Chapter 2 Literature Review
2.7 Theoretical Framework Used in Performance-Based Budgeting Studies
Figura 3.18:Función g sobre la que se aplicará la técnica de la convolución rápida.
La convolución discreta es realizada sobre la primera sección de g utilizando la técnica de la con-
volución rápida.
Los resultados de la convolución son correctos para el primer intervalo tp, pero serán erróneos para
el resto de intervalos de tiempo, hasta llegar aTh. Esto se debe al truncado deg.
La segunda sección de g es ahora convolucionada con la función respuesta a impulso unitario. Los
resultados de esta convolución deben ser sobreescritos a los de la convolución anteriormente realizada, a partir del primer periodo de tiempo 0t0
p, obteniendo una función de respuesta que es generada por
superposición.
El procedimiento descrito, en el que se ha recurrido al seccionamiento, convolución y superposición, es denominado overlap-add sectioning.
Es un método bastante efectivo, siempre que una de las funciones convolucionadas sea de duración limitada.
En el caso que la función respuesta a impulso unitario no tuviera una duración limitada, pero si, la función excitación; la función respuesta a impulso unitario podría dividirse en secciones de th. Los
resultados de las convoluciones realizadas en las distintas secciones tendrían que superponerse a los de las convoluciones de las secciones anteriores.
3.13. Métodos de corrección de la respuesta
Tanto la convolución rápida como el overlap-add sectioning, son métodos efectivos que adoptan la convolución discreta, de manera que ésta llegue a tener una gran similitud con la convolución continua. Sin embargo, ambos métodos dependen de aumentar la función fuerza así como de truncar la función respuesta a impulso unitario.
Los resultados del cálculo de la respuesta se restringen a la duración del periodo de tiempo en el cual se ha truncado la función. La parte restante de la respuesta (correpondiente con periodos de tiempo posteriores), es inexacta. La necesidad de obtener respuestas por encima de la extensión de tiempo considerada, afecta a la eciencia del cálculo.
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Sistemas dinámicos de un grado de libertad
Veletsos y otros autores, sugieren una serie de métodos que no utilizan la suma de grandes bandas de ceros en la convolución de funciones y, debido a esto, mejoran la eciencia de la convolución discreta. Conceptualmente, estos métodos se basan en la superposición de una respuesta corregida apropiada sobre la respuesta del sistema a una extensión periódica de la función excitación.
Como ejemplo considérese el sistema sujeto a la función fuerza g, de una duraciónTp (gura 3.19).
Figura 3.19:Función g excitación.
La máxima respuesta del sistema a la excitación dada puede obtenerse bien dentro de la duración de Tp, o bien, en el periodo de vibraciones libres. La duración del periodo de vibraciones libres en el
que el máximo de respuesta puede ser alcanzado, no será más larga que la duración de la mitad del periodo natural de vibraciones del sistema.
Por tanto la duración total en la que la respuesta del sistema debe ser calculada es T0 =Tp+T2.
El primer paso de los métodos de corrección de la respuesta es construir una extensión periódica de la excitación de periodoT0.
3.13 Métodos de corrección de la respuesta
Figura 3.20:Extensión periódica de la función excitación representada en la gura 3.19.
La respuesta exacta del sistema a esta extensión periódica de la excitación es obtenida a continuación. Se requiere la determinación de h(t), la respuesta periódica al impulso del sistema, denida como
la respuesta para un tiempo 0 < t < T0, debida a la secuencia de impulsos unitarios aplicados en
t = 0,−T0,−2T0...La respuesta al impulso periódico h(t) se obtuvo en un apartado anterior, y viene
dada por la ecuación:
h(t) = e −ξωt mωd sin(ωdt)−e−ξωT0sin(ωd(t−T0)) 1−2e−ξωT0cos(ω dT0) +e−2ξωT0
En forma discreta, la respuesta periódica del sistema,u(k∆t), a una extensión periódica de la fuerza
excitadorag(t) es dada por:
u(m∆t) = N−1
X
j=0
g(j∆t)h{(m−j)∆t}∆t
Esta ecuación puede ser evaluada efectivamente, en términos de la transformada discreta de Fourier, como: u(m∆t) = 1 2π N−1 X n=0 G(n∆Ω)H(n∆Ω)e2πimNn∆Ω
Donde G(n∆Ω) es la transformada discreta de Fourier de la excitación g(m∆t) y H(n∆Ω) es la
transformada discreta de Fourier deh(m∆t).
la respuesta periódica u(m∆t) y la respuesta real transitoria u(m∆t) se muestran en el siguiente
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Sistemas dinámicos de un grado de libertad
Figura 3.21:Respuesta periódica frente a respuesta real transitoria.
Se asume que el sistema posee unas condiciones iniciales distintas de cero, de manera que la respuesta transitoria no es cero parat= 0. En general,u(m∆t)no es igual queu(m∆t). Puesto que la excitación
especicada y su extensión periódica son iguales para0< t < T0, la diferencia entre las dos funciones
surge porque las condiciones iniciales al inicio deT0 no son las mismas en los dos casos.
Esta diferencia en las condiciones iniciales, se debe al hecho que la respuesta periódica u(m∆t)
se ve afectada por la función excitación en periodos anteriores, mientras que la respuesta transitoria comienza de acuerdo a las condiciones iniciales especicadas.
