Si bien la teoría de las opciones reales cuenta ya con unos 25 años edad (véase, por ejemplo, Trigeorgis, 1996, para un resumen del estado del arte), sólo a partir de mediados de la década de 1980 la investigación empírica en esta área ha tenido un mayor desarrollo. Véase, por ejemplo, Brennan y. Schwartz (1985); McDonald y Siegel (1986); Paddock, Siegel y Smith (1988); Quigg (1993) y Tufano (1998).
En un estudio reciente, Moel y Tufano (2000) examinaron las decisiones de apertura y cierre de minas de oro. Su base de datos consideró a 285 minas de ese metal explotadas en Norteamérica en el período 1988-1997. Entre sus hallazgos, se encuentra que la probabilidad de apertura de una mina está relacionada a factores de mercado (nivel y volatilidad del precio de mercado del oro y nivel de las tasas de interés) y específicos de la mina (costos fijos y variables y nivel de reservas).
Asimismo, los autores descubrieron que la decisión de cierre de una mina se relaciona directamente con la gestión de la empresa que la explota. En particular, la rentabilidad de otras minas explotadas por la empresa y de otros negocios ligados a ésta será gravitante en la decisión de cierre.
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En el área de la tecnología, Schwartz y Moon (2001) utilizaron las técnicas de las opciones reales para valorizar la empresa “eBay”. En particular, desarrollaron un modelo que incorpora la incertidumbre en los costos y los efectos tributarios de la depreciación. Asimismo, utilizaron la volatilidad del precio de la acción y su beta para inferir un parámetro razonable para la tasa de crecimiento de las ganancias. Los autores señalan que esta clase de modelo se puede aplicar a cualquier empresa de alto crecimiento.
Como se aprecia, la metodología de las opciones reales proporciona un marco analítico para evaluar correctamente los proyectos de inversión que involucran algún grado de flexibilidad en su fecha de iniciación, proceso productivo y eventual cierre. Esta ha cobrado particular popularidad en el área de los recursos naturales. En los últimos años, sin embargo, las opciones reales también han sido utilizadas para analizar el desarrollo de patentes de invención, la decisión de transar acciones en la bolsa y la determinación de introducir nuevos productos o procesos productivos, entre otras muchas aplicaciones.
El valor de la flexibilidad y las opciones reales: conceptos preliminares
En el marco de la teoría de opciones, el valor de la flexibilidad futura es mayor en entornos más inciertos. Por ejemplo, una tasa de interés alta y una fecha de puesta en marcha lejana en el tiempo (cuando es posible aplazar la inversión) no reducen necesariamente el valor de un proyecto de inversión. Incrementos en estas variables reducen el valor presente neto estático de un proyecto, pero pueden aumentar el valor de la opción del proyecto (valor de la flexibilidad). Ello se ilustra en el Gráfico 5:
GRÁFICO 5
LA INCERTIDUMBRE AGREGA VALOR
Fuente: Amram y Kulatilaka (1999).
Las opciones reales se pueden dividir en seis tipos generales: (1) opciones de crecimiento; (2) opción de expandir la escala; (3) opción de esperar, (4) opción de cambiar los insumos, productos o procesos productivos; (5) la opción de contraer la escala; (6) opción de abandono.
Las opciones de abandono son importantes en empresas intensivas en capital, en las cuales es deseable contar con la flexibilidad suficiente para capturar algún valor de reventa de los activos, en caso de que éstos se vuelvan menos valiosos para la empresa. Asimismo, la opción de cierre es altamente valiosa para las empresas con altos costos variables. La opción de contraer o expandir, en
Valor
Incertidumbre Las opciones incrementan el valor
Enfoque tradicional Método de las opciones reales
tanto, es una forma flexible de tratar con una demanda cambiante. Ejemplos son la habilidad de reducir la tasa a la cual es extraído un mineral y la facilidad para agregar temporalmente turnos extras en una empresa.
