Resampling Distribution Breakdown Point Quantile

En la sección 1.4 vimos que existe una relación entre los subconjuntos dekny los dek[x1, ...,xn].

Y en la proposición 1.4.1 dijimos que si I = f1, ...,fs es un ideal dek[x1, ...,xn]entonces la

variedadV(I)⊂kn_{es el conjunto de soluciones del sistema formado por el conjunto generador}

deI, por lo que tenemos la siguiente aplicación:

Ideales→Variedades I→V(I) .

Por otro lado también dijimos que una variedadV⊂ knpuede ser estudiada mediante el ideal I(V) ={f ∈ k[x1, ...,xn] | f(a1, ...,an) =0para todo(a1, ...an)∈V},

es decir, el ideal formado por todos los polinomio de k[x1, ...,xn]que se anulan en V. Con lo

que tenemos otra correspondencia en sentido inverso Variedades→ Ideales

V→I(V) .

Esta sección está dedicada a estudiar esta relación bilateral con mayor detalle. Es relevante notar que, tal y como hemos presentado las correspondencias, existen ciertos problemas.

Dado el idealI =x2+1 ⊂R[x], la variedadV(I)es el conjunto vacio.

Dos ideales diferentes pueden producir la misma variedad, por ejemplo, para los ideales I1=x,y,I2= x2+y2 ⊂R[x,y]se tiene queV(I1) =V(I2) ={(0,0)}.

Por ello será conveniente perfeccionar esta correspondencia entre ideales y variedades. Para esto primero deberemos introducir algunos conceptos que serán usados a continuación.

Definición 4.2.1. [2, pág. 129] SeankyKdos cuerpos tales quek ⊂ Ky las operaciones deK restringidas a los elementos dekcoinciden con las operaciones dek. Entonces diremos queK es uncuerpo de extensióndek, o quekes unsubcuerpodeK.

Ejemplo 4.2.1. El cuerpoCes un cuerpo de extensión deR.

Nota. Dada una variedad V(S)con S ⊆ K[x1, ...,xn], escribiremos VK(S)denotando así que

V(S)es un subconjunto del cuerpoKn.

Definición 4.2.2. Diremos que un cuerpo Kesalgebraicamente cerradosi para todo polinomio f ∈K[x1, ...,xn]congr(f)≥1, se tiene que f =0tiene solución enK.

Definición 4.2.3. Elcierre algebraicode un cuerpokes un cuerpo de extensión dekalgebraica- mente cerrado. Denotaremos al cierre algebraico dekpor ¯k.

Con estas definiciones a mano, si consideramos el cierre algebraico de R, esto es C, ahora tenemos:

La variedad determinada por el idealI = x2+1, es decirVC(I), en este caso no es el conjunto vacio, siendoVC(I) ={+i,−i}.

4.2. El Nullstellensatz de Hilbert

Para los ideales I1 = x,y,I2 = x2+y2 con I1,I2 ⊂ C tenemos por un lado que

V_C(I1) = {(0,0)}y por otro queV_C(I2) = {y = ±ix} ⊂ C, siendoV_C(I1)claramente diferente deVC(I2).

Teorema 4.2.1 (Nullstellensatz de Hilbert (Versión débil)).Sea un cuerpo k y su cierre algebraico ¯

k. Sea un ideal I ⊆k[x1, ...,xn], entonces,

V(I)_k¯ =∅⇔ I =k[x1, ...,xn].

Demostración. Ver [4, p. 177].

En este teorema hemos considerado primeramente un cuerpo cualquiera no necesariamente cerrado, para luego relacionar su cierre algebraico con las variedades. Si directamente traba- jamos con cuerpos algebraicamente cerrados podemos obtener una relación más fuerte. Para ello necesitaremos la siguiente definición.

Definición 4.2.4. Sea I un ideal del anillo conmutativo R. Diremos que el radical de I es el

conjunto _√

I ={r ∈Rtales querk ∈ Ipara algúnk ∈N}.

Ejemplo 4.2.2. A continuación presentamos dos ejemplos de radicales: El radical del idealI =x2es √I =x.

El radical del ideal de4Z={z∈Ztales quezes un múltiplo de 4} ⊂Zes2Z.

Se comprueba fácilmente que efectivamente √I es un ideal. Y además tenemos queVK(I) =

VK(

√ I).

Teorema 4.2.2 (Nullstellensatz de Hilbert (Versión fuerte)).Sea k un cuerpo yk su cierre alge-¯ braico, entonces para todo ideal I k[x1, ...,xn]se tiene

I(V_k¯) =

√ I.

Demostración. Ver [4, p. 183].

