ~ r)} → q v v v v v v v v v v f v v f v v v f v v v f v v f v v v v f f f v f f v v f v f v v f v v v f v f v f v f f v v f f f v v f f v f f f v f f f f f f f f f f f f

Resolvemos la disyunción, teniendo en cuenta los valores de q y r.

Una vez resuelta la disyunción entre paréntesis, se puede resolver el condicional entre corchetes. Los valores del antecedente son los de “p” y los del consecuente, los del resultado de la disyunción, indicados con flechas:

p q r {[p → (q v r)] . (p . ~ r)} → q v v v v v v v v v v v f v v f v v v v f v v v f v v v f v v v v f f f v f v f v v f v f v v f v v v v f v f v f v f f v v v f f f v v f f v f f f f v f f f f f f v f f f f f f

Para resolver la otra parte de la conjunción “(p . ~ r )”, debemos primero resolver la negación de r: p q r {[p → (q v r)] . (p . ~ r)} → q v v v v v v v v v f v v f v v f v v v v f f v v v f v v v f v v v f v f f f v f v f v v f f v f v v f v v v v f v v f v f v f f v v v f f v f v v f f v f f f f v v f f f f f f v f f f f v f f

Una vez resuelta esa negación, se puede resolver la conjunción del paréntesis, to- mando los valores de “p” y los del resultado de la negación:

p q r {[p → (q v r)] . (p . ~ r)} → q v v v v v v v v v f f v v f v v f v v v v f f f v v v f v v v f v v v f f v f f f v f v f v v f f f v f v v f v v v v f v v v f v f v f f v v v f f f v f v v f f v f f f f v v v f f f f f f v f f f f f v f f

Ahora, podemos resolver la conjunción entre llaves, tomando el resultado del condi- cional entre corchetes y el resultado de la conjunción entre paréntesis:

p q r {[p → (q v r)] . (p . ~ r)} → q v v v v v v v v f v f f v v f v v f v v v v f f f f v v v f v v v f v v f v f f v f f f v f v f v v f f f f v f v v f v v v v f v v v v f v f v f f v v v f f f f v f v v f f v f f f f f v v v f f f f f f v f f f f f f v f f

Por último, resolvemos el condicional principal, tomando como valores del antece- dente los del resultado de la conjunción entre llaves y como valores del consecuente los valores de “q”.

p q r {[p → (q v r)] . (p . ~ r)} → q v v v v v v v v f v f f v V v f v v f v v v v f f f f v V v v f v v v f v v f v f f v V f f f v f v f v v f f f f v V f v v f v v v v f v v v v f V v f v f f v v v f f f f v f V v v f f v f f f f f v v v f V f f f f f v f f f f f f v f V f

Valores del antecedente

del condicional principal.

El condicional principal es verdadero en todos los casos. Se trata de una tautología. Valores del consecuente

del condicional principal.

El razonamiento es válido, ya que su condicional asociado es tautológico.

Ahora, resuelvan la consigna para las formas de razonamientos obtenidas en la Ac- tividad 3, teniendo en cuenta estos dos ejemplos.