La opción de cambio involucra la habilidad para alterar la mezcla de productos, la flexibilidad en el uso de la tierra (por ejemplo, cambiar cultivos agrícolas), la habilidad para cambiar insumos en respuesta a cambios en precios, entre otros. A su vez, la opción de esperar (adelantar o retrasar) es valiosa en todas aquellas actividades en que la inversión necesaria para comenzar a operar es irreversible. Por último, las opciones de crecimiento involucran la expansión de un negocio para desarrollar productos derivados. Por ejemplo, una empresa que fabrica esquíes puede desear expandir su negocio a la producción de botas de esquiar.
Un par de ejemplos ilustrativos
Veamos un par de ejemplos esquemáticos sobre las opciones de abandono y de espera. a) Opción de abandono:
El valor esperado del flujo de caja en t=1 viene dado por:
E(FC)=Pr(alta demanda)*$738 + Pr(baja demanda)*$415=$609 mil.
Si la tasa de descuento es 10%, entonces VP=$609/1.1=$553 mil. Pero, si el proyecto no es exitoso el primer año, es mejor abandonar y recibir $500 mil. ¿Cuál es el valor de la opción? Nos encontramos frente a una put (opción de venta) con vencimiento en 1 año, con un precio de ejercicio de $500 mil y donde el valor presente del activo subyacente es $553 mil. Suponemos que la tasa libre de riesgo es 5% por período.
Además, de lo anterior, sabemos que el valor del activo puede aumentar en 33% (=738/553−1) o caer en 25% (=415/553−1). Por otra parte, en un mundo neutral al riesgo los inversionistas exigen como retorno la tasa libre de riesgo. Por tanto, si p representa la probabilidad de alta demanda en un mundo neutral al riesgo, se tiene que: p*0.33+(1−p)*(−0.25)=0.05 ⇒ p=0.52
Si enfrentamos el evento de alta demanda, la opción de abandono vale cero. En tanto, si el proyecto es un fracaso, podemos venderlo y ahorrar $85 mil =($500 mil−$415 mil). De ello, E(opción)=p*0+(1−p)*85=0.52*0+0.48*85=$41 mil y el valor presente de la opción de abandono =$41/1.05=$39 mil.
Por lo tanto, el proyecto vale =$553 mil + $39 mil = $592 mil.
VP=?
Puede renunciar al activo, después del primer año, y recibir
$500 mil Baja demanda $415 mil 1−q=40% q=60% Alta demanda $738 mil
b) Opción de esperar
La oportunidad de invertir en un proyecto con VPN>0 equivale a una opción de compra en el dinero (“in-the-money”). El momento óptimo para invertir es aquel en que ejercemos la opción en el momento apropiado. Si el proyecto es bueno, esperar para invertir puede implicar una pérdida de flujos de caja altos y próximos en el tiempo. Si el proyecto es malo, esperar puede ahorrarnos una mala decisión. Ello se ilustra en el Gráfico 2. Supongamos los siguientes flujos de caja:
Esto es, el valor presente del proyecto es $200. Si la demanda cae el año 1, el flujo de caja es $16 y el valor del proyecto cae a $160. Si la demanda es alta en un año más, el flujo de caja es $25 y el valor del proyecto aumenta a $250. Aunque el proyecto dura indefinidamente, supongamos que podemos retrasar la decisión de invertir en 1 año. Al invertir este año, podemos ganar $16 o $25 en flujos de caja. Al posponer la inversión, sacrificamos dichos flujos de caja, pero ganamos en información.
GRÁFICO 6 VALOR DE ESPERAR
Fuente: Amram y Kulatilaka, 1999
Aplicando una lógica similar a la del caso anterior, obtenemos que la probabilidad libre de riesgo puede obtenerse de la ecuación E(r)=p*0.375 + (1−p)*(−0.12)=0.05, lo cual implica que p = 0.343.