De este teorema se deduce que dos idealesI y J generan la misma variedad si y sólo si √I = √

J. Enlacemos ahora estos conceptos con las bases de Gröbner. El resultado que se recoge en el siguiente teorema resulta natural del Hilbert Nullstellensatz en su versión débil (4.2.1).

Teorema 4.2.3.[3] Sea G = {g1, ...,gt} una base de Gröbner reducida del ideal I = f1, ..., fs ⊆

k[x1, ...x]respecto de un orden monomial. Entonces

V¯_k(I) =∅si y sólo si G={1}.

Demostración. Por el teorema 4.2.1 se tiene queV_k¯(I) =∅si y solo si1∈ I, y dado queG{1}

es una base de Gröbner deI entoncesI =1, y por lo tanto resulta trivial que1∈ I. Este teorema nos permite decir que dado un conjunto de polinomios que determinan una va- riedad, esta no tiene solución si1pertenece al ideal generado por los polinomios. Esto es claro ya que la variedad determinada por1, esto es,1=0no tiene solución.

Teorema 4.2.4.[3] Sea G = {g1, ...,gt} una base de Gröbner reducida del ideal I = f1, ..., fs ⊆

k[x1, ...x]respecto de un orden monomial. Entonces son equivalentes:

1. La variedad V_k¯(I)es finita.

2. Para todo i ∈ {1, ...,n} ⊂Nexiste un polinomio g∈G tal que l p(g) =xv

i para algún v∈N.

3. La dimensión del espacio vectorial k[x1, ...,xn]/I es finita.

Demostración. Consultar [3, p. 63].

Definición 4.2.5. Diremos que un ideal I k[x1, ...,xn]escero-dimensionalsi cumple alguna, y

por lo tanto todas, de las equivalencias del teorema 4.2.4.

Ejemplo 4.2.3. Dado el idealI =x+y,x3+y,y2+xR[x,y], se tiene queG={x+y,y2−y} es una base de Gröbner de Irespecto del orden lexicográfico conx >y. Y dado que las varia- blesxeyaparecen en los productos de potencias principales de los polinomios deG, siendox ey2respectivamente, entonces por el teorema 4.2.4 la variedadV_C(I)es finita.

Corolario 4.2.1.[3, p. 65] Sea I ⊂ k[x1, ...,xn]un ideal cero-dimensional, y sea G = {g1, ...,gt}su

base reducida de Gröbner respecto del orden lex con x1 < x2 < · · ·xn. Entonces se pueden ordenar

los polinomios de G, de manera que g1contenga solo a la variable x1, g2a las variables x1,x2y l p(g2)

es una potencia de x2, g3contenga a las variables x1,x2y x3siendo l p(g3)una potencia de x3, y así

sucesivamente.

Demostración. Es consecuencia inmediata de la segunda equivalencia del Teorema 4.2.4. Esto es, se pueden reordenar losgjtales quel p(gj)es una potencia dexj. Entonces por el orden lex,

las únicas variables que pueden aparecer engjsonx1,x2, ...,xj.

4.2.1. Resolución de sistemas de ecuaciones no lineales

En la última sección del primer capítulo vimos la semejanza entre la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y encontrar el mcd de varios polinomios en k[x]. Luego al introducir las bases de Gröbner concluimos que el mcd es un método para encontrar bases de Gröbner en anillos de polinomios de una sola variable. Es consecuente preguntarse si con las bases de Gröbner se pueden resolver sistemas de ecuaciones no lineales, y la respuesta es sí.

Por el Corolario 4.2.1 se tiene que la base de Gröbner reducida de un ideal cero-dimensional tiene una formaescalonada, semejante a la forma escalonada reducida por filas de las matrices asociadas a los sistemas lineales. Entonces, si se quiere resolver un sistema de ecuaciones, se considera primeramente el idealI ⊂ k[x1, ...,xn]generado por los polinomios del sistema, por

lo que la solución del sistema serán los puntos de la variedadV(I). Además, por la Proposición 1.4.1 se tiene que se puede calcular V(I) para cualquier conjunto generador de I, es decir, podemos usar la base reducida de GröbnerG = {g1, ...,gt}. Entonces, primeramente se ha de

resolver la ecuación de una sola variableg1=0. Entonces, para cada soluciónαde la ecuación

se resuelve la ecuación g2(α,x2) = 0. Continuando así hasta llegar a gn = 0. Las soluciones

obtenidas de esta manera son las únicas candidatas posibles. De haberlas, todavía falta por comprobar si las soluciones candidatas cumplen las ecuacionesgn+1=0, ...,gt =0, por lo que

4.3. K-coloreabilidad en grafos