Existen cálculos teóricos donde se relacionan las propiedades electrónicas de los nanotubos de carbono con su helicidad y diámetro.[Mintmire 1992], [Blase 1994] La estructura de bandas de los nanotubos de carbono, se deduce de la del grafeno. Para el grafeno, en el nivel de Fermi hay dos bandas cercanas, una ocupada y otra vacía (banda de conducción y banda de valencia). Estas dos bandas, se cortan en el nivel de Fermi solo en dos de los seis puntos K de la primera zona de Brioullin. La superficie de Fermi de una lámina ideal de grafeno consiste en seis puntos K. Estos puntos especiales denominados por convención puntos K, se corresponden a las seis esquinas de la primera zona de Brioullin (PZB). La PZB se construye desde planos bisectrices perpendiculares a todos los vectores de la red recíproca. Cuando se forma un nanotubo, hay unas condiciones impuestas en la dirección de la circunferencia, lo que provoca un fuerte confinamiento de los electrones en la dirección perpendicular al eje del tubo. Esto supone que al enrollar la lámina de grafeno para generar la estructura tubular, se induce un fuerte confinamiento de los electrones en la dirección transversal (figura 2.5 (a)). Por ello, los electrones que viajan a lo largo de la circunferencia del nanotubo quedan cuantizados; de tal manera:
πDK┴= 2πj (2.6)
Donde D es el diámetro del nanotubo, K┴son los momentos perpendiculares al eje del
nanotubo y j es un número entero. Esto reduce el número de estados asequibles en un nanotubo, es decir, solo hay un cierto número de estados de la lámina de grafeno permitidos para los nanotubos de carbono. Cuando estos estados incluyen el punto K de la zona de Brioullin, el sistema es metálico, nanotubo de carbono de un ancho de banda prohibida igual a cero. Aún sabiendo que el diámetro de un nanotubo de capa única es bastante pequeño (1 nm), el espaciado entre los momentos K┴ es grande. La función de onda electrónica
perpendicular al eje del tubo está cuantizado como K┴. Debido a esta cuantización de K┴, no
todos los puntos en la banda de grafeno son accesibles a los nanotubos. Las energías de bandas de un nanotubo están limitadas a una serie de sub-bandas con unos valores constantes
de K┴. Sin embargo en la dirección a lo largo del eje del tubo, los electrones no están
cuantizados, viajan libremente, lo que hace que la componente K|| sea continua. Este continuo de estados K|| para cada K┴bandas se denominan bandas energéticas unidimensionales.
La línea discontinua representada en la figura 2.4 es a lo largo de la dirección de K|| y el ángulo que forma con K es el ángulo quiral θ. Las líneas continuas, las cuales son perpendiculares a la línea discontinua son valores constantes de K┴. La energía de estas sub-
bandas se rige por el alineamiento de K┴ con los puntos K de la lámina de grafeno, que son
los puntos donde confluyen la banda de valencia y la banda de conducción en la lámina de grafeno. Si una de estas K┴pasa por encima de un punto K el nanotubo es metálico.
Las líneas paralelas representadas en la figura 2.5 (b) representan los estados permitidos en un nanotubo de carbono. Cada línea es una sub-banda unidimensional diferente. El espacio interlineal en la figura 2.5 (b) se traduce como una gran diferencia de energía entre las sub-bandas.
Figura 2.4 Estructura de bandas de los nanotubos extraído desde la del grafeno.
Si los estados permitidos incluyen al punto K (donde se tocan la banda de valencia y la banda de conducción del grafeno), el nanotubo tiene un comportamiento metálico, la
dirección del eje del nanotubo coincide con una de las direcciones metálicas del grafeno, de no ser así, el nanotubo será semiconductor.
Teóricamente solo los nanotubos tipo “armchair” (n,n) tendrían comportamiento metálico, pero algunas otras configuraciones son prácticamente metálicas a temperatura ambiente ya que sus estados permitidos pasan cerca de puntos K del grafeno. Y eso se cumple de manera matemática cuando se cumple que la diferencia de n y m es múltiplo entero de tres:
N m
n ) 3
( (2.7)
Donde N es un número entero. Los nanotubos zigzag y quirales pueden llegar a ser semi-metálicos si n-m =3N siendo n≠m o semiconductores en el resto de los casos. El ancho de banda prohibida para un semi-metálico y un semiconductor se escala con el inverso del diámetro del nanotubo,(Kataura 1992)(ecuación 2.4).
En resumen y como mencionaba al principio de esta sección, la estructura electrónica de un nanotubo es la de una lámina de grafeno enrollada con una condición adicional impuesta por estar enrollada en forma de cilindro, lo cual cuantifica las funciones de onda electrónicas alrededor del tubo. En el grafeno, las bandas de valencia y conducción tocan en determinados puntos, la dispersión es lineal alrededor de cada punto K y forman un cono. Al enrollarse en un tubo, la condición de cuantización adicional causa un corte a través de los conos (figura 2.5 (c)). Este corte es en la dirección en la cual los electrones viajan a lo largo del tubo. Las deformaciones sobre el nanotubo, al afectar a la distancia de enlace C-C que son por tanto las que fijan la periodicidad de la cuantización y los cambios en la sección cónica que define la estructura de banda, hacen que el ancho de banda prohibida pueda aumentar o disminuir. Todo ello es lo que se denomina propiedades electromecánicas desde donde derivan aplicaciones tales como el comportamiento de piezoresistencia.
Figura 2.5 Cuantización de los estados de onda sobre una lámina de grafeno
enrollada sobre sí misma. (a) Los ejes paralelo y perpendicular de un nanotubo. (b) Contorno esquematizado de la banda de valencia del grafeno para un nanotubo con ángulo quiral θ= 0º. Las líneas paralelas espaciadas a 2/D indican los vectores k que están permitidos para la disposición cilíndrica. Cada línea es una sub-banda 1-D. y el número de estas bandas depende del diámetro y la helicidad del tubo (c) los estados electrónicos cerca de EFestán definidos por la intersección de los permitidos k con la