Responding to Messages Received from the Network Component

Zalman Usiskin 1 utilizó en el proyecto CDASSG, la caracterización de los niveles que surgía de los escritos del matrimonio van Hiele, al examinar el equipo de dicho proyecto las publicaciones disponibles en ese momento del matrimonio van Hiele.2 De todo ello le resultó la siguiente lista de descriptores para cada nivel:

Nivel 1. Reconocimiento

U.1.1. 3 "Las figuras son reconocidas por su apariencia." (van Hiele, P. M., 1958 - 59).

U.1.2. "Un niño reconoce un rectángulo por su forma, su traza". (Ibídem) U.1.3. "… y el rectángulo parece diferente a un cuadrado.". (Ibídem).

U.1.4. "Cuando se ha enseñado a un niño de seis años lo que es un rombo, un

rectángulo, un cuadrado, un paralelogramo, es capaz de reproducir estas figuras sin error en un tablero de Gattegno, incluso en situaciones difíciles.” (Ibídem).

U.1.5. "Un niño no reconoce un paralelogramo en un rombo". (Ibídem).

U.1.6. "El rombo no es un paralelogramo. El rombo aparece… como algo muy

diferente." (Ibídem).

1 _{Zalman Usiskin comenzó su contribución a los estudios sobre la enseñanza de las matemáticas en}

EE.UU. al término de su doctorado en la Universidad de Michigan, donde fue autor del trabajo “Precálculo y geometría: Un Enfoque de transformación”. Desde 1987, ha sido director general en la Universidad de Chicago del “Proyecto de Matemática Escolar para los grados medios”. Ha jugado un papel importante en las reuniones del “Congreso Internacional de Educación Matemática” desde 1972. Usiskin ha sido miembro de diversos grupos de profesionales, como NCTM. Como miembro de la “Junta de Ciencias en la Educación Matemática”, Usiskin ha contribuido sustancialmente en la reforma de la educación matemática en EE.UU.

2 _{Según la memoria realizada fueron un total de nueve obras, cuatro originalmente escritas en Inglés, y}

cinco traducidas al inglés, neerlandés, alemán o francés.

3 _{Los “Descriptores de nivel de Usiskin”, los referenciamos como U.x.y Donde x indica el nivel del}

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 179

U.1.7. "Cuando uno dice que una figura es un cuadrilátero cuyos cuatro lados

son iguales, como en un rombo; esta sentencia no será suficiente para que los estudiantes principiantes [a partir de lo cual deduzco que se trata de su nivel 1] deduzcan que los paralelogramos llamados cuadrados son parte del conjunto de los rombos. (van Hiele, P. M., 1968).

U.1.8. Sobre la cuestión que implica el reconocimiento de un cuadrado como

un cuadrado. "Al nivel básico. Porque usted puede verlo". (van Hiele, P. M., 1979).

Nivel 2. Análisis.

U.2.1. "Es capaz de asociar el nombre de" triángulo isósceles "con un triángulo

específico, sabiendo que dos de sus lados son iguales, y concluir que las dos ángulos correspondientes son iguales ... ". (van Hiele, P. M., 1957).

U.2.2. “… un alumno que conoce las propiedades del rombo y su nombre,

también podrá entender el triángulo isósceles como un semi-rombo”. (van Hiele-Geldof, Dina, 1957) y (van Hiele P. M.; van Hiele-Geldof, Dina, 1958).

U.2.3. "Las figuras son los soportes de sus propiedades”. (Ibídem).

U.2.4. "Que la figura rectángulo significa que tiene cuatro ángulos rectos,

aunque la figura no esté trazada con mucho cuidado”. (Ibídem).

U.2.5. "Las figuras son identificadas por sus propiedades. Por ejemplo, si la

figura trazada en la pizarra tiene cuatro ángulos rectos, es un rectángulo, aunque la cifra no se trace con mucho cuidado.". (Ibídem).

U.2.6. "Las características aún no están organizadas de tal manera que un

cuadrado es identificado como un rectángulo”. (Ibídem).