Supongamos que la inversión inicial es $180. Por lo tanto, tenemos una opción de compra con un precio de ejercicio de $180. Si la demanda cae, el precio de la opción es 0. Si la demanda aumenta, el valor de la opción es =$250−$180=$70. En consecuencia, el valor corriente de la
VP=$200 $160 $250 Hoy Año 1 Flujo de caja =$25 Flujo de caja = $16
Invertir ahora o nunca La inversión puede ser pospuesta
VP del proyecto
Usted puede retrasar la construcción en un 1 año. Aun cuando el proyecto tenga VPN≤≤≤≤0 hoy, la opción de compra tiene valor porque el retraso de 1 año puede dar cabida a una mejora en las condiciones de mercado.
opción (abierta) es = (0.343*70 + 0.657*0)/1.05 = $22.9 millones. Vale sólo $20 millones si la ejercemos hoy (=$200−$180). Por lo tanto, aun cuando el proyecto tenga VPN>0, no deberíamos invertir ahora. Una estrategia superior es esperar.
Aplicación a proyectos
Como ya se ha señalado, el método del VPN, ya sea determinístico o con consideraciones de riesgo (simulación estática, simulación dinámica, análisis de sensibilidad, análisis de escenarios, ajuste a la tasa de descuento) no conduce a decisiones erróneas cuando un proyecto es muy bueno o muy malo. Sin embargo, en casos en que la rentabilidad del proyecto es cercana al límite exigido, será necesario precisar la estimación, aplicando métodos más avanzados, tales como la valoración por opciones reales.
El VPN no relaciona el nivel de riesgo con las posibilidades de respuesta operacional del proyecto. Tampoco considera la capacidad de reacción que tiene el administrador de un proyecto para responder ante contingencias (variación de los parámetros que aportan incertidumbre al proyecto), siendo éste sólo un ejecutor de la planificación inicial.
Estas respuestas operacionales ante contingencias son las que se conocen como flexibilidades. Las flexibilidades implican no linealidades, es decir, que el valor esperado de los flujos de caja de cada período no puede ser estimado directamente a partir de los valores esperados de las variables inciertas que determinan dicho flujo de caja19. Otro supuesto de la práctica habitual del VPN, es que el nivel de riesgo es constante a lo largo del horizonte de evaluación (supuesto implícito al descontar con una tasa constante calculada según CAPM).
Considerando que existen estos vacíos, y que éstos pueden impactar fuertemente en la realización de los proyectos, algunas tesis desarrolladas en los programas de Magíster del Departamento de Ingeniería Industrial de la Universidad de Chile, se han abocado a la aplicación de las opciones reales a proyectos.
La ecuación de Black-Scholes y el método de opciones reales
Comencemos analizando las posibilidades de aplicar la ecuación de Black y Scholes (1973) de valoración de opciones. Como es sabido, el aporte de estos investigadores fue el encontrar una solución analítica para el precio una opción europea, usando un modelo de equilibrio general y el argumento de arbitraje. La contribución de los autores radica en replicar el valor de una opción mediante una estrategia de inversión dinámica en un activo libre de riesgo (bono) y el activo subyacente, una acción, en este caso.
La derivación de la fórmula asume que el activo subyacente no paga dividendos y que las opciones son europeas. Las fórmulas de una opción de compra (call), c, y de una opción de venta (put), p, vienen dados por:
c = S N(d1) – K e−rt N(d2) (72) p = K e−rt N(−d2) – S N(−d1) (73) donde:
N(.) = distribución acumulada de una normal estándar T T ) 2 / r ( ) K / S ln( d 2 1 σ σ + + = d2 =d1−σ T
S: precio spot de una acción 19
K: precio de ejercicio de la opción
σ: desviación estándar de la rentabilidad asociada a la acción r: tasa de interés libre de riesgo
T: período de maduración de la opción, expresado en años
En algunos casos particulares de opciones reales, esta ecuación puede ser utilizada para valorar activos reales. Un ejemplo de opción real puede ser la de ampliar la planta del proyecto que hoy vale S (su valor presente neto) al cabo de un período T, lo cual implica una valor adicional K. En este caso se puede valorar la opción (de ampliar) directamente a partir de la ecuación, de forma que el valor del proyecto resulta ser igual a S + c.
