Hasta ahora hemos trabajado teniendo en cuenta la aproximaci´ on arm´ onica : Los despla- zamientos respecto de la posici´on de equilibrio son peque˜nos. Se estudi´o que bajo estas condiciones, la energ´ıa potencial del cristal se puede escribir como:
U = U 0+ U arm = U 0 + 1 2
R R
u(R)D(R
−
R
)u(R
) (4.48)El sistema de N osciladores 3D es equivalente a un sistema de 3N osciladores 1D inde- pendientes con valores propios de la energ´ıa (12 + n) ωk,s. Por no haber interacci´on entre
los 3N osciladores, el tiempo de vida de los fonones es infinito y la incertidumbre en el valor de la energ´ıa de los fonones es cero.
Sin embargo, medidas de dispersi´on de neutrones muestran que la incertidumbre en la energ´ıa no es cero.
Por lo tanto:
•
El tiempo de vida de los fonones no es infinito (creaci´on y aniquilaci´on de fonones).•
El potencial no es estrictamente arm´onico:U = U 0 + U arm + U anarm (4.49)
Existe una contribuci´on anarm´onica del potencial que hace que los 3N osciladores 1D (o sea los fonones) sean acoplados. Entonces es posible que exista transferencia de energ´ıa.
La contribuci´on anarm´onica del potencial tiene consecuencias muy importantes para las propiedades t´ermicas de los s´olidos:
(i ) Para T >> ΘD: C V 3kBN pero C V
= 3kBN . La raz´on es que para T >> ΘD, losdesplazamientos ya no son peque˜nos y la aproximaci´on arm´onica ya no es v´alida. (ii ) Sin los t´erminos anarm´onicos de la energ´ıa potencial, no hubiera interacci´on entre
los fonones y no se podr´ıa definir una temperatura del cristal.
(iii ) Sin la interacci´on entre los fonones, la conductividad t´ermica ser´ıa infinita. En los s´olidos reales, la conductividad t´ermica es finita. El valor finito de la conductividad t´ermica se debe a que, en los cristales reales, las vibraciones de los ´a ´atomos en la red cristalina no son puramente arm´onicas, porque las fuerzas de interacci´on entre los ´atomos dependen no linealmente de sus desplazamientos.
CAP´ITULO 4. PROPIEDADES T´ERMICAS DE LOS S ´OLIDOS 85
(iv ) La existencia de un t´ermino anam´onico implica que las constantes de elasticidad de un cristal dependen de la temperatura entonces hay expansi´on t´ermica.
Al tener en cuenta en la energ´ıa los t´erminos anarm´onicos, estamos considerando la exis- tencia, en la situaci´on real, la interacci´on entre los modos de las vibraciones, que puede describirse de la forma m´as simple como la dispersi´on de unos fonones por otros.
Interacci´on entre fonones
Si la contribuci´on de U anar es peque˜na y se utiliza teor´ıa de perturbaci´on, se puede mostrar que este t´ermino anarm´onico puede causar la transici´on de un estado propio del cristal a otro. En la figura 4.7 se ilustran procesos de interacci´on entre tres fonones (los m´as simples) que corresponde a un t´ermino anarm´onico de tercer orden en la energ´ıa y procesos de cuatro fonones que corresponde a un t´ermino anarm´onico de cuarto orden en la energ´ıa. Por ejemplo la energ´ıa de los modos (k1, ω1) y (k2, ω2), puede treansformarse a costa de la
Figura 4.6: Procesos de interacci´on entre fonones: (a) De un fon´on emergen dos. (b) De dos fonones emerge uno. (c) Un fon´on decae en tres. (d) Dos fonones decaen en otros dos (dispersi´on fon´on–fon´on). (e) De tres fonones emerge uno. El caso de la interacci´on entre tres fonones corresponde a la adici´on de un t´ermino anarm´onico de orden tres a la energ´ıa y en la interacci´on de cutaro fononces se adiciona un t´ermino anarm´onico de orden cuatro.
interacci´on en el modo (k3, ω3) (como en la figura ??). Este proceso puede presentarse en
sentido inverso: la energ´ıa del modo (k3, ω3) puede transformarse en energ´ıa de los modos
(k1, ω1) y (k2, ω2) (como en la figura ??). De esta forma la energ´ıa, la dispersi´on de los
86 ESTADO S ´OLIDO. NOTAS DE CLASE (2016)
Peierls (1929) mostr´o que la probabilidad de las transformaciones indicadas en el caso de los procesos de tres fonones es distinta de cero si,
ω1 + ω2 = ω3 Conservaci´on de la energ´ıa (4.50) k1 + k2 = k3 + G conservaci´on del momentum (4.51)
La interacci´on en la cual G = 0 se le llama proceso normal o proceso N . La interacci´on cuando G
= 0 se denomina proceso umklapp o procesos U . En la figura se muestra una representaci´on de estos procesos en una red bidimensional.Figura 4.7: Representaci´on esquem´atica de los procesos entre tres fonones: (a) Proceso Normal (N). En este caso, k1 + k2 = k3 con k3 en la primera zona de Brilloin (G = 0). (b) Proceso umklapp. En este caso, k1 +k2 = k
3 con k
3 por fuera de la prime zona. Por lo tanto, existe un k3 en la primera zona con
k3 = k
3 +G = k1 +k2 +G (G
= 0) que describe el mismo fen´omeno que k 3.Como la energ´ıa t´ermica es transportada en el sentido de la velocidad de grupo del fon´on, en los procesos N el sentido del flujo de la energ´ıa en el modo con vector de onda k coincide con el sentido en el cual la energ´ıa es transportada eficazmente por los modos k1 y k2. Peierls mostr´o que los procesos N no conducen al restablecimiento de la distribuci´on en equilibrio de los fonones lo que significa que el transporte finito de energ´ıa puede conservarse incluso en ausencia del gradiente de temperatura, es decir, la conductividad t´ermica es infinitamente grande.
Despu´es de un proceso U , la energ´ıa t´ermica es transmitida en un sentido que no coincide con el de las velocidades de grupo en los modos k1 y k2. Estas importantes variaciones de k conducen siempre al restablecimiento de la distribuci´on en equilibrio de los fonones y, por consiguiente, a un valor finito de la conductividad t´ermica.
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