U.2.7. "El niño aprende a ver el rombo como un cuadrilátero equilátero con

ángulos opuestos idénticos y diagonales perpendiculares que se bisectan". (van Hiele, P. M.,1959).

180 Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele.

a la etapa en la que conoce el rombo, y reconoce el triángulo isósceles como un semi-rombo, también será capaz de determinar de improviso un cierto número de propiedades del triángulo isósceles”. (Ibídem).

U.2.9. "Una vez que se ha decidido que una estructura es un "triángulo

isósceles", el niño conocerá también cierto número de propiedades que tienen que estar presente, sin tener que memorizarlas en este caso en especial." (Ibídem)..

U.2.10. "La inversa de una función aún pertenece al nivel siguiente." (van Hiele,

P. M., 1976).

U.2.11. "La semejanza, reglas de la probabilidad, las potencias, ecuaciones,

funciones, relaciones, establecidas de esta forma, pueden establecerse del nivel primero al segundo. " (Ibídem).

Nivel 3. Clasificación

U.3.1. “Los alumnos… que pueden entender lo que se entiende por "prueba"

en geometría, han llegado al tercer nivel de razonamiento." (van Hiele-Geldof, Dina, 1957).

U.3.2. "Se puede manipular la interrelación de las características de los

modelos geométricos”. (van Hiele, P. M., 1957).

U.3.3. "Por ejemplo, si la congruencia de los teoremas, es capaz de deducir la

igualdad de ángulos o segmentos lineales de figuras concretas." (Ibídem).

U.3.4. Las propiedades están ordenadas. Están deducidas unas de otras: una

propiedad precede o sigue a otra propiedad." (van Hiele, P. M., 1958-59).

U.3.5. "El significado intrínseco de la deducción no es entendido por el

estudiante." (Ibídem).

U.3.6. "El cuadrado es reconocido como un rectángulo, porque en este nivel se

juega con las definiciones de las figuras." (Ibídem).

Enseñanza de la Geometría. Modelo de van Hiele. 181

por ejemplo, es un cuadrilátero cuyas diagonales se bisectan perpendicularmente entre sí." (van Hiele, P. M., 1959).

U.3.8. "El niño no es capaz de estudiar la geometría en el sentido estricto de la

palabra." (Ibídem).

U.3.9. "El niño sabe cómo razonar de acuerdo con el sistema lógico… esto no

es, sin embargo, idéntico al razonamiento con la fuerza de la lógica formal." (Ibídem).

U.3.10. "La cuestión de si la inversa de una función es una función, pertenece al

tercer nivel." (van Hiele, P. M., 1976).

U.3.11. "La comprensión de la implicación, equivalencia, negación de una

implicación pertenece al tercer nivel." (Ibídem).

U.3.12. "Son capaces de entender estructuras de pensamiento avanzado, tales

como:" el paralelismo de las líneas implica (de acuerdo con su carácter señalado) la presencia de una sierra, y por lo tanto (de acuerdo con su carácter simbólico) de la igualdad de ángulos interiores alternados”. (van Hiele, P. M., 1978).

U.3.13. "Yo (el estudiante) puedo aprender una definición de memoria. Niveles

inferiores. Es necesario poder entender que las definiciones son necesarias para: es el tercer nivel". (Ibídem).

U.3.14. “…sabe el significado de *el uso de "alguno" y "todo"+ tercer nivel”.

(Ibídem).

Nivel 4. Deducción formal

U.4.1. "Va a llegar al cuarto nivel de pensamiento cuando se inicia la

manipulación de las características intrínsecas de las relaciones. Por ejemplo: si se puede distinguir entre una proposición y la inversa". (van Hiele, P. M., 1957).

U.4.2. "Podemos empezar a estudiar un sistema deductivo de proposiciones, es

decir, la forma en que se efectúa la interdependencia de las relaciones. Definiciones y proposiciones están ahora dentro del horizonte intelectual de los