Desafortunadamente, la complejidad de las opciones asociadas a las flexibilidades de los proyectos reales impide una aplicación directa de la ecuación de Black y Scholes, recurriéndose en la mayor parte de los casos a métodos de simulación.
Evaluación mediante probabilidades ajustadas por riesgo en una simulación de precios
Cox y Ross (1976) propusieron un procedimiento alternativo basado en los resultados obtenidos por Black y Scholes y una técnica de reducción a un mundo de neutralidad frente al riesgo. Dos activos que son sustitutos perfectos deben obtener la misma tasa de retorno en equilibrio. Este es el caso de una opción que puede ser replicada (reproducida) mediante un portafolio dinámico con posiciones en el activo subyacente y endeudamiento (bono).
Si la solución para el valor de la opción es la misma para cualquier estructura de preferencias, entonces es posible suponer neutralidad frente al riesgo. Suponiendo que todos los inversionistas son neutrales al riesgo, el activo subyacente y la opción deben rendir la tasa libre de riesgo. El precio de la opción debe ser igual al precio terminal esperado de la opción, descontado a la tasa libre de riesgo.
Para opciones complejas (sin solución analítica), Boyle (1977) propuso la aplicación de simulación de Montecarlo. Este se basa en el enfoque de Cox y Ross que requiere que se pueda formar un portafolio que replique exactamente los retornos de una opción, usando una combinación de endeudamiento libre de riesgo y de posiciones en el activo subyacente.
Según el método de Boyle/Cox-Ross, la simulación sobre el precio se puede modelar mediante la construcción de la variable aleatoria:
z t 2 r t 1 t 2 e X X σ + σ − + = (74) Donde:
Xt : Precio de la opción sobre el activo S, en el período t. r : Tasa libre de riesgo.
σ : Desviación estándar de los retornos z : Variable aleatoria normal estándar.
Es decir, la tendencia del proceso estocástico es r−σ2/2.
Brennan y Schwartz (1985) proponen un modelo similar, pero considerando que la tendencia del proceso estocástico es r−d, donde d es el dividendo marginal o rendimiento de conveniencia (convience yield). Este ajuste es necesario para la valoración de activos que generan ganancias (de la misma forma en que se ajusta la ecuación de Black y Scholes por este concepto).
Constantinides (1978) derivó un método de evaluación generalizado mediante reducción a un mundo sin riesgo, similar al procedimiento propuesto por Cox y Ross (1976), pero basado en los supuestos del CAPM y que no requiere suponer la existencia de un portafolio réplica. Entonces, para los propósitos de evaluar un activo derivado, se puede suponer que todos los inversionistas son neutrales al riesgo y, como en un mundo neutral al riesgo, utilizar una tasa libre de riesgo para el retorno de cualquier activo.
Se modela un proceso de Wiener para el precio: dW dt
dx =µ +σ (75)
donde µ y σ son la tendencia y la desviación estándar instantáneas del precio x, y dW es el incremento de un proceso de Wiener.
Para ajustar a un mundo sin riesgo, se usa como tendencia λρσ − µ = µ* (76)
El término λρσ se deriva de imponer que el retorno del proyecto satisface el CAPM, donde λ = (Rm –r) / σM (valor esperado de la prima por riesgo del mercado dividida por la desviación típica del mercado) y ρ es el coeficiente de correlación instantáneo entre dW y el retorno de mercado. De esta forma se tiene que µ* es una tendencia ajustada por riesgo.
Finalmente, los flujos de caja esperados para cualquier derivado de este mundo ficticio son descontados con la tasa libre de riesgo, obteniendo su valor presente.
