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En estadística robusta, una regresión robusta es una forma de análisis de la regresión diseñada para eludir algunas limitaciones tradicionales de los métodos paramétricos y no paramétricos.

El análisis de regresión busca encontrar la relación entre una o más variables independientes y una variable dependiente. Algunos métodos utilizados de regresión, como los mínimos cuadrados ordinarios, tienen propiedades favorables si las suposiciones de las que se parten se cumplen para los datos estudiados, pero pueden dar soluciones engañosas si dichas suposiciones no son ciertas.

- Tal suposición es la de que obtendremos el conjunto de observaciones sin haber cometido ningún error de tipo I y en caso de que se hubiera cometido, la magnitud del error se distribuirá de forma homogénea entre todos los observables residuales, obteniendo datos poco fiables.

En particular, las estimaciones con los mínimos cuadrados son altamente no robustos a los valores atípicos; es decir, no están diseñados para un conjunto de observaciones que no siguen el patrón del resto de observaciones. Esto no se plantea como un problema si el valor atípico es simplemente una observación extrema extraída de un conjunto de medidas definidas bajo una distribución normal, sin estar afectado de errores de Tipo I. Pero si los resultados atípicos de error no estar bajo dicha distribución normal, entonces la validez del método de los mínimos cuadrados estándar o clásico se ve comprometida, teniendo que recurrir a las técnicas de regresión robusta.

Los métodos para realizar una estimación usan relaciones matemáticas predefinidas que permiten determinar la información específica tomando en cuenta los errores y demás efectos perturbadores en las observaciones o mediciones, así como tomar acciones de control sobre el sistema considerado. El modelo funcional utilizado para realizar las estimaciones son los llamados estimadores o estadísticos.

- Un estimador puede ser una expresión matemática o un algoritmo de cálculo para obtener un valor estimado de los parámetros de población en una base a una muestra de la misma, considerando las condiciones y las características del sistema empleado.

- Un valor estimado es el valor que toma el estimador para una muestra específica de su población. Los estimadores pueden ser divididos en dos clases:

a) Estimadores clásicos o Paramétricos; los cuales están asociados a un tipo de distribución de la población expresado por medio de las llamadas Normas Mínimas o Condiciones Mínimas, basados en la existencia de errores exclusivamente accidentales en las mediciones. Son estimadores clásicos la moda y la media aritmética entre otros

APLICACIÓN DE LOS MÉTODOS DE ESTIMACIÓN ROBUSTA EN EL AJUSTE DE OBSERVACIONES PARA LA DETECCIÓN DE ERRORES EN UNA RED BÁSICA TOPOGRÁFICA

MET. ESTIMACIÓN ROBUSTA

VIRGINIA CAZAS Y VIRGINIA SANZ 68

b) Estimadores no Paramétricos o Robustos; los cuales no tiene asociados ninguna distribución y ninguna Norma óptima. Son aquellos que sufren pequeños cambios en la estimación cuando existen cambios en la distribución de observaciones.

Los principales objetivos de usar los estimadores robustos son:

I. Construir una medida de seguridad en contra de una insospechada cantidad de errores groseros (los que se salen de una tolerancia).

II. Poner un límite a la influencia de la contaminación escondida por la existencia de este tipo de errores.

III. Aislar de manera clara los errores groseros para un tratamiento especial.

IV. Seguir, de la forma más estricta, modelo paramétrico.

Son estimadores robustos: la Mínima Suma, el Método Danés o el estimador de Geman &McClure entre otros.

Las técnicas de estimación robusta se han revelado como una alternativa efectiva al ajuste clásico en aquellas situaciones en las que las observaciones iniciales estén afectadas de algún error grosero o una equivocación, los cuales provocan que las técnicas clásicas de ajuste resulten poco eficientes para ajustar o compensar el conjunto de datos medidos.

En el caso de cometer algún error de estas características, el conjunto de observaciones ya no seguirá una distribución de probabilidad normal, sino que se tratará de una distribución normal contaminada, cuya función densidad seguirá el siguiente modelo:

f (x) ≈ (1- η) N(µ, σ2) + η N(a, σ2)

Como se ha comentado en la introducción histórica a los métodos de estimación robusta, existen una serie de mecanismos habituales para la detección de dichos errores una vez realizado el ajuste clásico por mínimos cuadrados. Entre dichas técnicas estadísticas alternativas encontramos:

TEST DE BAARDA

Este test asume que los errores son distribuidos normalmente y que es conocida la desviación estándar “a priori” (σ0). Este test se apoyará en el cálculo de los residuos normalizados, para lo

que se deberá normalizar el vector de residuos (V). Para ello será necesario conocer la varianza de referencia “a posteriori” ( ) para dividir dicho vector entre su correspondiente precisión.

El residuo, una vez normalizado, podrá presentar una estructura de distribución normal (N (0,1))

A continuación, se aplicará el test de hipótesis estadístico basado en la varianza de referencia “a posteriori” a los residuos normalizados para compáralo con la varianza de referencia “a priori”. Se trata de una técnica de inferencia estadística que permite comprobar si la información que proporciona una muestra observada concuerda (o no) con la hipótesis estadística formulada sobre el modelo de probabilidad en estudio.

- Si existe un solo error grosero en las observaciones, su residuo normalizado será el mayor del conjunto.

- Si existe más de una observación con error, se deberán de seguir los siguientes pasos: 1. Determinar una solución global utilizando todas las observaciones.

2. Aplicar el test de hipótesis a los residuos normalizados.

3. Eliminar la observación sospechosa de tener errores según el test anterior. 4. Determinar de nuevo una solución global sin incluir la observación errónea.