Esto conduce a la idea de proponer una respuesta de corrección, que superpuesta a la respuesta periódica u(m∆t), haga que las condiciones iniciales en la respuesta corregida sean iguales a aquellas
en u(m∆t). Y en este caso la respuesta corregida sea similar a la verdadera respuesta transitoria.
Respuesta transitoria corregida basada en condiciones iniciales Se asumen unas condiciones ini- ciales ent= 0 deu(0)yu˙(0), para la respuesta transitoria.
El desplazamiento al inicio del periodo en la respuesta periódica u(m∆t) esu(0), mientras que la
velocidad en t = 0 es u˙(0). Una o ambas de ellas son diferentes de las condiciones iniciales de la
respuesta transitoria, u(0) yu˙(0).
El desplazamiento en t= 0 de la respuesta periódica,u(0)se obtiene directamente de la ecuación:
u(m∆t) = 1 2π N−1 X n=0 G(n∆Ω)H(n∆Ω)e2πimNn∆Ω (3.31)
Siendo H(n∆Ω)la transformada directa y discreta de Fourier de h(t).
h(t) = 1 mωd e−ξωt 2i eiωdt 1−eT0(−ξω+iωd) − e−iωdt 1−eT0(−ξω−iωd)
3.13 Métodos de corrección de la respuesta
Figura 3.22: Parte real de la funciónU(Ω).
Figura 3.23:Parte imaginaria de la funciónU(Ω).
Las anteriores grácas, muestran respectivamente, la parte real e imaginaria de la función frecuencial:
U(n∆Ω) =G(n∆Ω)H(n∆Ω)
Puesto que U(n∆Ω)es una función periódica, el sumatorio en un periodo, se puede efectuar entre la
horquilla de valores de −N 2 hasta
N
2,y la ecuación 3.31 se puede escribir:
u(m∆t) = 1 T0 N 2 X n=−N 2 U(n∆Ω)e2πin t T0 (3.32)
Habiendo tomado como valores:
t=m∆t T0=N∆t ∆Ω = 2Tπ
0
La velocidad ent= 0 se obtiene derivando 3.32 y sustituyendot= 0. ˙ u(0) = 2πi T02 N 2 X n=−N 2 nU(n∆Ω) = 2πi T02 N 2 X n=−N 2 nRe{U(n∆Ω)}+inIm{U(n∆Ω)} (3.33)
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Sistemas dinámicos de un grado de libertad
donde:Re{U(n∆Ω)} ⇒Parte real de U(n∆Ω).
Im{U(n∆Ω)} ⇒Parte imaginaria deU(n∆Ω).
Puesto queRe{U(n∆Ω)}es simétrica respecto del origen, el productonRe{U(n∆Ω)}es antisimétri-
co, y el primer término del sumatorio de la ecuación 3.33, desaparece.
También, puesto que Im{U(n∆Ω)} es antisimétrico, el producto nIm{U(n∆Ω)} es simétrico y la
ecuación 3.33 se reduce a: ˙ u(0) = −4π T02 N 2 X n=0 nIm{U(n∆Ω)}
La diferencia entre las condiciones iniciales de la respuesta transitoria y la respuesta periódica se pueden evaluar como:
∆u(0) =u(0)−u(0) ∆ ˙u(0) = ˙u(0)−u˙(0)
La respuesta corregida superpuesta a u(k∆t) es la respuesta transitoria en vibraciones libres del
sistema debida a las condiciones iniciales ∆u(0) y ∆ ˙u(0). La respuesta transitoria debida a un des-
plazamiento unitario ent= 0, es:
r(t) =e−ξωt(cos(ωdt) +
ξω ωd
sin(ωdt))
La respuesta debida a una velocidad unitaria ent= 0 es:
s(t) = e
−ξωt
ωd
sin(ωdt)
Las respuestas de corrección vienen dadas por:
η1(t) = ∆u(0)r(t)
η2(t) = ∆ ˙u(0)s(t)
Y nalmente, la respuesta corregida queda:
u(m∆t) =u(m∆t) +η1(m∆t) +η2(m∆t)
Respuesta corregida obtenida por la aplicación de un par de fuerzas En este método, la resolu- ción del problema, se obtiene aplicando dos fuerzas periódicas de tipo impulsivo y de una magnitud apropiada al nal del periodo de tiempo en el que se busca la respuesta.
La duración de tiempo en la cual se desea conocer la respuesta, se aumenta en dos intervalos más. En este momento, se aplica un impulso periódico y unitario δ(t) en N −2. De aquí, se obtiene una
respuesta dada por la función u¯1. De forma similar, se aplica δ(t) en N −1 obteniéndose la función
respuesta u¯2.
Al serδ(t)un impulso unitario, se cumple queu¯1es igual a¯hdesplazada en el eje temporal(N−2)∆t
intervalos, mientras que u¯2 es igual a¯h desplazada(N−1)∆tintervalos.
Si la magnitud de las fuerzas impulsivas es R1 yR2, la respuesta total a la versión periódica de la
fuerza excitación y a los correspondientes impulsos correctores viene dada por la siguiente expresión:
3.14 Transformada Rápida de Fourier