En 1934 De Marchi fue el primero en obtener una solución analítica a la ecuación dinámica del flujo espacialmente variado con caudal decreciente, ecuación (2.4), para determinar el eje hidráulico del flujo en canales rectangulares.
Para resolver analíticamente la ecuación dinámica del flujo en un vertedero lateral, De Marchi asumió que el canal tenía una pendiente pequeña y un vertedero no demasiado largo, a partir de estos supuestos igualo la pendiente de fondo con la de fricción ( = ), asumiendo de esta forma que la energía específica en el tramo del vertedero se mantiene constante.
De Marchi además hizo uso de la ecuación de energía específica para despejar el caudal de cualquier sección del vertedero.
= 2 ( − )
Donde es el área hidráulica en la sección a una distancia y función de la altura en la misma sección.
También uso la ecuación común de caudal sobre un vertedero por unidad de longitud para estimar la variación del caudal a lo largo del vertedero.
= −2
3 2 ( − ) /
Donde es la altura del vertedero y el coeficiente de descarga del vertedero.
Reemplazando ambas ecuaciones en la ecuación dinámica del flujo y considerando que =
, el numerador y el denominador de la ecuación dinámica del flujo (2.4) resultan respectivamente en: − =4 3 √ ( − ) / 1 − = 1 − = − 2 ( − )
Por lo tanto, la ecuación dinámica del flujo se convierte en:
=43√ − ( − )
/
− 2 ( − ) (2.14)
Esta ecuación es válida para régimen subcrítico y supercrítico (Sotelo Ávila, 2002). La solución directa de la ecuación (2.14) es posible para canales rectangulares, triangulares y trapeciales; mientras que la solución numérica es factible en cualquier sección.
La solución analítica a la ecuación (2.14) para canales rectangulares fue desarrollada por De Marchi en 1934, esta corresponde a la siguiente ecuación:
= 3 2 √ 2 − 3 − − − − 3 − − + . (2.15)
Los términos dentro del paréntesis rectangular se pueden adimensionalizar dividiéndolos por , para definirlos como una función:
=2 − 3 1 − 1 − − − 3 1 − 1 −
Luego la ecuación (2.15) se convierte en:
= 3
2 √ + .
La constante de integración se obtiene al evaluar las condiciones de borde, dependiendo si el flujo en el vertedero es subcrítico (condiciones de borde al final del vertedero) o supercrítico
La longitud total del vertedero se obtiene imponiendo las condiciones de borde al inicio y al final del vertedero en la ecuación (2.15), denominados con subíndice 1 y 2 respectivamente como se presenta en la Figura 2.8. Por lo tanto, el valor de la longitud del vertedero es:
= 3
2 √ − (2.16)
Los supuestos considerados por De Marchi para desarrollar la solución analítica de la ecuación dinámica del flujo en vertederos laterales rectangulares, se detallan a continuación:
El flujo en el canal se considera aproximadamente bidimensional y la distribución de presión es casi hidrostática, si se desprecian las irregularidades y la curvatura de la superficie libre. Además la descarga realizada por el vertedero, es una descarga libre.
La pendiente del canal es pequeña ( ≅ 1) e igual a la pendiente de fricción ( = ). La distribución de velocidades es constante y uniforme, por lo que el coeficiente permanece constante e igual a la unidad. Por lo anterior se tiene que la energía específica en el tramo del canal que contiene al vertedor se mantiene constante, es decir, es posible despejar el caudal de cualquier sección a partir de la ecuación de energía específica.
La altura varía solo con la distancia sobre el eje del canal. La variación en la dirección lateral se desprecia, debido al comportamiento extremadamente complejo en esa dirección y el flujo sobre el vertedero lateral forma un ángulo aproximado de /2 con la parte superior del vertedero, lo anterior permite asumir la ecuación común de caudal por unidad de longitud (Sotelo Ávila, 2002).
La longitud del vertedero no debe ser muy grande, de acuerdo a investigaciones realizadas el caudal total vertido debe mantenerse siendo igual o menor al 75% del caudal que se aproxima al vertedero (Sotelo Ávila, 2002).
Para efectos del presente trabajo de memoria los cálculos realizados aplicando la ecuación de De Marchi consideran solo escurrimientos con perfil de flujo subcrítico en el vertedero lateral. En la práctica para un canal prismático de rugosidad constante en toda su longitud es posible conocer o calcular la altura normal para el caudal que existe tanto antes del vertedero lateral como después del vertedero lateral , así como la energía específica en flujo uniforme y las condiciones críticas antes y después del vertedero, conociendo así el tipo de régimen en cada tramo. El caudal vertido por el vertedero corresponderá por lo tanto a = −
(Sotelo Ávila, 2002), ver las variables mencionadas en la Figura 2.8.
Cuando se tiene un perfil subcrítico en el vertedero lateral, es decir, el flujo es subcrítico tanto antes como después del vertedero, el flujo se encuentra influenciado desde aguas abajo, por lo tanto la energía específica que se mantiene constantes en el tramo del vertedero es =
correspondiente a la energía del flujo uniforme aguas abajo, tal como se presenta en la Figura 2.8.
Figura 2.8. Vertedero lateral con flujo subcrítico y energía específica constante en el vertedero.
Para el caso del diseño hidráulico de los vertederos laterales usualmente se pueden presentar dos casos a resolver, el primero es determinar el largo del vertedero conociendo el caudal que se necesita verter por el vertedero y el segundo es determinar el caudal vertido por el vertedero conociendo su longitud, en ambos casos se considera que la altura del vertedero es un dato (Bagheri et al, 2014b).
En el caso de un flujo subcrítico en el vertedero lateral y de acuerdo con Collinge (1957) el procedimiento para estimar el caudal vertido de un vertedero lateral rectangular usando la ecuación de De Marchi considerando un perfil subcrítico es el siguiente:
1. Se tiene como dato el valor de y , ver Figura 2.8, correspondientes a las condiciones de flujo aguas abajo del vertedero los cuales son medidas experimentalmente, que es el largo del vertedero, que es la altura del vertedero y que es el ancho del canal principal, dados por diseño.
2. Con los datos anteriores se calcula la energía específica aguas abajo del vertedero, la cual se considera constante a lo largo de todo el vertedero lateral = . 3. Se obtiene el valor de a partir de alguna de las expresiones empíricas para
estimar el coeficiente de De Marchi que se ajuste a las condiciones del flujo presentes en el vertedero.
4. Usando los valores de , , , / y / , se reemplazan en la ecuación (2.16) y se despeja el valor de / .
5. Para obtener el valor del caudal se estima a partir de la ecuación de energía específica expresada de la siguiente manera:
= / 2 1 −
2.3.6. Tipos de vertederos laterales