Es importante enfatizar que la suposición de neutralidad al riesgo no implica que el derivado esté siendo avaluado sólo en un mundo neutral al riesgo. En verdad, su valor será el mismo en el mundo real, en el cual los inversores tienen distintos perfiles de riesgo.
Jacoby y Laughton (1987) propusieron un método de valoración de activos derivados que combina el enfoque de Boyle, Cox y Ross con la evaluación por componentes20 y con los supuestos del modelo de valoración de activos de capital (CAPM), al igual que Constantinides. En vez de estimar un rendimiento por conveniencia como un dividendo proporcional, como en la metodología de Brennan y Schwartz, ellos utilizan el concepto de un bono-materia prima, que involucra un sólo pago, el precio que la materia prima tenga en su fecha de maduración.
Por otro lado, el concepto de la evaluación por componentes permite que cada elemento del flujo de caja se descuente por su riesgo sistemático, y no mediante una tasa artificial que considere todos los riesgos presentes en el proyecto, como lo hace el VPN.
El bono materia prima que utiliza Jacoby y Laughton no entrega un rendimiento por conveniencia, y su precio en la fecha de maduración es igual al precio de la materia prima en la fecha de maduración. En consecuencia, se podría usar los procesos de los precios de mercado de los bonos en lugar de los procesos de precios de la materia prima (esto si se transan en el mercado los bonos-materia prima). Sin embargo, no se transan muchos bonos-materia prima en el mercado por lo que, para calcular su valor, se recurre al CAPM.
En este método, se genera una serie determinística de precios, la que se reduce a un mundo sin riesgo mediante el cálculo de equivalentes ciertos (con el cuocientes de tasas de descuento libre de riesgo y con riesgo según CAPM). Esta serie ajustada de la tendencia del precio es afectada por un factor aleatorio, es decir, a esta serie se le puede aplicar la técnica de simulación de Boyle/Cox-Ross.
20 Se descuenta cada ítem de flujo de caja con distintas tasas según su nivel de riesgo. Este enfoque fue propuesto por Brealey y Myers
(1993). En el caso que nos ocupa, la evaluación por componentes ahorra tiempo de simulación ya que las componentes lineales del flujo se descuentan sin simular y se usa la simulación sólo para las componentes no lineales.
En síntesis:
• Se identifican las fuentes básicas de incertidumbre del proyecto, los que deben ser precios de activos transados en el mercado; se estima la varianza del proceso de cada activo subyacente.
• Se especifican las fórmulas de “flujos de caja” que relacionan los flujos de caja con los precios de los activos subyacentes.
• Se reemplaza la tendencia en los procesos del precio del activo por la tasa libre de riesgo, como en un mundo neutral frente al riesgo21.
• Se implementa la simulación para obtener la distribución terminal de los precios de los activos (terminal se refiere al periodo en el cual los flujos de caja tienen lugar)
• Se obtiene la distribución terminal de cada flujo de caja.
• A partir de cada distribución terminal se obtiene la media o valor de cada flujo de caja.
• Se descuenta el flujo de caja por la tasa libre de riesgo para obtener su valor presente y luego se suman los valores presentes para obtener el valor del proyecto.
• La estructura implícita de tasas de descuento (por riesgo y tiempo) que hubiese entregado el mismo valor del proyecto se puede lograr usando el enfoque VPN, resumido en los siguientes pasos:
- Se realiza una simulación tipo VPN, en la cual las tendencias en los precios de los activos no son reemplazadas por la tasa libre de riesgo.
- Se estima la distribución terminal de los activos y de los flujos de caja, y se calculan las medias de los flujos de caja.
Se calcula las razones entre los flujos de caja obtenidos por simulación y los flujos de caja por la simulación “Boyle / Cox – Ross”. Estas razones son medidas del riesgo. En realidad corresponden a medidas de riesgos promedio en el tiempo, pero a partir de estos promedios resulta simple obtener tasas de premio por riesgo periodo a periodo.